El Teorema (o axioma) del punt gros

 
He dedicat unes quantes entrades a les diferents geometries (vegeu, per exemple, I les altres geometries?) i, en algun escrit, he apuntat alguna cosa sobre les dimensions superiors a tres (Més enllà de la tercera dimensió: l'hipercub (I)) amb la promesa de tornar-hi. Haig de dir que, en general, les geometries no euclidianes i les dimensions extres no acostumen a ser ben rebudes per les persones alienes al món de la matemàtica. En canvi, la geometria euclidiana s'accepta de manera immediata com si, tanmateix, fos una creació de Déu o una realitat irrefutable del nostre univers. Tothom creu saber què és un punt, una recta o un pla i troba que aquests conceptes són d'allò "més naturals". Euclides comença els seus Elements de geometria (Els Elements d'Euclides) amb una sèrie de definicions (un punt és allò que no té parts, una línia és una longitud sense amplada, els extrems d´una línia són punts, una recta és una línia que esdevé igual respecte de tots els seus punts, una superfície és allò que només té longitud i amplada, etc.) que ens poden semblar evidents  o, fins i tot, podem opinar que el pobre Euclides se les podia haver estalviat. Si ens parem a pensar, el salt d'un concepte a l'altre, més que evident, és màgic i ens hauria de generar un cert rebuig: un punt no té dimensions, però un conjunt de punts poden generar una recta que té una dimensió? si posem moltes rectes juntetes, una al costat de l'altra, obtenim una superfície de dues dimensions? D'on surten aquestes dimensions extres? És clar que l'objectiu d'aquestes observacions no és que renegueu de la utílissima geometria euclidiana i, a més, avanço que us hauríeu d'agafar aquest escrit amb una actitud reflexiva, però no massa seriosament.


El cinquè postulat

En el seu Llibre I, Euclides, després de 23 definicions, introdueix els seus cinc famosos postulats o axiomes (Postulats). De la negació del controvertit cinquè postulat, neixen les geometries no euclidianes. En el seu format original, degudament traduït al català, el cinquè postulat afirma que "Si una secant talla a dues rectes formant a un costat angles interiors la suma dels quals és menor que dos angles rectes; les dues rectes, suficientement allargades es tallen en el mateix costat".

El cinquè postulat d'Euclides expressat gràficament.
(La imatge ha estat extreta d'aquí )

En la imatge explicativa anterior, com que la suma dels angles m i n és menor de 180º (dos angles rectes), els segments AB i CD es tallen, si es prolonguen, per la dreta.

De fet, aquest postulat és més conegut en una versió diferent, però equivalent, a la que va donar Euclides: "Per un punt exterior a una recta es pot traçar una única recta paral·lela".

Versió artística i gràfica de l'enunciat alternatiu del 5è postulat.
(La fotografía és de Pepe E. Carretero i la podeu veure en el seu blog)

El Teorema del punt gros (TPG)

Hi ha una versió hispànica —només n'he trobat referències en castellà i algunes en català— que substitueix i contradiu aquest cinquè postulat, però és una proposició més intuïtiva i evident. Es coneix com el "Teorema del punto gordo", però seria més correcte dir-ne postulat o axioma. Com totes les grans veritats, admet més d'una formulació, a mi m'agrada aquesta:

Per un punt exterior a una recta passen diverses rectes paral·leles el nombre de les quals depèn del gruix del punt.

Teorema del punt gros. Pel punt P passen tres rectes paral·leles a la recta r... o més!

Alguns autors catalans, que prefereixen la traducció Teorema del punt gran, opten pel següent enunciat:

Dues rectes paral·leles es tallen en un punt, sempre que el punt sigui suficientment gran.

Aquesta imatge "provatòria" ha estat extreta d'aquí,
però la font original és Inciclopedia.

Fonemato, l'alter ego de Rafael Cabrejas, ha dedicat un imprescindible vídeo a aquest Teorema. Aprofito per recomanar-vos també la resta de vídeos d'aquest autor, aquests sí, útils i seriosos (però no tots gratuïts): vídeos de Fonemato.


