Més enllà de la tercera dimensió: notes inicials

Introducció

En un comentari a l'article I les altres geometries?, un lector habitual del blog reconeixia la seva perplexitat quan s'havia d'enfrontar amb el concepte de dimensió: "(...) per a mi, la 4a dimensió ve a ser com la 3a Persona ST." Això de comparar una dimensió suplementària amb una de les persones de la Santíssima Trinitat (hi poso un enllaç per a aquells jovencells que poden confondre el dogma catòlic amb una illa del Carib), em va semblar ben trobat i vaig prometre que dedicaria una entrada al concepte de dimensió. Ai, no sabia pas què deia! Han passat els mesos, hi he anat pensant, una cosa porta a l'altra... i tinc idees i material per dedicar-hi, no unes quantes entrades, sinó un blog sencer o una obra enciclopèdica d'un estil semblant a aquella que Edward Gibbon va dedicar a la caiguda de l'Imperi Romà.

En la meva resposta al comentari, em vaig atrevir a insinuar que al meu interlocutor li podia dirigir aquelles mateixes paraules que, en la immortal obra de Shakespeare, Hamlet dirigeix a Horaci: "There are more things in heaven and earth, Horatio, than are dreamt of in your philosophy." I aquí, a més i des del punt de vista de les ciències exactes, que "una cosa" tingui existència terrenal o celestial no és una condició necessària perquè la puguem estudiar i estructurar matemàticament. Une altre assumpte, és que un sigui capaç de visualitzar el concepte. I ara demanaré el testimoni de Stephen Hawking! En el seu llibre Història del temps. del Big Bang als forats negres, traduït magníficament al català pel físic i escriptor David Jou, escriu:

Sovint resulta útil imaginar les quatre coordenades d'un esdeveniment com si especifiquéssim la seva posició en un espai quadridimensional denominat espai-temps. És impossible imaginar un espai quadridimensional anomenat espai-temps, o cap altre espai quadridimensional. Personalment, em resulta difícil fins i tot visualitzar espais tridimensionals!

Història del temps

Curiosament, un altre físic i matemàtic que ha treballat amb S. Hawking, Roger Penrose, ens sorprèn afirmant que ell si que ha pogut visualitzar la quarta dimensió (almenys així ho escriuen aquí, si hi feu clic no us perdeu els comentaris).


La paraula dimensió és polisèmica!

Si hem de moblar una habitació i parlem de les dimensions que ha de tenir l'armari, no hi ha polisèmia que valgui! Tothom entén que donant tres nombres i on el posarem, ja ens podem fer una idea de com quedarà aquest moble en l'habitatge i si disposarem de gaire espai lliure per fer acrobàcies. Ah! però quan utilitzem aquesta paraula em matemàtiques o física, o el context ens dóna una pista o hem d'especificar molt bé de què estem parlant (vegeu, per exemple, l'entrada dimensió a Viquipèdia). Estem acostumats a parlar de les tres dimensions de l'espai físic, però les dimensions d'aquest "espai" són discutilbles i discutides. Hi ha algunes teories físiques actuals que parlen d'un univers hologràfic de dues dimensions (i nosaltres ens il·lusionem amb la tercera!), hi ha l'espai més clàssic de tres dimensions que a Kant (a priori) l'encantava, tenim les quatre dimensions de l'espai-temps relativístic, i ens meravellem de les 10 o les 26 dimensions de la teoria de cordes. Però no cal preocupar-se, en les versions més habituals d'aquesta darrera teoria, les dimensions suplementàries estan "cargolades" i per això no les detectem! Us deixo amb el primer vídeo de la sèrie 10 Dimensions Universe (Explanation) per tal que comenceu a fer bullir l'olla:

Si deixem els conills que els físics teòrics es treuen del barret,  dit això amb tot el respecte, i tornem a les matemàtiques, aquí no cal ni que les dimensions siguin enteres! (vegeu dimensió fractal). A més, per exemple, en anàlisi matemàtica, en càlcul vectorial, o en general  en àlgebra lineal, és habitual anar més enllà de les tres dimensions. De fet,  no cal imaginar-se les dimensions com quelcom físic: quan intento, generalment de forma poc reeixida, que els meus alumnes deixin de relacionar els vectors amb el pla o amb l'espai, els proposo que construeixin un vector amb les seves qualificacions i així obtenen un vector d'uns deu o onze components (un per a cada assignatura).

