El dia de Pi (III). Posem-hi música

El 14 de març d'enguany vam encetar una sèrie d'escrits dedicats al nombre Pi. En el primer (El dia de Pi (I). Una invitació), a més d'explicar perquè el 14 de març se santifica, extraoficialment, el nombre π, ens vam posar uns quants deures. Alguns ja han estat acomplerts (El càlcul dels decimals del nombre Pi mitjançant mètodes en els quals hi intervé l'atzar, per exemple, el vam comentar a El dia de Pi (II). El determinisme de l'atzar), però ens quedava pendent, entre d'altres:

• El nombre Pi i la música. Un divertimento sense solta ni volta: Com sonen, o com podem fer sonar, els decimals de Pi?

Amb això de sense solta ni volta ja us aviso que no us trobareu una entrada de rigorosa matemàtica, però, si més no, espero que us sembli entrentinguda i curiosa. A més no hi ha festa ni diada assenyalada, sense música.

Em sembla —no ho puc assegurar— que la primera vegada que vaig sentir els decimals de π va ser en una conferència de Claudi Alsina. El sorprenent professor de matemàtiques va prémer el botó d'un vell magnetòfon i van començar a sonar unes atzaroses notes que corresponien (en el sentit de correspondència matemàtica) als decimals del nombre π. El mètode era molt senzill: a cada dígit del 0 al 9 li feiem correspondre sempre la mateixa nota i els decimals anaven sonant tots amb la mateixa durada. Podeu reproduir  aquesta experiència clicant en l'enllaç Pi10k. El funcionament d'aquest programa és molt senzill: només heu de fer clic a Begin π i després triar escala, triar deu notes o deixar que l'atzar decideixi quines deu notes representaran cada dígit (Randomize). El resultat (podeu "sentir" els primers 10.000 decimals del nombre, d'aquí ve el nom Pi10k) és escassament artístic: el fet que la distribució numèrica sigui aleatòria i totes les notes tinguin la mateixa durada no pot donar un producte gaire melòdic!

Amb més sentit estètic, el músic Lars Erickson, als inicis del noranta del segle passat, va compondre una Pi Symphony on, a més, hi va embolicar un altre nombre trascendent, el nombre e. Podeu trobar una breu explicació de l'estructura de la simfonia en el web d'un altre músic, Michael John Blake (Michaeljohnblake), vegeu Explanation of Pi Symphony en Youtube o en el web de Blake. El mateix Blake ha utilitzat alguns fragments en el divertit, quasi infantil, What Pi sounds like.

Posats a triar em quedo, però, amb la inquientant A piece of Pi (violin music for Pi Day), us recomano que l'escolteu.

I no acabaríem! A The world of Pi hi ha un apartat com aquest:

I un altre apartat amb continguts semblants el podeu trobar a The Joy of π.

En alguns dels exemples que he posat, els més elaborats, els decimals del nombre π s'han utilitzat com a motiu numèric. Els motius, generalment més les lletres que els nombres, s'han utilitzat recurrentment en música. El mateix Johann Sebastian Bach es va permetre jugar amb la correspondència de les lletres del seu cognom B-A-C-H que en notació musical alemanya equivalen a si bemoll (B), la (A), do (C) i si natural (H) (motiu Bach). Clar que de la seva inspiració i proesa tècnica va treure de B-A-C-H, per exemple, el Contrapunctus XIV de l'Art de la Fuga (Die Kunst der Fuge) i no una "riuada" (valgui l'acudit, si sabeu alemany) de notes sense sentit.

Ah, no me n'havia adonat però avui és dia 14 i fa tres mesos exactes del dia de Pi!

Despropòsits: temps, dimensions, cintes, música...

Hores d'ara moltes persones ja estan vivint les primeres hores del 2011; d'altres, continuaran vivint en el 1432, en el 5771 o en qualsevol altre any enter positiu (Calendar Converter). Segurament faria bé de complir alguns dels compromisos que he anat posposant en aquest bloc (deixar parlar a John Nash, comentar la llei d'Hondt, parlar de l'etern retorn...) en lloc de dedicar aquest escrit a encadenar despropòsits. Aquest any, m'hagués agradat arribar a l'article seixanta per tal de fer un homenatge a les matemàtiques antigues (sistema sexagesimal) i aclarir, a alguns cervells batxillers i poc crítics, que és més fàcil d'explicar la mesura dels angles en radians (o radiants) que no pas perquè una hora té seixanta minuts, perquè encara comprem els ous per dotzenes, perquè l'any comercial té 360 dies o perquè fer un gir de 180º —que no de 360º, com una vegada vaig sentir dir a un futbolista— equival a un canvi radical en una situació. Com que aquesta és l'entrada 58 del bloc, ho deixaré tot per a una altra ocasió i em permetré desvariejar una mica.