Aplicacions del TPG en el Dibuix Tècnic

Com que sou lectors intel·ligents, ja fa estona que us haureu adonat de la presa de pèl: els punts grossos contradiuen la definició d'Euclides que afirma que els punts no tenen dimensions. El saberut Fonemato, al final del seu vídeo-broma, certifica la inexistència dels punt grossos. Però algú és capaç de dibuixar un punt sense dimensions? I si algú fos capaç de tal proesa, la resta de la humanitat, el podríem veure? Els físics que estan acostumats a simplificar les situacions i no s'immuten quan en un problema comencen amb "Suposant que la Terra és una massa puntual...", ho arreglarien ràpidament dient que les dimensions dels punts són negligibles..., però no ens enganyem, la física no és una ciència prou seriosa.

Sigui com sigui, els punts grossos tenen nombroses aplicacions: la majoria d'elles relacionades amb el dibuix tècnic. Els aprenents que comencen a practicar aquesta disciplina es troben sovint que, després d'una llarga construcció, després de traçar tangents, perpendiculars i paral·leles, el resultat no és el desitjat: una línia no passa, per poc, per un determinat punt perquè no han estat prou destres i acurats en els passos previs. Doncs bé, existeixen dues solucions per tal de no haver de repetir tot el procés: o fem el punt més gros o optem per una línia flàccida o peluda (algú s'atreveix a parlar de "rectes astutes"). Per la importància d'aquesta aplicació el gran Tito Eliatrón es refereix al TPG com a Teorema Fundamental del Dibujo Técnico. Consulteu també, si us plau, el Teorema del Punto Gordo y la Línea Flácida.

Cal dir que el TPG també s'ha aplicat en l'anàlisi d'algunes jugades de futbol, aquest esport pedestre, i que això ha donat lloc a algunes crítiques vehements (Riera, cuéntenos...).


Apunts lingüístics

Els traductors catalans es mostren dubitatius: cal traduir "gordo" com a gros, gran o gruixut? Si consultem l'autoritat pertinent, el DIEC, i anem a les definicions de gros,  gran i gruixut, ens pot semblar que "gros" no és la paraula adequada. Però "gordo", en castellà i en aquest cas, tampoc és lingüísticament escaient, si bé té un matís còmic que s'adiu al nostre teorema. Aquells que encara esteu per apreciar aquestes distincions i fugiu de comunicar-vos amb  rugits i brams fareu bé de consultar: Bricollengua o Racó Català. Jo m'he decidit per traduir "punt gros", però he estat temptat d'optar pel més càrnic i simpàtic "punt molsut".

Espero que no acabeu pensant que avui us he venut gat per llebre o, en una versió més suau, que he fet passar bou per bèstia grossa. Per cert, a aquesta darrera frase feta no li acabo de trobar el sentit: vol denotar un cert tipus d'engany, però no té un punt de tautologia? Els bous no pertanyen al conjunt de les bèsties grosses?

Més enllà de la tercera dimensió: l'hipercub (I)

Introducció

En l'entrada immediatament anterior a aquesta (Més enllà de la tercera dimensió: notes inicials) vaig avançar que, en la següent, parlaria de l'hipercub. Només començar a escriure ja se'm presenten problemes terminològics: per a alguns un hipercub és només un cub de quatre dimensions; d'altres, generalitzen el concepte i parlen d'hipercubs n-dimensionals o n-cubs (així l'hipercub de quatre dimensions és el 4-cub). Com que, ara per ara, els articles de les viquipèdies peninsulars fan tentines en aquest tema, us dono l'enllaç a la Wikipedia anglesa: Hypercube.

La confusió no acaba aquí, alguns anomenen tesseractis (teseracto, en castellà; o tesseract, en anglès) al 4-cub, per a d'altres, el tesseractis només és el desenvolupament tridimensional del cub (l'anàleg al desenvolupament pla d'un cub o 3-cub). El desenvolupament pla d'un cub està format per sis quadrats que doblegats en l'espai formen un cub; el desenvolupament del 4-cub consta de vuit cubs que plegats en un espai de quatre dimensions formen un hipercub.