Sento que algú em diu "Alto! Estàs fent trampes! Nosaltres volíem que ens  parlessis de quatre o més dimensions geomètriques i ens surts amb tirallongues d'onze nombres i dimensions recargolades que no podem veure!" No patiu que en la propera entrada parlaré de la quarta dimensió "geomètrica" i intentarem acostar-nos a la visualització d'un hipercub (el cos equivalent a un cub, però en quatre dimensions!)

I les altres geometries?

Introducció: comencem per l'anècdota

Fa algunes setmanes, en una classe de física de segon de batxillerat, estava comentant per enèsima vegada, que els coneixements matemàtics ens fan més planer l'aprenentatge de la física i que, si no es dominen alguns procediments matemàtics (en aquell moment estàvem derivant una equació de posició), és impossible poder avançar. Aleshores, un inspirat alumne —que, en certa manera, fugia d'estudi— em va fer l'esquemàtica i telegràfica pregunta: ¿que són primer les matemàtiques o la física? Amb aquell sisè sentit que et dóna haver interpretat d'altres qüestions més críptiques —i cal dir que amb l'aclariment posterior de l'inquiet interpel·lant—, vaig entendre que l'interessava saber si primer sorgien els conceptes i tècniques matemàtics i després s'aplicaven a la física o, si era la resolució dels problemes físics, la que provocava l'aparició de nous conceptes a matemàtiques.

La pregunta requeria una classe, o tot un llibre!, per contestar-la. Però com que el temari apressa, vaig fer una intervenció comentant que trobaríem exemples en els dos sentits, vaig parlar dels departaments de matemàtiques aplicades (on de vegades, primer és el problema i després les matemàtiques) i en algun moment vaig citar les geometries no euclidianes amb relació a la Teoria de la Relativitat d'Einstein (on, simplificant, primer és la Geometria de Riemann i després la seva aplicació a la física). Vaig anar en compte de no dir Riemann, però se'm va escapar geometries no euclidianes i, més tard, geometria fractal. Fins i tot algun alumne que s'estava endormiscant, ja que havia intuït que tot allò "no entrava en l'examen", es va remoure al seient i uns quants van interrogar alhora, com el cor d'una tragèdia grega: ¿NO EUCLIDIANES? ¿FRACTALS?

Havia oblidat que en els nostres temaris només existeix una geometria i que la relativitat i la mecànica quàntica, que ja han complert un centenar d'anyets, són física moderna (on moderna té el mateix significat de l'adjectiu que s'aplicava a la música jove, moderna o yé-yé, els anys seixanta). No ho comento en el sentit que els alumnes de secundària hagin de cursar geometria diferencial, però estaria bé que tinguessin algunes nocions de "en quin punt estan" les matemàtiques i la física contemporànies (i no n'hi ha prou de recomanar que els professors se'n preocupin si després no s'avalua).

Matemàtiques i matemàtica i, en canvi, geometria (en singular)?

És ben curiós que, en castellà i en català, s'hagi optat majoritàriament pel plural matemàtiques (si us interessen les erudicions podeu llegir Un fantasma de la lexicografía hispánica ¿matemática, o matemáticas?) i, en canvi, costi de trobar el plural de geometria en els llibres. No és només un problema de terminologia: quan el pèndol pedagògic ha retornat de l'àlgebra i la teoria de conjunts a la geometria, hem tornat a alabar les meravelles de l'Antiga Grècia i els Elements d'Euclides (i cal dir que valoro moltíssim els Elements, com podeu veure aquí), hem conservat els continguts de geometria analítica (alabat sia Descartes), però no hem avançat gaire més en el temps.

Per tot això, a l'hora d'escriure una categoria o etiqueta per a entrades com aquesta en el bloc, m'he decidit pel plural geometries que em sembla que reflecteix millor la pluralitat que estic defensant.

Les geometries no euclidianes

La recurrent frase, dogma de fe a secundària, "els tres angles interiors d'un triangle sumen 180º" hauria de portar la condició o afegitó "en geometria euclidiana" o "si l'espai és pla". Només cal comprovar si el teorema funciona, per exemple, pels "triangles" traçats a la superfície terrestre (llegiu-ho a La importancia de los "ámbitos de validez "en ciencia, d'on he tret la imatge que figura a continuació).

