L'Excel de Reinhart i Rogoff: anumerisme, numeritis o numerosi? (II)

En l'entrada anterior a aquesta (vegeu L'Excel de Reinhart i Rogoff: anumerisme, numeritis o numerosi? (I)) vaig fer una introducció i uns primers comentaris entorn del polèmic estudi Growth in a Time of Debt de Carmen Reinhart i Kenneth Rogoff. Al revisar l'article d'aquests prestigiosos economistes, l'estudiant de doctorat Thomas Herndon es va trobar amb flagrants errades de càlcul i una dubtosa metodologia. En aquesta segona entrada, després de proposar-vos alguns enllaços, comentaré en què es basen les crítiques a aquest estudi, però no me'n podré estar de posar de manifest que la mala praxi que hi apareix és un mal estès i bastant generalitzat originat per una concepció de la macroeconomia que pateix de numeritis i numerosi (deixarem la mala fe i els interessos creats per a d'altres comentaristes).


La Xarxa en va plena

Per poc que cerqueu per internet, trobareu aquest cas analitzat des de les òptiques més diverses. Per exemple (i no cal que cliqueu en tots els enllaços, evitareu la saturació):

• A La mala praxis de Rogoff i Reinhart en el web Punto de vista económico hi trobareu una anàlisi bastant objectiva d'un economista. Les aportacions dels comentaristes són força interessants.
 
• El error de Reinhart i Rogoff  (Nada es gratis) és força breu i entenedor. Alguns comentaristes es pregunten què té de dolent utilitzar Excel en la investigació econòmica!?
 
• La tésis Reinhart-Rogoff o cómo joder a millones de personas con una hoja de Excel  (en El Cuaderno de Luis) és una visió més indignada de l'assumpte amb falta d'ortografia inclosa (tésis repetidament amb accent?). (1)
 
• En El caso Reinhart-Rogoff y porqué dejé de ser un economista del mainstream hi podeu llegir l'opinió d'un neoliberal (anònim?) amb crítiques de com ha portat la polèmica "la prensa de izquierdas".
 
• Finalment a Does High Public Debt Consistently Stifle Economic Growth? A Critique of Reinhart and Rogoff  hi podreu consultar les detallades explicacions del propi estudiant Herndon i dels economistes Ash i Pollin. I si sou uns fanàtics de l'economia i domineu l'anglès, vegeu aquí algunes crítiques de les crítiques.
 

En algun lloc he pogut llegir que si el nobel d'economia Joseph E. Stiglitz —que sempre ha defensat tesis oposades a les de Rogoff— no ha badat boca és perquè no n'hi per tant, però sembla que Mr. Stiglitz, si més no, piula.


De què se'ls acusa?

En alguns dels enllaços que he anat donant trobareu anàlisis força acurades de les errades de Reinhart i Rogoff; pero, en resum, les crítiques es basen en:

• Haver descartat dades de cinc països que curiosament contradiuen les seves conclusions i haver fet un ús gens acurat de les dades.
 
• Utilitzar un programa generalista com Excel i haver comès errades en la introducció de les fórmules en el full de càlcul. Hi ha paquets estadístics més adequats per a aquest tipus d'estudis, però hi afegiria que el tractament estadístic de les dades és elemental i matusser..
 
• Confondre la correlació (la relació estadística entre variables) amb la causalitat. Aquesta és una errada comuna d'aquells que fan un mal ús de l'estadística. Per posar-vos un exemple que de vegades he utilitzat a classe: la llargada dels peus d'un individu té una correlació negativa amb el nombre de faltes d'ortografia que fa. En un estudi estadístic, on podem agafar tots els habitants d'una ciutat, veuríem que a peu més gran, menys faltes. Jo he viscut aquest fenomen a nivell individual: quan calçava un 25 feia més errades ortogràfiques que ara que porto un 45! Aplicat a l'economia, que l'augment del deute correlacioni amb una baixada de creixement no justifica, per si sol, que hi hagi una relació causal. Reinhart es defensa dient que: "By the way, we are very careful in all our papers to speak of “association” and not “causality” since of course our 2009 book THIS TIME IS DIFFERENT..." Cal dir a Reinhart, i al seu col·lega, que l'"association", en un estudi suposadament científic, és només un primer pas i que, si ens hem de quedar en aquest graó, l'estudi no està acabat! Popper ens diria que la no-associació sí que és una dada científicament rellevant.