Desenvolupament d'un 3-cub i d'un 4 cub (extret de Matemáticas en el instituto)

Una mica d'història i d'art

El matemàtic i escriptor anglès Charles Howard Hington (1853-1907) sembla ser el responsable d'anomenar tesseractis (tesseract) a l'hipercub. Va crear un mètode per tal que la gent aconseguís visualitzar la quarta dimensió i van córrer rumors que algú va embogir intentant-ho (espero que els meus escrits no provoquin els mateixos efectes). Posats a llegir sobre dimensions, prefereixo l'imprescindible Flatland: A Romance of Many Dimensions  d'Edwin Abbott Abbot (1838-1926). Però no comento res més del llibre d'Abbot que es mereix una entrada sencera.

Més recentment,el  pintor Salvador Dalí (1904-1989), intel·ligent i llest com era (va arribar a declarar per televisió: "Si fuera menos inteligente, pintaría mucho mejor"), fa una clara referència a un hipercub en una de les seves obres. Com que, a més, és un quadre molt adient per a un Divendres Sant, no me n'estic d'inserir-ne la imatge:

Cruxifixion o Corpus Hypercubus (Salvador Dalí, 1954)

Aquest quadre de Dalí, datat el 1954, es troba actualment en el Metropolitan Museum of Art (Nova York). En el sorprenent blog Turisme matemàtic en podreu trobar una referència (Hipercub dalinià a NY). Lògicament, l'artista no pinta un hipercub, sinó una representació bidimensional del desenvolupament tridimensional d'aquest cos! Per cert, la semblança d'aquesta creu amb la creu gaudiniana de quatre braços (coneguda també com a creu tridimensional) no sé si només és fruit de la casualitat.
  
I com a darrera referència artística podríem citar una pel·lícula: Cube 2: Hypercube (Sekula, 2002), però no l'he vista i en desconec la qualitat.


Proper lliurament de la sèrie

El meu propòsit inicial era incloure en aquest escrit una aproximació matemàtica a l'hipercub (euclidiana, cartesiana...); però, com que és tard i vol ploure (i això s'allargaria massa), ho deixo per a una propera entrada.

Més enllà de la tercera dimensió: notes inicials

Introducció

En un comentari a l'article I les altres geometries?, un lector habitual del blog reconeixia la seva perplexitat quan s'havia d'enfrontar amb el concepte de dimensió: "(...) per a mi, la 4a dimensió ve a ser com la 3a Persona ST." Això de comparar una dimensió suplementària amb una de les persones de la Santíssima Trinitat (hi poso un enllaç per a aquells jovencells que poden confondre el dogma catòlic amb una illa del Carib), em va semblar ben trobat i vaig prometre que dedicaria una entrada al concepte de dimensió. Ai, no sabia pas què deia! Han passat els mesos, hi he anat pensant, una cosa porta a l'altra... i tinc idees i material per dedicar-hi, no unes quantes entrades, sinó un blog sencer o una obra enciclopèdica d'un estil semblant a aquella que Edward Gibbon va dedicar a la caiguda de l'Imperi Romà.

En la meva resposta al comentari, em vaig atrevir a insinuar que al meu interlocutor li podia dirigir aquelles mateixes paraules que, en la immortal obra de Shakespeare, Hamlet dirigeix a Horaci: "There are more things in heaven and earth, Horatio, than are dreamt of in your philosophy." I aquí, a més i des del punt de vista de les ciències exactes, que "una cosa" tingui existència terrenal o celestial no és una condició necessària perquè la puguem estudiar i estructurar matemàticament. Une altre assumpte, és que un sigui capaç de visualitzar el concepte. I ara demanaré el testimoni de Stephen Hawking! En el seu llibre Història del temps. del Big Bang als forats negres, traduït magníficament al català pel físic i escriptor David Jou, escriu:

Sovint resulta útil imaginar les quatre coordenades d'un esdeveniment com si especifiquéssim la seva posició en un espai quadridimensional denominat espai-temps. És impossible imaginar un espai quadridimensional anomenat espai-temps, o cap altre espai quadridimensional. Personalment, em resulta difícil fins i tot visualitzar espais tridimensionals!