Els tres angles d'un triangle sumen 270º!

La majoria dels nostres estudiants ignoren, a més, que estan treballant una determinada geometria, la geometria euclidiana. Els passa com a aquell personatge de Molière, Jourdain, que es sorprèn quan se n'adona que porta més de quaranta anys parlant en prosa sense saber-ho (permeteu-me la digressió literària: ho podeu llegir a Le Bourgeois Gentilhomme, acte segon, escena quarta).

Les geometries no euclidianes neixen de la negació del cinquè postulat d'Euclides. D'altres ho han explicat prou bé, us convido a consultar:

•  El quinto postulado

• Geometría no euclidiana

La geometria fractal

Tal com vaig fer en la classe de la qual he parlat en la introducció, la millor manera de presentar la geometria fractal és cedir-li la paraula a un dels seus pares, Benoît Mandelbrot (1924-2010). En una fantàstica conferència TED del 2010, que no us podeu perdre, Mandelbrot ens parla de la seva obra (he triat els subtítols en català, però els podeu treure o escollir d'altres idiomes):

Com que ja ha sonat el timbre i hem d'acabar la classe, prometo que de Mandelbrot i dels fractals en tornaré a parlar en exclusiva i amb l'atenció que es mereixen.

No fa gràcia, fa por: l'anumerisme

El mot "anumerisme" no m'acaba d'agradar, però no trobo cap paraula més ajustada per definir la ignorància en l'aplicació dels continguts matemàtics més bàsics. Diria que es va començar a utilitzar a partir de la publicació dels llibres de John Allen Paulos en la seva traducció castellana (vegeu L'analfabetisme matemàtic i les seves conseqüències en aquest mateix bloc) i ha arribat als títols d'algun article periodístic (podeu llegir, per exemple, l'interessant El 'anumerismo' también es incultura de Bernardo Marín publicat en El País el 6 d'abril de 2011). Per què no m'acaba de fer el pes aquesta paraula? Perquè sembla que reflecteix una certa visió de les matemàtiques com a la ciència de manipular els nombres, i la matemàtica és força més que un "numerisme". La solució "analfabetisme matemàtic" és més llarga i té una connotació de dificultat en la lectoescriptura matemàtica, i no es tracta d'això. Sigui com sigui, he decidit incorporar l'etiqueta anumerisme a les categories d'aquest bloc i, per desgràcia, tinc material per escriure més d'una entrada.

L'anumerisme ja s'ha convertit, de fet, en l'eix de diversos llibres de divulgació matemàtica. A casa nostra, el matemàtic Claudi Alsina ja ha publicat dos llibres comentant exemples flagrants d'anumerisme (ell parla d'assassinats matemàtics!): Asesinatos matemáticos i Los asesinos matemáticos atacan de nuevo (si feu clic en els títols, en podreu llegir una ressenya). Això d'assassinats matemàtics té una certa gràcia, però pot ser més que una metàfora: ja descriuré, un altre dia, algun cas d'homicidi per anumerisme.

Asesinatos matemáticos (ISBN 978-84-344-6920-4)

Vegem un parell de casos recents, i incruents, d'ignorància matemàtica:
 
La calculadora embruixada...

Si disposar d'un corrector ortogràfic en un processador de textos, no assegura el domini de la llengua escrita; podríem dir que tenir una calculadora a les mans, no proporciona la destresa necessària per fer els càlculs més senzills. En dóna fe el següent vídeo que correspon a una escena "còmica" del programa Saber Vivir que s'emet pel primer canal de TVE. L'emissió és del 5 de novembre d'enguany. Una periodista, Mariló Montero, i un col·laborador del programa, el metge Luis Gutiérrez, no se'n surten quan intenten posar un exemple de com es calcula l'índex de massa corporal (IMC).

Si penseu que la periodista és més anumèrica que el saberut doctor, deixeu-me indicar que:

1. El doctor Gutiérrez s'equivoca en el càlcul mental de l'IMC de la Sra. Montero, que no arriba ni a 20 (si no amaga pes i /o exagera l'alçada).