On estava l'àrbitre?

Un aspecte d'aquest assumpte que ens ha sorprès a molts és la manca de revisió de l'article. Els articles que es publiquen en les revistes serioses de ciències o matemàtiques són prèviament revisats, com a mínim, per dos experts en la matèria (referees) que si hi detecten errades o incorreccions poden arribar a impedir-ne la publicació. Aquest ús, que s'anomena  peer review en anglès, es tradueix de diferents maneres en castellà o catalá: revisión por pares, avaluació d'experts... És una pràctica generalitzada, té els seus defectes (vegeu, per exemple, El sistema de revisión por expertos (peer review): muchos problemas y pocas soluciones del físic Juan Miguel Campanario), però és un sedàs previ imprescindible que impedeix que surtin a la llum la majoria de bunyols com aquest que ens ocupa.


Anem al fons (2)

Crec que un dels problemes de fons, està en un mal ús de les matemàtiques. No en podem dir, però, anumerisme (a propòsit d'aquest terme, vegeu No fa gràcia, fa por: l'anumerisme o L'analfabetisme matemàtic i les seves conseqüències en aquest mateix blog). Evidentment el mal ús hi és, entre d'altres coses, però no diria que la causa és la ignorància. Vaig estar a punt de batejar-lo numerisme (però aquesta paraula s'utiliza en francès, numerisme, per referir-se a l'auge de les tecnologies digitals i els seus usos). Cercant per internet vaig trobar, i em van agradar numeritis i numerosi. Karim F. Hirji, professor de bioestadística a Tanzània, els explica molt bé en Numerosis and Numeritis: Twin Pathologies of Contemporary Statistics. Si teniu dificultats amb l'anglès, podeu consultar l'interessant Numerosis tipo ONU on es pot llegir en castellà la següent explicació:

Hirji considera la numerosis como un padecimiento que consiste en la “tendencia creciente a cuantificar, enumerar, recoger, almacenar, procesar, utilizar y representar datos relacionados a todas las facetas de la sociedad y más”.  Para él, la patología de la numeritis se relaciona con “la calidad y acuracidad [nota de edición: exactitud] intrínseca de las estadísticas y con la naturaleza, validez y confiabilidad de las conclusiones o representaciones basadas en ellas”.  La numerosis es la aflicción de obsesión por la cuantificación, la cual concede carácter real a todo lo que pueda cuantificarse, a la vez que menosprecia el valor de lo no cuantificable.  La numerosis se hace patente en las palabras de Lord Kelvin quien expresó que “cuando puedes medir un asunto y expresarlo con números, sabes algo sobre ese asunto; pero si no puedes medirlo, si no lo puedes expresar con números, entonces tu conocimiento es pobre e insatisfactorio”.  Tal parece que la numerosis es una seria patología sumamente contagiosa.

I m'agradaria acabar amb una reflexió i una pregunta. Hi ha persones que pensen que els científics i els matemàtics són éssers freds i sense massa escrúpols que no es preocupen de l'aplicació i de l'abast ètic dels seus descobriments. I evidentment n'hi ha d'aquests, però es poden posar nombrosos exemples que ens demostrarien l'actitud contrària, per exemple: Robert Oppenheimer  i Albert Einstein en relació a l'ús militar de la física nuclear. Si coneixeu, però, algun macroeconomista de perfil neoliberal (tipus Milton Friedman per entendre'ns) que hagi demostrat la menor preocupació per les conseqüències socials del seu treball o que hagi rectificat alguna de les seves tesis principals, si us plau, comuniqueu-m'ho. Clar que, quan un és un gran expert, no s'equivoca mai!