Història del temps

Curiosament, un altre físic i matemàtic que ha treballat amb S. Hawking, Roger Penrose, ens sorprèn afirmant que ell si que ha pogut visualitzar la quarta dimensió (almenys així ho escriuen aquí, si hi feu clic no us perdeu els comentaris).


La paraula dimensió és polisèmica!

Si hem de moblar una habitació i parlem de les dimensions que ha de tenir l'armari, no hi ha polisèmia que valgui! Tothom entén que donant tres nombres i on el posarem, ja ens podem fer una idea de com quedarà aquest moble en l'habitatge i si disposarem de gaire espai lliure per fer acrobàcies. Ah! però quan utilitzem aquesta paraula em matemàtiques o física, o el context ens dóna una pista o hem d'especificar molt bé de què estem parlant (vegeu, per exemple, l'entrada dimensió a Viquipèdia). Estem acostumats a parlar de les tres dimensions de l'espai físic, però les dimensions d'aquest "espai" són discutilbles i discutides. Hi ha algunes teories físiques actuals que parlen d'un univers hologràfic de dues dimensions (i nosaltres ens il·lusionem amb la tercera!), hi ha l'espai més clàssic de tres dimensions que a Kant (a priori) l'encantava, tenim les quatre dimensions de l'espai-temps relativístic, i ens meravellem de les 10 o les 26 dimensions de la teoria de cordes. Però no cal preocupar-se, en les versions més habituals d'aquesta darrera teoria, les dimensions suplementàries estan "cargolades" i per això no les detectem! Us deixo amb el primer vídeo de la sèrie 10 Dimensions Universe (Explanation) per tal que comenceu a fer bullir l'olla:

Si deixem els conills que els físics teòrics es treuen del barret,  dit això amb tot el respecte, i tornem a les matemàtiques, aquí no cal ni que les dimensions siguin enteres! (vegeu dimensió fractal). A més, per exemple, en anàlisi matemàtica, en càlcul vectorial, o en general  en àlgebra lineal, és habitual anar més enllà de les tres dimensions. De fet,  no cal imaginar-se les dimensions com quelcom físic: quan intento, generalment de forma poc reeixida, que els meus alumnes deixin de relacionar els vectors amb el pla o amb l'espai, els proposo que construeixin un vector amb les seves qualificacions i així obtenen un vector d'uns deu o onze components (un per a cada assignatura).

Sento que algú em diu "Alto! Estàs fent trampes! Nosaltres volíem que ens  parlessis de quatre o més dimensions geomètriques i ens surts amb tirallongues d'onze nombres i dimensions recargolades que no podem veure!" No patiu que en la propera entrada parlaré de la quarta dimensió "geomètrica" i intentarem acostar-nos a la visualització d'un hipercub (el cos equivalent a un cub, però en quatre dimensions!)

Benoît Mandelbrot (1924-2010)

Notes prèvies

Aquesta entrada vol ser la continuació de I les altres geometries?, on no us hauríeu de perdre el vídeo Les fractals i l'art de la rugositat en el qual el mateix Mandelbrot ens fa una presentació de la Geometria fractal.

Disculpeu el títol tan eixut (només un nom i dos anys), però quan a la xarxa he consultat les notícies que es van publicar arran de la mort de Mandelbrot i he llegit encapçalaments com "El hombre fractal" (sic), "He gave Us Order Out of Chaos", "The father of Fractal Geometry" m'he adonat de la vacuïtat dels suposats títols cridaners o creatius, que curiosament es plagien i tradueixen a diversos idiomes i no aporten gaire cosa als escrits. Per tant, he decidit no dedicar gens de temps a aquest aspecte que no em farà perdre lectors (el nombre d'aquests no pot ser negatiu!). El títol més encertat dels que he trobat ha estat Benoit Mandelbrot el matemático que amplió el concepto de geometría, però és un pèl llarg .

En lloc de fer un escrit lineal, m'ha semblat que seria més útil proporcionar-vos enllaços a pàgines que ja ens informen amb rigor de l'obra i vida del matemàtic polonès, francès i nord-americà (per aquest ordre) Benoît Mandelbrot.