2. Les errades que comet la calculista són, bàsicament, de jerarquia de les operacions o d'entrada de dades (quan es carrega les comes perquè li molesten!?) i el doctor se'n podria adonar i corregir-les.

3. Impagable l'afirmació del doctor sobre les unitats de l'IMC: kg/m²? Com la pressió? Aquest home, en algun moment de la seva vida, haurà afirmat allò tan simplista de "jo sóc de ciències"?

Veient això no m'estranya que alguns alumnes de les meves classes defensin un resultat equivocat amb la inquietant frase "m'ho ha dit la calculadora". I és que les calculadores les carrega el diable!

El nostres polítics... o els seus assessors

La següent fotografia recull un moment estelar de la intervenció de la política Alícia Sánchez-Camacho en un debat en el canal 8 TV durant la darrera campanya de les eleccions al Parlament de Catalunya:

Mostra una suma bastant senzilla 700 + 500 + 118... i li dóna 1.218! No res, una errada de 100 milions d'euros! Segons ens expliquen en el diari Ara (vegeu la notícia), la Sra. Sánchez-Camacho va dir el resultat correcte, però la captura de la pantalla i l'ànonim assessor que li va preparar el rètol passaran a la història. Els seus contrincants dels altres partits polítics, no se'n van adonar de l'errada?

I avui ho deixarem aquí, ja tindrem temps, més endavant, de parlar del Teorema de Zapatero.

Física: context, "espectacle" i Walter Lewin

Malgrat que comparteixo la docència de les matemàtiques amb la docència de la física, fins ara he dedicat poques frases i només una entrada a aquesta disciplina (2001: una odissea de l'espai i algunes lectures de física). En part per ser fidel al títol del bloc, però com que la física és la ciència experimental més propera a les matemàtiques (la que més aviat va treure profit de les ciències exactes) no trobo dessassenyat que li dediquem una nova entrada. Aprofito a més que encara ressona l'eco de les vuvuzeles.

Bona part de l'alumnat que s'ha examinat de Selectivitat (o sigui de les PAU) enguany a Catalunya haurà entés la referència al sorollós instrument que ens va acompanyar, insuportablement, durant el mundial de futbol de Sud-àfrica del 2010. Per als qui ignoreu que tenen a veure les vuvuzeles amb la Selectivitat us convido a llegir el següent problema proposat a les PAU de Catalunya:

Física PAU 2010-2011. Sèrie 1. Opció A. Problema 3.
(+/- Mostra/Oculta)

En l'últim campionat mundial de futbol, la vuvuzela, un instrument musical d'animació molt sorollós, atesa la forma cònica i acampanada que té, va despertar una gran controvèrsia per les molèsties que causava. Aquest instrument produeix el so a una freqüència de 235 Hz i crea uns harmònics, és a dir, sons múltiples de la freqüència fonamental (235 Hz), d'entre 470 Hz i 1 645 Hz de freqüència. La vuvuzela és molt irritant, perquè els harmònics amb freqüències més altes són els més sensibles per a l'oïda humana.

NOTA: Considereu que el tub sonor és obert pels dos cantons.

a) Amb les dades anteriors, calculeu la longitud aproximada d'una vuvuzela.
b) Un espectador es troba a 1 m d'una vuvuzela i percep 116 dB. Molest pel soroll, s'allunya fins a una distància de 50 m. Quants decibels percep, aleshores?

DADES: v_{so a l’aire} =340 m/s; I₀=10^–12 W/m².

He ocultat l'enunciat per tal que els examinands afectats d'estrès posttraumàtic puguin decidir en quin moment volen tornar-lo a veure. Aquest examen va provocar una certa polèmica entre el jovent i ha propiciat la creació d'algun grup al facebook amb un nom, certament escatològic, amb la paraula vuvuzela com a centre d'atenció. Aprofito per comentar que no caldria exagerar la importància informativa de les xarxes socials: el diari La Vanguardia va publicar un parell d'articles, dies enrere, comentant que molts estudiants estaven descontents amb la correció de l'examen de filosofia (la font d'informació eren les entrades que els periodistes havien llegit al facebook!). De fet, els nostres estudiants són cada dia més ocurrents; com a demostració només cal que consulteu a Youtube la variada videografia de Frank-Einstein de la Facultad de Física de Sevilla (cal dir que la qualitat d'aquesta és desigual, però això també es pot dir de la filmografia d'Almodóvar). Tornant a l'escatologia, apareix una nota en el sorollós problema que diu Considereu que el tub sonor és obert pels dos cantons, cosa que ens porta a consideracions sobre l'anatomia dels vuvuzelistes o a postular l'existència de fantasmes o àngels bufadors no-corporis.