Forges sempre tan agut (El País)

Addenda de l'1 de juny de 2013

(1) Si cliqueu en l'enllaç que us porta al blog de Luis Soravilla,  ja no podreu llegir la "tésis" amb accent: el seu autor ha corregit la falta. A més, Luis m'ha fet l'honor de ser el primer comentarista d'aquesta entrada.

(2) No n'estic segur d'haver anat massa al fons de la qüestió. Com més informació llegeixo, més inquietant ho trobo tot plegat. Aquells que defensen les idees de Reinhart i Rogoff, s'escuden en el fet que les errades de càlcul no afecten massa el resultat de l'estudi i que les conclusions, tanmateix, són certes (vegeu, per exemple, La verdad del debate Reinhart Rogoff). Potser no ens calen tants macroeconomistes, perquè si els fets són tan evidents, quin sentit tenen aquestes investigacions acientífiques de metodologia més que dubtosa. No m'imagino Andrew Wiles, quan es van trobar errades en la seva primera demostració de la conjectura de Fermat, replicant "el meu treball no està bé del tot, però és evident que la conjectura és certa".  L'esvalotament del galliner va in crescendo, el nobel d'economia Paul Krugman ha volgut participar en la polèmica i Reinhart i Rogoff contraataquen de manera "poc acadèmica" (Guerra de economistas: Reinhart y Rogoff llaman “incívico” a Krugman). Per cert, Carmen Reinhart ha estat aquests dies, per Catalunya, donant lliçons (Reinhart advierte de que los ajustes fiscales no son suficientes).  

L'hem feta grossa! L'anumerisme en probabilitat

Un tipus d'anumerisme que pot afectar greument les nostres decisions, les nostres opinions i ens pot foradar les butxaques és aquell que fa referència als continguts de probabilitat. Com que aquest dissabte 22 de desembre se celebra el tradicional "Sorteo Extraordinario de Navidad", centraré els meus primers comentaris en aquest joc d'atzar que tant afavoreix  "las arcas del Estado". El primer premi d'aquesta loteria, conegut popularment com "la grossa" (atenció! en castellà li canvien el gènere i s'anomena "el Gordo"), ocuparà les portades dels diaris i les primeres notícies dels informatius de televisió i ràdio. Veurem els posseïdors dels dècims premiats fent saltironets i cridant davant les càmeres, ruixant-se amb alguna beguda alcohòlica espumosa i, més tard, parats com estaquirots amb la butlleta premiada a les mans. Els periodistes formularan l'enginyosa pregunta ¿Què pensa fer amb els diners que li han tocat?, diran que el premi ha estat molt repartit, que ha tocat en una barriada molt necessitada...

Un dècim de la grossa del sorteig de l'any passat

Moltes persones no s'hi jugarien tants diners si tinguessin assolit i interioritzat el següent

Lema fonamental

L'esperança matemàtica de qualsevol joc d'atzar que s'utilitzi amb finalitats comercials és negativa.

Per als no versats en la terminologia estadística, cal indicar que l'esperança matemàtica no és ni una noia llicenciada en aquesta ciència ni una virtut pròpia dels professors de matemàtiques, situada entre la fe en els seus alumnes i la caritat a l'hora de corregir. En podeu veure la definició i algun càlcul d'exemple clicant en esperança matemàtica. En qualsevol joc d'atzar on s'hi juguin diners (com les loteries, les travesses, la ruleta, etc.) equival al guany mitjà per jugada. Que aquesta magnitud estadística sigui negativa per als jugadors que hi participen, indica que de mitjana pateixen pèrdues econòmiques. Evidentment, l'esperança dels organitzadors del joc és positiva.