En l'actualitat tenim una idea força lineal del temps (time que no weather, d'altres idiomes tenen més clara la distinció) i els físics es permeten parlar de la fletxa del temps. Sigui el que sigui el temps, sembla que avança inexorablement (o hauríem de dir termodinàmicament?). ¿Però com ens atrevim a parlar del temps si la majoria de mortals no tenen clar quantes cares o dimensions té un full de paper? La cinta o banda de Möbius és dels pocs objectes matemàtics, i estem parlant de topologia!, que tenen l'èxit assegurat a les aules de secundària. La seva construcció és ben senzilla, només ens cal una tira de paper i unir-ne els extrems fent mig gir en un d'ells, i és fàcil posar de manifest les seves sorprenents propietats: entre d'altres, és una cinta d'una sola cara i no és orientable (damunt de la cinta no té cap sentit parlar de dreta i esquerra). Només necessitem la cinta, un llapis i tisores:

---

Addenda del 15 d'octubre de 2011

Si heu clicat damunt del vídeo anterior, haureu comprovat que ja no està disponible per una reclamació de drets d'autor (el seu link era http://www.youtube.com/v/JHSfKwhSOos). Com que no hi ha mal que per bé no vingui, m'he posat a cercar vídeos disponibles de contingut equivalent i us en recomano dos:

• La Banda de Möbius comentada en català en el programa de divulgació de Televisió de Catalunya Quèquicom.

• Banda de Moebius que té una factura semblant al vídeo que originalment vaig enllaçar a aquesta entrada.

---

Si preferiu les tontes serpentines que es tiraran aquesta nit a la cinta de Möbius, us comprenc, però vigileu que no acabeu tan desorientats com les pobres formigues que va dibuixar M. C. Escher mentre us pregunteu aquesta matinada: i si l'Univers i el temps són unes immenses cintes de Möbius?

Parlant d'aquesta cinta i com que no m'agradaria acabar l'any sense música... No patiu que no seran valsos, ara que resulta que els concerts de valsos d'Any Nou ja són "tradicionals", fins i tot, a Matadepera!

He descobert aquest excel·lent vídeo en el recomanable bloc de matemàtiques Juan de Mairena.

Ah! i si no us podeu estar de fer propòsits i desitjos per al nou any, si us plau, que no siguin ni tres ni deu i, millor, deixeu-ho per un altre dia.

Un còctel mate-musical

A Matemàtiques i Música ja vaig avançar que volia dedicar una entrada a alguns articles i activitats que, per tal de divulgar les relacions entre les matemàtiques i la música, s'han fet a Catalunya. Podem començar per l'escrit Les matemàtiques i les escales musicals de Joan Girbau que va ser publicat en el Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques (SCM) l'octubre de 1985 (podeu consultar-lo en línia fent clic en el títol). En una relativament recent conferència al CosmoCaixa, el 28 de maig de 2009, vaig tenir el plaer d'escoltar el mateix Joan Girbau parlant de "Matemáticas y música: una colaboración de milenios" explicant, tal com fa en el Butlletí, les raons matemàtiques de les escales musicals i la "bondat" de l'escala de dotze notes.

Tractant el mateix tema, d'una manera més lúdica però també rigorosa, Joan Jareño i Francina Turon (professor de matemàtiques i professora de música de l'IES d'Alella) han convertit en conferència uns continguts que, en principi, van preparar per fer una activitat interdisciplinària a 2n d'ESO. Ells l'anomenen Còctel mate-musical: 2/3 de fraccions i 1/3 d'harmonia. L'han portat a l'escenari, mai milllor dit perquè s'acompanyen de guitarra i violoncel per a les explicacions, diverses vegades: per exemple, a les XIV Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas (JAEM) celebrades a Girona el juliol de 2009 o a la XII Jornada Matemàtica d'ABEAM, el novembre de 2009. La següent fotografia és de la sessió d'aquesta darrera jornada (així podreu veure que la interpretació musical té el seu paper en una xerrada de matemàtiques):

Malauradament, que jo sàpiga, em sembla que a ningú se li ha acudit gravar aquesta sessió en vídeo. L'unic document que està disponible en línia és el PowerPoint que han elaborat per a les explicacions (Còctel musical).

Un altre article interessant aparegut en el Butlletí de la SCM, el juliol de 2002, i que he deixat per el final ja que va més enllà de les escales és Matemàtica en la creació musical de Salvador Comalada. Com que el tema dóna per més, en continuarem parlant.

Matemàtiques i Música

El títol bé podria ser Música i Matemàtiques, però una de les obres imprescindibles per a qualsevol que s'interessi per la relació entre les dues disciplines s'anomenava, almenys fa uns anys: Mathematics and Music. El seu autor David J. Benson és actualment professor de matemàtiques de la Universitat d'Aberdeen. Durant més de 500 pàgines explica els fonaments físics i matemàtics del so i la música, parla de consonància i dissonància, analitza els fonaments de les diferents escales musicals, passa revista a la música digital, etc. Vaig descobrir el llibre ja fa uns anys i immediatament me'l vaig baixar en format PDF (de forma totalment legal perquè l'autor ho permet, però també està editat en paper per Cambridge University Press). Confeso que només  n'he llegit alguns capítols, però és un manual que em fa l'efecte que és mereix una lectura atenta. A més, les diferents unitats són bastant independents i podeu consultar aquelles que us interessin. El professor Benson va actualitzant la seva obra i la darrera versió s'anomena Music: A Mathematical Offering (feu clic al títol o a la imatge de la portada que apareix més avall si voleu accedir a la pàgina per baixar-vos el PDF). L'autor adverteix que per la xarxa circulen versions anteriors del seu llibre, jo mateix he trobat encara la versió del 2004 amb el títol original de Mathematics and Music, i recomana lògicament que les persones interessades consultin la darrera versió que apareix al seu web.

En una propera entrada parlaré d'articles més concisos (per als que us faci por l'extens manual de Mister Benson o necessiteu una primera aproximació al tema que ens ocupa) i, com no, de l'aportació dels matemàtics catalans a la divulgació de les relacions entre la música i les matemàtiques.