A Gaussianos fa poc que ha aparegut un divertit article sobre Cuando un profesor saca su vena friki..., parlant d'enunciats d'exàmens de matemàtiques, però en el cas de les PAU de física no es tracta de frikisme. D'uns anys ençà, professors i alumnes, estem avisats que els enunciats dels problemes faran referència a un context real. Cosa que em sembla lloable i adequada, però que, a la pràctica, fa que puguem prescindir de la lectura de, com a mínim, les dues o tres primeres línies dels enunciats, que els alumnes s'enfrontin amb elements distractors o que es dediquin a dibuixar unes realistes vuvuzeles en lloc de començar a operar. En el fons, el conjunt d'aquest examen era criticable per altres motius i l'instrument musical (!?) n'ha estat l'anècdota...

Anem a l'espectacle! El maig passat es va jubilar i va fer la seva darrera classe el professor de física Walter Lewin del Massachusetts Institute of Technology (MIT) (vegeu La última clase del Profesor de física más divertido del mundo). Lewin és força conegut per les experiències i experiments que feia en les seves classes i que estan penjades a la xarxa:

No sé si era el professor de física més divertit del món (alguns d'aquests espectacles els han fet d'altres a classe), però és evident que, després de sorprendre els alumnes, li calia comentar la més rigorosa i matemàtica teoria si realment volia impartir física. No ha aconseguit, però, el desig, expressat en alguna entrevista, de "quiero morir en una clase" (tot i que penjar-se d'un pèndol a segons quina edat n'augmenta la probabilitat).

Si sou professors de física i teniu dificultats amb la  direcció de l'institut per tal que us instal·lin un pèndol a classe, la solució és acudir a internet i cercar algun vídeo. Cal, però, triar-los amb una certa cura. Us poso l'exemple de tres vídeos molt semblans sobre la conservació de l'energia i el pèndol:

1r exemple: Ben explicat el principi de conservació i amb un professor amb bons reflexos (cliqueu, si us plau, conceptual physics Conservation of Energy)

2n exemple: Una bona explicació, però diria que la persona que hi apareix no acaba d'estar convençuda de l'exactitud de les lleis físiques i pateix per la integritat de la seva anatomia (feu clic, si us plau, a Nose Basher)

3r exemple: No té cap explicació, és massa curt, però té l'encant de les pel·lícules de por antigues (cliqueu, si us plau, Pendulum of Death)

No cal que us digui quin dels tres causa més impressió a les classes de batxillerat (fins i tot provoca algun crit ofegat dels alumnes que pateixen pel nas de la protagonista), el tercer! En el fons no explica res, però és el més divertit... Ep, a mí també m'agrada!

Simon Singh: llibres rodons (III). L'enigma de Fermat

Aquesta entrada serà la tercera que dedicarem a l'obra de Simon Singh. Podeu veure les dues anteriors
(Simon Singh: llibres rodons (I) i Simon Singh: llibres rodons (II). Los códigos secretos) i també l'escrit que, de fet, és una introducció al tema del qual tracta l'obra que comentarem (El Darrer Teorema de Fermat: una primmirada introducció). Per als no lletraferits, prometo que, després d'enfilar tants articles parlant de llibres, deixaré reposar la meva bibliofília i, pròximament, comentarem d'altres qüestions.

L'obra de Simon Singh Fermat's Last Theorem va ser publicada en anglès el 1997 i va assolir, en poc temps, la categoria de bestseller a Gran Bretanya (un destí ben estrany per a un llibre que parla bàsicament de matemàtiques i de la llarga història que ens porta de la Darrera Conjectura de Fermat —ara ja podem parlar del Teorema de Fermat-Wiles— a la demostració d'Andrew Wiles). L'any següent a la primera edició anglesa, el 1998, Edicions 62 posava a la venda la traducció catalana, a càrrec d'Antoni Vicens Lorente, amb el títol L'Enigma de Fermat. També podeu llegir l'obra en castellà si Editorial Planeta no l'ha descatalogat, ara que el negoci editorial i les xurreries, ho dic amb tot el respecte per als qui es dediquen a la venda de xurros comestibles, tenen tantes coses en comú.