Falses creences

Moltes persones que han comprat algun dècim de la loteria de Nadal tenen algunes falses creences que van des de conceptes erronis sobre la probabiltat fins als més absurds pensaments màgics. En cito algunes:

1. Determinades administracions de loteria tenen més sort i, per tant, ens afavoreix comprar els números allà. Alguns, per exemple, es desplacen expressament fins a Sort per adquirir els seus dècims a l'establiment La Bruixa d'or. I és que en aquesta administració, i en algunes altres, hi cauen més premis... senzillament perquè hi venen més participacions!

2. Accions com passar el número per la panxa d'una embarassada, l'esquena d'un geperut, o fregar-lo en el nas o en l'escombra de la bruixa que tenen a la porta de l'administració, no modifiquen la probabilitat que ens toqui.

3. N'hi ha que creuen que els números que s'adquireixen en ciutats que han patit algun desastre tenen més probabilitat de sortir; pensant que existeix una estranya llei de compensació!

4. Hi ha números "macos": els que acaben en set, els capicua, els que corresponen a alguna data assenyalada... N'hi ha que costen de vendre: els que són molt petits o molt grans...

5. Que un número hagi estat premiat un any, no modifica la probabilitat que torni a sortir. En d'altres loteries diàries, la gent no vol un número que ha estat premiat el dia anterior (no saben que les boles que s'utilitzen per fer el sorteig no tenen memòria). Molts no s'ho acaben de creure, però si llancem una moneda equilibrada i ens han sortit quatre cares consecutives, la probabiltat d'obtenir cara en la cinquena tirada continua sent 0,5 (o, si ho preferiu, d'un 50%).

A propòsit de tot això, us convido a llegir l'assenyat i encertat article Colas de lotería y anumerismo en el web La Ciencia y sus demonios.

Una darrera creença que de vegades han expressat en veu alta els meus alumnes: conèixer les lleis de la probabilitat no facilita guanyar en la majoria de jocs d'aquest tipus. Sí que us puc dir, que aquest coneixement —i no vull entrar ara en raons ètiques o morals (si confoneu ètica i moral, cliqueu aquí)— dóna motius per no jugar-hi! De totes maneres, som animals contradictoris, podeu llegir Juego a la lotería aunque matemáticamente no debería. 

Un impagable, i improbable, acudit de Forges

Per acabar, un repte matemàtic i un sorteig

No disposeu de gaire temps si hi voleu participar, fins el dia 21 d'aquest mes de desembre: amb l'excusa del sorteig del 22, el diari El País i La Real Sociedad Matemática Española proposen un problema matemàtic anomenat Números bonitos, números feos (si feu clic en el títol anterior, accedireu a la proposta). Ah, els encertants poden guanyar una magnífica col·lecció de llibres. Això sí, si resulten afavorits després d'un sorteig!

L'INE EXPLICA estadística

La majoria de vosaltres ja deveu saber que l'INE (Instituto Nacional de Estadística) és un organisme de l'Administración General del Estado que es dedica a fer tots els estudis estadístics oficials d'abast estatal (censos de població i electorals, càlcul de l'IPC, enquestes de població activa, etc.).

 www.ine.es



Fa poc l'INE ha obert un portal divulgatiu de nom EXPLICA. Des del mateix INE, en una carta de presentació, comenten:

"El objetivo de esta iniciativa es ayudar a entender algunos conceptos básicos que se manejan en el trabajo estadístico y la actividad que realiza el INE. Hemos buscado que los contenidos sean accesibles a un público no experto a través de actividades sencillas, videos y aplicaciones fáciles de entender.
 
Al desarrollar este sitio web, nuestra intención ha sido el de incrementar la cultura estadística en la sociedad y favorecer así el buen uso de la información estadística.
 