Benoît Mandelbrot (fotografia extreta de la seva pàgina personal a la Yale University)

Ningú s'ho havia plantejat? La geometria fractal

Pot resultar sorprenent el fet que, fins a Mandelbrot, ningú no s'hagi preocupat de teoritzar una geometria que s'aproximi a moltes formes i estructures que apareixen de manera natural, ja siguin accidents geogràfics, estructures anatòmiques animals o vegetals, etc. Us estalviaré detalls de coliflors o falgueres, pero observeu les ramificacions, ben poc euclidianes, dels pulmons (i si voleu llegir un curiós estudi experimental, feu clic a Caracterización de la geometría fractal del árbol bronquial en mamíferos):

Un dels articles famosos que van donar inici a aquesta geometria portava el sorprenent títol, i més en un context matemàtic, de How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. El podeu consultar amb anotacions i comentaris posteriors del mateix autor (aquí) o  veure'n alguna ressenya:

• ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? a Wikipedia
• Mandelbrot: ¿Cuál es la longitud de la costa de Gran Bretaña? Infinito en el bloc Recuerdos de Pandora

Un conjunt amb nom propi: el conjunt de Mandelbrot

No hi ha massa matemàtics que hagin donat el seu nom a algun conjunt i tres dels casos més coneguts corresponen a conjunts fractals:

• El conjunt de Cantor de definició senzilla i inquietants propietats que s'anomena així pel seu creador Georg Cantor (1845-1918)
• El conjunt o conjunts de Julia per Gaston Julia (1893-1978) (he estat temptat d'accentuar el cognom ja que el seu pare es deia Josep Julià)
• El conjunt de Mandelbrot. Podem dir que aquest darrer conjunt és un "descendent" de l'anterior. En podeu llegir la definició a Wikipedia (en català, en castellà o en l'idioma que us plagui). Però us recomanaria l'acurat escrit ¿Qué es el conjunto de Mandelbrot?: historia y construcción a Gaussianos 

Algunes biografies de Benoît Mandelbrot

Si només en voleu llegir una, aneu a l'enllaç següent del MacTutor de la Universitat de St Andrews (ja n'he elogiat la qualitat aquí): Benoit Mandelbrot a MacTutor. A més, des d'aquesta pàgina podeu accedir a d'altres bons materials, per exemple a A History of Fractal Geometry.

Si voleu que el mateix Mandelbrot us expliqui la seva vida, cliqueu a Benoit Mandelbrot a Web of Stories.

I si teniu problemes amb l'anglès, sempre us quedaran l'edicions en català o castellà de Wikipedia!

Alguns "cursos" de geometria fractal

Només per "passejar-s'hi" ja està bé, Fractal Geometry de la Universitat de Yale. Sense esmerçar-m'hi gaire i per allò de "si està en anglès, quina mandra...", he trobat un resum d'un curs de Introducción a la Geometría Fractal  impartit a la Universidad Nacional de Colombia (però és del 2006 i alguns enllaços que apareixen en el text ja no funcionen). Una versió més visual i lúdica la teniu a FractFinder.

Què ens queda en el tinter?

La generació informàtica d'estructures fractals s'ha utilitzat amb resultats interessants en el món de l'art i, en particular, per crear escenaris i paisatges en el cinema o en els jocs informàtics. Deixarem els comentaris d'aquesta part més artística per a una altra ocasió.

I les altres geometries?

Introducció: comencem per l'anècdota

Fa algunes setmanes, en una classe de física de segon de batxillerat, estava comentant per enèsima vegada, que els coneixements matemàtics ens fan més planer l'aprenentatge de la física i que, si no es dominen alguns procediments matemàtics (en aquell moment estàvem derivant una equació de posició), és impossible poder avançar. Aleshores, un inspirat alumne —que, en certa manera, fugia d'estudi— em va fer l'esquemàtica i telegràfica pregunta: ¿que són primer les matemàtiques o la física? Amb aquell sisè sentit que et dóna haver interpretat d'altres qüestions més críptiques —i cal dir que amb l'aclariment posterior de l'inquiet interpel·lant—, vaig entendre que l'interessava saber si primer sorgien els conceptes i tècniques matemàtics i després s'aplicaven a la física o, si era la resolució dels problemes físics, la que provocava l'aparició de nous conceptes a matemàtiques.