Assenyadament, Singh no descriu només el llarg recorregut de la conjectura, sinó que fa una amena explicació d'altres qüestions històriques que li permeten alhora divulgar la metodologia de les matemàtiques. El llibre es tanca amb uns breus apèndixs, amb algunes demostracions senzilles i entenedores, i una bibliografia no extensa, però sí, ben seleccionada. Si us agraden les matemàtiques o creieu que algun dia us poden arribar a agradar, us recomano la lectura d'aquest llibre.

I ara, una petita perla! Just un any abans de la publicació del llibre, el 1996, Simon Singh va dirigir un documental, amb John Lynch de guionista i productor, per a la prestigiosa sèrie Horizon de la BBC sobre aquest mateix tema i amb el mateix títol (si el voleu veure, feu clic a Fermat's Last Theorem). Per als que tingueu dificultats amb l'anglès, a sota hi teniu els primers minuts d'aquest episodi, amb un emocionat Wiles, subtitulats en castellà (a Youtube hi trobareu la resta).

Actualització de 19/01/2016: Tant l'enllaç anterior com el vídeo que teniu a continuació estan bloquejats per problemes amb els drets d'autor. De moment, podeu veure el documental amb subtítols en castellà fent clic aquí o accedint a matematicascercanas.

Per acabar us proposo una cerca, ara mateix en aquest bloc hi ha una única imatge d'Andrew Wiles, potser no l'heu vist?

Despropòsits: temps, dimensions, cintes, música...

Hores d'ara moltes persones ja estan vivint les primeres hores del 2011; d'altres, continuaran vivint en el 1432, en el 5771 o en qualsevol altre any enter positiu (Calendar Converter). Segurament faria bé de complir alguns dels compromisos que he anat posposant en aquest bloc (deixar parlar a John Nash, comentar la llei d'Hondt, parlar de l'etern retorn...) en lloc de dedicar aquest escrit a encadenar despropòsits. Aquest any, m'hagués agradat arribar a l'article seixanta per tal de fer un homenatge a les matemàtiques antigues (sistema sexagesimal) i aclarir, a alguns cervells batxillers i poc crítics, que és més fàcil d'explicar la mesura dels angles en radians (o radiants) que no pas perquè una hora té seixanta minuts, perquè encara comprem els ous per dotzenes, perquè l'any comercial té 360 dies o perquè fer un gir de 180º —que no de 360º, com una vegada vaig sentir dir a un futbolista— equival a un canvi radical en una situació. Com que aquesta és l'entrada 58 del bloc, ho deixaré tot per a una altra ocasió i em permetré desvariejar una mica.

En l'actualitat tenim una idea força lineal del temps (time que no weather, d'altres idiomes tenen més clara la distinció) i els físics es permeten parlar de la fletxa del temps. Sigui el que sigui el temps, sembla que avança inexorablement (o hauríem de dir termodinàmicament?). ¿Però com ens atrevim a parlar del temps si la majoria de mortals no tenen clar quantes cares o dimensions té un full de paper? La cinta o banda de Möbius és dels pocs objectes matemàtics, i estem parlant de topologia!, que tenen l'èxit assegurat a les aules de secundària. La seva construcció és ben senzilla, només ens cal una tira de paper i unir-ne els extrems fent mig gir en un d'ells, i és fàcil posar de manifest les seves sorprenents propietats: entre d'altres, és una cinta d'una sola cara i no és orientable (damunt de la cinta no té cap sentit parlar de dreta i esquerra). Només necessitem la cinta, un llapis i tisores:

---

Addenda del 15 d'octubre de 2011

Si heu clicat damunt del vídeo anterior, haureu comprovat que ja no està disponible per una reclamació de drets d'autor (el seu link era http://www.youtube.com/v/JHSfKwhSOos). Com que no hi ha mal que per bé no vingui, m'he posat a cercar vídeos disponibles de contingut equivalent i us en recomano dos:

• La Banda de Möbius comentada en català en el programa de divulgació de Televisió de Catalunya Quèquicom.