Queda mucho trabajo por hacer, sobre todo centrado en estudiantes y profesores. Por este motivo, estamos deseosos de recibir ideas y propuestas sugerentes."

A dia d'avui, tenen molta raó quan reconeixen que els queda molta feina per fer: els continguts són pobres i no aprofiten gens ni l'entorn digital ni la interactivitat que els ofereix la xarxa. Compareu aquesta iniciativa amb l'aprenestadistica  que ja vam comentar en l'entrada La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (II); l'enfocament pedagògic i el profit que se'n pot treure a les classes d'aquesta proposta de l'Idescat és molt superior. I em sembla que el problema de l'EXPLICA no se soluciona ampliant els materials disponibles, sinó canviant l'orientació i la metodologia de l'experiència.

La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (II)

En una entrada anterior, La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (I), comentàvem amb quina poca consideració es tracten els continguts de probabilitat i estadística en l'ordenació curricular de l'ensenyament secundari i de la seva absència en les proves d'accés a la universitat. Malgrat el títol d'aquest article, no continuarem amb les lamentacions i, tal com apuntàvem en l'anterior, parlarem d'alguns materials disponibles en línia que poden ajudar al professorat a tractar aquests continguts a l'aula o que poden ser útils als alumnes; per exemple, a l'hora de realitzar el seu treball de recerca.

Si ens centrem a casa nostra, hi ha alguns webs de visita obligada que contenen exercicis i material divers per treballar tot el currículum (no només la probabilitat i l'estadística), per exemple:

• Toomates. Ja n'hem parlat a Toomates: una iniciativa fructífera.

• XTEC (La Xarxa Telemàtica Educativa de Catalunya). Hi podeu trobar força recursos de Matemàtiques.

•  ARC (Aplicació de Recobriment Curricular). Magnífica iniciativa que abarca també d'altres matèries de secundària.

Un web imprescindible i dedicat només a les dades estadístiques, però no des d'un punt de vista pedagògic, és el de l'Institut Estadístic de Catalunya (idescat). Aquest organisme oficial ens proporciona dades diverses sobre Catalunya que es poden utilitzar amb profit per introduir l'ús del full de càlcul (Calc o Excel) entre els alumnes de secundària.

Des del mateix Institut Estadístic va sorgir, fa uns anys, la bona idea de dedicar un espai a l'aprenentatge de l'estadística. Us aconsello, si encara no el coneixeu, que us hi passegeu una mica: aprenestadistica.gencat.cat

Com que no m'acaba d'agradar això de convertir un article en un índex de recursos, deixeu-me finalitzar amb una reflexió "gràfica" per als refractaris a la ciència estadística (feu clic damunt de la imatge si no voleu forçar la vista):

Que n'és de difícil fugir-ne!

La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (I)

Ja vam comentar alguna de les mancances del currículum de l'ensenyament secundari en l'entrada La Lògica i el currículum (I). Avui m'agradaria parlar del currículum de matemàtiques, de la seva Ventafocs: la probabilitat i l'estadística (els més rigorosos diran que són dues disciplines diferents i per complaure'ls només caldrà posar en plural l'article i escriure les Ventafocs) i del temari de Selectivitat. Abans d'entrar en matèria, cal dir que, per edat com a únic mèrit, he sobreviscut els diferents canvis de temari i d'orientació de l'assignatura de matemàtiques. Com alumne vaig viure l'auge de l'ensenyament de l'anomenada matemàtica moderna i, de ben petit, distingia correctament les relacions d'ordre de les d'equivalència i el conjunt complementari de la intersecció de conjunts (per horror dels més grans que, encertadament, opinaven que sumar en base tres no ens faria homes de profit). Més tard, uns quant anys de quasi autoaprenentatge i posades en comú, emplenant fitxes d'ordenació complicada (en una setmana calia fer les fitxes 4-1 a 4-6 de matemàtiques, de la 3-6-1 a la 3-6-4 de naturals...) i pràcticament sense llibres (això que ara és tan avançat). I després el batxillerat d'aleshores: el BUP (la P de l'acrònim era de polivalent, com ho són les navalles suïsses si et llegeixes amb deteniment les instruccions) amb explicacions detallades de com utilitzar les taules de logaritmes i funcions trigonomètriques. En la meva etapa de professor els canvis han estat constants i us n'estaviaré els detalls, deixeu-me dir, però, que ara que ja sabíem diferenciar els conceptes dels procediments, hem de programar per competències i que, després d'una epidèmia d'àlgebra, correm el risc de patir-ne una de geometria (a l'ESO, si més no). Ironies a part, canvis i recanvis m'han angoixat més aviat poc i m'han molestat més les explicacions i sortides per la tangent dels encarregats de justificar-ho tot plegat: recorrent cada vegada més a arguments d'autoritat ("ens ho demana Pisa" o "així ho ha fixat Madrid", mira que en tenen d'autoritat aquestes dues senyores, Pisa i Madrid!).