La pregunta requeria una classe, o tot un llibre!, per contestar-la. Però com que el temari apressa, vaig fer una intervenció comentant que trobaríem exemples en els dos sentits, vaig parlar dels departaments de matemàtiques aplicades (on de vegades, primer és el problema i després les matemàtiques) i en algun moment vaig citar les geometries no euclidianes amb relació a la Teoria de la Relativitat d'Einstein (on, simplificant, primer és la Geometria de Riemann i després la seva aplicació a la física). Vaig anar en compte de no dir Riemann, però se'm va escapar geometries no euclidianes i, més tard, geometria fractal. Fins i tot algun alumne que s'estava endormiscant, ja que havia intuït que tot allò "no entrava en l'examen", es va remoure al seient i uns quants van interrogar alhora, com el cor d'una tragèdia grega: ¿NO EUCLIDIANES? ¿FRACTALS?

Havia oblidat que en els nostres temaris només existeix una geometria i que la relativitat i la mecànica quàntica, que ja han complert un centenar d'anyets, són física moderna (on moderna té el mateix significat de l'adjectiu que s'aplicava a la música jove, moderna o yé-yé, els anys seixanta). No ho comento en el sentit que els alumnes de secundària hagin de cursar geometria diferencial, però estaria bé que tinguessin algunes nocions de "en quin punt estan" les matemàtiques i la física contemporànies (i no n'hi ha prou de recomanar que els professors se'n preocupin si després no s'avalua).

Matemàtiques i matemàtica i, en canvi, geometria (en singular)?

És ben curiós que, en castellà i en català, s'hagi optat majoritàriament pel plural matemàtiques (si us interessen les erudicions podeu llegir Un fantasma de la lexicografía hispánica ¿matemática, o matemáticas?) i, en canvi, costi de trobar el plural de geometria en els llibres. No és només un problema de terminologia: quan el pèndol pedagògic ha retornat de l'àlgebra i la teoria de conjunts a la geometria, hem tornat a alabar les meravelles de l'Antiga Grècia i els Elements d'Euclides (i cal dir que valoro moltíssim els Elements, com podeu veure aquí), hem conservat els continguts de geometria analítica (alabat sia Descartes), però no hem avançat gaire més en el temps.

Per tot això, a l'hora d'escriure una categoria o etiqueta per a entrades com aquesta en el bloc, m'he decidit pel plural geometries que em sembla que reflecteix millor la pluralitat que estic defensant.

Les geometries no euclidianes

La recurrent frase, dogma de fe a secundària, "els tres angles interiors d'un triangle sumen 180º" hauria de portar la condició o afegitó "en geometria euclidiana" o "si l'espai és pla". Només cal comprovar si el teorema funciona, per exemple, pels "triangles" traçats a la superfície terrestre (llegiu-ho a La importancia de los "ámbitos de validez "en ciencia, d'on he tret la imatge que figura a continuació).

Els tres angles d'un triangle sumen 270º!

La majoria dels nostres estudiants ignoren, a més, que estan treballant una determinada geometria, la geometria euclidiana. Els passa com a aquell personatge de Molière, Jourdain, que es sorprèn quan se n'adona que porta més de quaranta anys parlant en prosa sense saber-ho (permeteu-me la digressió literària: ho podeu llegir a Le Bourgeois Gentilhomme, acte segon, escena quarta).

Les geometries no euclidianes neixen de la negació del cinquè postulat d'Euclides. D'altres ho han explicat prou bé, us convido a consultar:

•  El quinto postulado

• Geometría no euclidiana

La geometria fractal

Tal com vaig fer en la classe de la qual he parlat en la introducció, la millor manera de presentar la geometria fractal és cedir-li la paraula a un dels seus pares, Benoît Mandelbrot (1924-2010). En una fantàstica conferència TED del 2010, que no us podeu perdre, Mandelbrot ens parla de la seva obra (he triat els subtítols en català, però els podeu treure o escollir d'altres idiomes):

Com que ja ha sonat el timbre i hem d'acabar la classe, prometo que de Mandelbrot i dels fractals en tornaré a parlar en exclusiva i amb l'atenció que es mereixen.