• Banda de Moebius que té una factura semblant al vídeo que originalment vaig enllaçar a aquesta entrada.

---

Si preferiu les tontes serpentines que es tiraran aquesta nit a la cinta de Möbius, us comprenc, però vigileu que no acabeu tan desorientats com les pobres formigues que va dibuixar M. C. Escher mentre us pregunteu aquesta matinada: i si l'Univers i el temps són unes immenses cintes de Möbius?

Parlant d'aquesta cinta i com que no m'agradaria acabar l'any sense música... No patiu que no seran valsos, ara que resulta que els concerts de valsos d'Any Nou ja són "tradicionals", fins i tot, a Matadepera!

He descobert aquest excel·lent vídeo en el recomanable bloc de matemàtiques Juan de Mairena.

Ah! i si no us podeu estar de fer propòsits i desitjos per al nou any, si us plau, que no siguin ni tres ni deu i, millor, deixeu-ho per un altre dia.

Les noves tecnologies es rebel·len

Aquesta vegada els dubtes no han aparegut a l'hora de redactar els continguts, sinó en l'encapçalament de l'article (quin havia de ser el títol?) i en un detall tan accessori com la data de publicació. Anem pel títol: hem de dir noves tecnologies, no tan noves tecnologies, tecnologies digitals (sempre hi ha algú que assenyala posant el dit a la pantalla encara que aquesta no sigui tàctil)? N'hi ha que en deia TIC (tecnologies de la informació i la comunicació) i ara se n'adona que en diuen TAC (tecnologies de l'aprenentatge i el coneixement). Aquell acudit dolent de "con lo que me ha costado decir pilícola y ahora lo llaman flim" s'ha transformat en jocs de paraules amb tic-tac. Per altra banda, les noves tecnologies es rebel·len, ens ataquen, ens vénen a salvar? De totes maneres i a propòsit del vídeo que veureu: quan projectem en una pantalla (que per altra banda acostuma a inutilitzar bona part d'una pissarra) no li estem fent un homenatge a Plató i a les ombres projectades en el Mite de la Caverna?

En quan a la data de publicació: la més escaient és un u d'abril (April Fools' Day o Dia d'enganyar), un més nostrat vint-i-vuit de desembre (Dia dels innocents) o ja està bé un onze del dotze del deu?  Insertant aquest vídeo no estaré fent publicitat encoberta de Biola University i hauran d'aplicar numerus clausus el curs vinent davant l'allau d'alumnes? Com que tenir dubtes no és modern, us deixo amb el document gràfic:

El nombre auri i la successió de Fibonacci

En un article anterior ja vam parlar de El nombre auri i el senyor Disney. El vídeo que podeu veure en aquell article està força bé, però obvia la relació del nombre auri amb la successió de Fibonacci. El vídeo El número de oro, phi , la divina proporción, a banda de més rigorós, aclareix la relació entre aquest nombre i la famosa successió:

Per cert, per als que teniu problemes de comprensió amb la versió portuguesa del vídeo de Disney de l'entrada del 20 de gener, aquí teniu la versió en castellà:

El nombre Pi, el nombre e i el nombre i. Una estranya relació?

A Youtube podeu trobar força vídeos interessants de matemàtiques i, no cal dir-ho, alguns sobre els nombres trascendents Pi i e (i la seva relació amb el nombre i en una mateixa expressió). Però per demostrar aquesta expressió necessitem certs coneixements sobre els nombres complexos, i això sí que ho deixarem per a un altre dia.

El nombre auri i el senyor Disney

En un web de matemàtiques no pot faltar un vídeo sobre el nombre auri. Aquest que us presento aquí és de la factoria Disney (no us perdeu l'aparició estelar de l'ànec Donald). Algú ha comentat que Walt Disney estava interessat en el nombre auri pel fet de pertànyer a la maçoneria. Disney era maçó, però no crec que produís vídeos com aquest per difondre la causa (suposo que deu ser una altra llegenda urbana sobre aquest personatge). Per cert el vídeo està doblat al portuguès, però s'entén força bé i així ens permet disfrutar de la sonoritat d'aquesta llengüa. Si algú el troba en castellà o, ja seria un miracle, en catalá, feu-m'ho saber.