Però parlem de la pobreta Ventafocs! En els exàmens de Selectivitat  —ui, perdó! no volia ser políticament incorrecte, volia dir en les Proves d'Accés a la Universitat (PAU)— de Matemàtiques o de Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials (les darreres sis paraules són el nom d'una assignatura) no hi trobàreu cap pregunta de probabilitat i estadística. Per quina raó? Senzillament per una "raó legal", els reials decrets que regulen les PAU (Reial Decret 1892/2008 i Reial Decret 558/2010) afirmen que el temari examinable és el de segon de batxillerat i, ai las!, la probabilitat i estadística són del temari de primer curs. Per d'altres raons legals, els exàmens de selectivitat de l'antic COU (la O és d'orientació, però no em demaneu cap on assenyalava la brúixola) contenien preguntes de probabilitat, a Matemàtiques I, i l'estadística tenia molt de pes, a Matemàtiques II. Algun idealista em replicarà que els continguts estan encara en el temari, però amb només dos cursos, el temari sobrecarregat i uns continguts que no surten a les PAU no cal que us digui quins són els coneixements mitjans (va, us deixo dir competències) de probabilitat i estadística dels nostres batxillers. Algun dia caldrà parlar dels efectes, perversos o virtuosos, d'algunes proves externes necessàries (anava a parlar d'Estats Units i la importància que s'acaben donant a unes poques assignatures, però el problema és força més complex (podeu consultar, però la tria d'aquest document no ha estat massa meditada ni fruit d'una recerca exhaustiva, La educación secundaria en los Estados Unidos)).

Si voleu donar una ullada als exàmens de matemàtiques, i de les altres assignatures, de les PAU a Catalunya:

• Gencat (per a exàmens recents)

• Selecat (si voleu viatjar a un passat una mica més remot)

Deixeu-me aclarir allò dels arguments d'autoritat del primer paràgraf, ara que he parlat una mica més de la situació. Us podrà semblar anecdòtic, però em sembla que és significatiu. Fa uns quants anys, recordo en una reunió de selectivitat que un dels sots-coordinadors de la prova i els  professors assistents vam comentar i debatre si el temari de batxillerat més adequat per a futurs estudiants universitaris de Ciències de la Salut hauria d'incloure més estadística (potser no era el lloc on fer-ho, però això demostrava una certa actitud). Darrerament, les preguntes es dirigeixen directament a què "entra" i s'ha convertit en resposta pragmàtica i recorrent, donat l'estat de l'educació, però, no cal culpabilitzar a ningú, "no entra perquè és del temari de primer". Si em demaneu quins arguments justifiquen que determinats contiguts ara estiguin a primer, ara a segon (a física, tres quarts del mateix), els ignoro completament (les apel·lacions al compliment de les lleis, no em semblen arguments "raonables").

M'he centrat en comentar l'estat de la matèria al Batxillerat, però em temo que a l'ESO el panorama no és gaire millor. Cal dir, és una apreciació i no puc aportar dades objectives, que l'estadística no té massa prestigi ni és massa valorada entre els mateixos matemàtics i això pot explicar part de la situació. 

L'estadística i la probabilitat és la branca de les matemàtiques que té una presència més àmplia en els estudis universitaris, forma part dels coneixements bàsics de l'alfabetització matemàtica (podeu llegir L'analfabetisme numèric i les seves conseqüències) i els seus abusos serveixen per entabanar ciutadans, contribuents i jugadors més o menys compulsius (suposo que, per això, dediquem més temps del curs a la geometria analítica). Acabo aquest panegíric queixós amb l'anunci que en el proper escrit seré més constructiu i parlaré d'algun material interessant per treballar la probabilitat i l'estadística disponible a la xarxa.

El dia de Pi (II). El determinisme de l'atzar

En l'article que vam dedicar el passat 14 de març al dia de Pi (El dia de Pi (I). Una invitació), ja avançàvem, entre diversos temes que volíem tractar, el càlcul dels decimals del nombre Pi mitjançant mètodes en els quals hi intervé l'atzar. Van ser nombrosos els articles apareguts en la blogosfera dedicats a Pi en el seu dia i alguns parlaven de la relació d'aquest nombre amb l'atzar. Us recomano, per exemple i per curiosa, l'entrada Cómo encontrar a π en una baldosa (espero que no feu massa cas de l'advertència de Sant Agustí que hi apareix) que va participar en el Carnaval de Matemáticas explicant algunes curiositats del mètode aleatori per calcular Pi conegut com l'agulla de Buffon.

El mètode de Buffon és força interessant, però jo me n'aprecio més un altre —va ser una de les primeres simulacions que vaig programar, i funcionava!— que es basa en fer un recompte de punts disposats aleatòriament en una figura geomètricament molt senzilla (un cercle inscrit en un quadrat). Com que la probabilitat que un punt estigui en el cercle depèn de la raó entre les àrees del cercle i  del quadrat, amb els càlculs adequats i un bon nombre de punts, podem tenir una aproximació de Pi. Per consultar els detalls d'aquest càlcul i comprovar-ne la bondat de l'estimació (que dirien els estadístics), podeu consultar la pàgina web de José María Gómez Aroca (si voleu accedir directament a la secció que s'ocupa d'aquest tema feu clic a Cálculo de Pi con probabilidades). Més bèl·lica és la simulació i l'explicació de Luis Pabón que trobareu a Calculando Pi a cañonazos.

Calculando Pi a cañonazos

Que l'atzar es pugui utilitzar per obtenir bones aproximacions numèriques, pot arribar a sorprendre a més d'un. Però més sorprenent pot semblar — sobretot per als que creuen en la sort i en les casualitats afortunades—  que molts professors de matemàtiques, quan volem exemplificar que la probabilitat d'obtenir una cara en una moneda no trucada és 0,5, convidem als alumnes a llançar una moneda unes desenes de vegades per tal que vegin que la freqüència relativa de cares s'aproxima a 0,5 (un 50%). No en conec cap que pensi, abans de realitzar l'experiència, "a veure si avui no em surt bé i obtenim una freqüència de cares de 0,75". Perdoneu-me la paradoxa i l'abús semàntic, però d'això en diria el determinisme de l'atzar (ja sé que n'hauria de dir Llei dels grans nombres).

Amb aquesta breu entrada obro en aquest blog una nova categoria o etiqueta de Probabilitat i Estadística. Els més saberuts potser hauríeu preferit que hagués parlat de si existeix un atzar ontològic i un altre d'epistemològic o de, si no fóssim uns ignorants, la física hauria de ser determinista (Einstein dixit) o de quin paper juga la teoria del caos en el dilema atzar-determinisme. Però m'ha fet una mandra...