Una definició matemàtica de joc? (II)

En l'entrada, immediatament anterior a aquesta, Una definició matemàtica de joc (I)?, em vaig atrevir —mig en broma— a fixar les cinc condicions que ha de complir una activitat per poder-se etiquetar com a "joc matemàtic". Filaré una mica més prim i afinaré alguna de les cinc condicions.

La importància del torn de jugada. Quan és impossible guanyar (o perdre)

En la tercera condició indicava que en els jocs, habitualment, hi ha guanyadors i perdedors. La probabilitat de guanyar o perdre no cal que sigui idèntica i, a part de l'estratègia seguida per cada contrincant, pot dependre de si tenim o no el primer torn de jugada. En els escacs, per exemple, jugar amb blanques (per tant, iniciar la partida) sembla que ha d'atorgar algun avantatge (però dels escacs ja en parlarem amb calma en una altra ocasió). En d'altres jocs, com en el conegudíssim tres en ratlla, si els jugadors segueixen una estratègia òptima s'acaba sempre en empat; per tant, per perdre s'ha de cometre alguna errada. Però, hi ha activitats lúdiques en les quals, es jugui com es jugui, guanyar o perdre només depèn del torn que correspon al jugador. En aquest cas, no parlem de jocs, sinó de pseudojocs. En el llibre Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes, Jordi Deulofeu ens en parla i posa algun exemple trivial:

Partint de 20 escuradents, dos jugadors en retiren alternativament 1, 3 o 5. Guanya qui s'emporta l'últim escuradents.

És evident (i si sou més aviat empírics, no cal jugar-hi gaire per comprovar-ho) que, independentment de les jugades, sempre guanya el jugador que té el segon torn. Podeu trobar més informació en el llibre de Deulofeu o en l'article Pseudojuegos, o juegos que parecen juegos pero no lo son.

Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes. ISBN: 978-84-473-6631-6

Que en queda d'un joc després d'analitzar-lo matemàticament?

En la quarta condició fixàvem que  — i pot semblar una tautologia —  per ser titllat de "joc matemàtic", l'activitat s'ha de poder analitzar matemàticament. Després de l'autòpsia matemàtica el joc o el tipus de joc pot semblar ben bé un altra cosa (en els comentaris d'una altra entrada ja vaig recorre a l'aforisme de Goethe: Els matemàtics són com els francesos; se'ls digui el que se'ls digui, ells ho tradueixen a la seva llengua i, des d'aquell moment, es tracta d'una cosa diferent). Un bon exemple d'això que estic afirmant i que podeu llegir és La suma de juegos escrit per l'estudiant de matemàtiques Moisés Herradón Cueto publicat en la revista Matgazine a la qual li desitgem una fructífera i llarga vida.

Jocs i matemàtiques. Algunes interaccions històriques (o actuals)

L'estudi dels jocs d'atzar va inspirar el naixement de la Teoria de la Probabilitat. En la majoria de textos on es parla del desenvolupament històric d'aquesta teoria no pot faltar la cita de les consultes que sobre les probabilitats en els jocs de daus va fer el literat i jugador Antoine Gombaud (1607-1684) (autoinvestit i més conegut com a chevalier De Méré) a Blaise Pascal (1623-1662). Podeu veure comentades alguna de les consultes, per exemple, en Las apuestas del caballero De Meré en la Pàgina personal de Josep Maria Albaigès o en Problema de los dados del caballero De Méré a càrrec de l'infatigable Manuel Sada que s'atreveix a posar correctament els dos accents a Méré.

Ara que s'ha posat de moda el pòquer i que en algunes pel·lícules surten exitoses i matemàtiques maneres de guanyar en alguns jocs de casino, ja sigui en el blacjack (21 Black Jack) o en la ruleta (The Pelayos, vegeu també l'escrit Matemáticos contra el casino) , una de les maneres d'atrapar, momentàniament, l'atenció d'alguns alumnes (noctàmbuls i amics de les timbes), durant les classes de matemàtiques, és aplicar el càlcul de probabilitats a aquests jocs.

De l'altra interacció que hem de citar inevitablement, la Teoria de Jocs, cal dir que ni parla específicament de jocs ni és aplicable a qualsevol "joc matemàtic". Encara que un dels pares d'aquesta teoria, John von Neumann, estava interessat pel pòquer i per l'anàlisi del fenomen més general de les catxes, la Teoria de Jocs s'ha aplicat més a l'economia o a l'estratègia militar que no pas als jocs pròpiament dits.

I els matemàtics han creat algun joc? Com que el meu objectiu no és ser exhaustiu, només posaré un exemple: s'atribueix a John F. Nash (a qui ja hem dedicat ja tres entrades, la darrera va ser John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (II)) la invenció del joc Hex. Sembla que el primer en proposar el joc, va ser, però, una altra persona interessada en les matemàtiques: Piet Hein. Podeu llegir una breu història de l'Hex i jugar-hi! en la pàgina Hex de Nadia Gonzalo Picazo.

Partida d'Hex a la fira JugarXJugar

Una definició matemàtica de joc? (I)

Hi ha preguntes enverinades. Etimologia i intenció

En l'entrada del 19 de maig d'enguany (Jocs, matemàtiques, JugarXJugar i l'aualé), en Francesc Rovira feia el següent comentari:

—Estaria molt bé que donessis una definició matemàtica de 'joc', ¿què és un joc, matemàticament parlant?

Sincerament, crec que quan va fer la pregunta ja sabia que em llençava un repte llaminer, però de solució impossible. La meva resposta va ser un comentari que treia partit de l'etimologia (que és una sortida planera, i sovint pedant, per fer passar el temps i fugir d'estudi):

—Un recurs fàcil per començar un intent de definició és recórrer a l'etimologia: joc ve del llatí iocus que, així en singular, significa "broma" en una primera accepció. Si bé en plural, ioci, ja agafa clarament el significat de jocs o entreteniments. Ja veus que començo guanyant temps, però em guia un esperit lúdic (del llatí ludus, joc o diversió). Extra iocum (es a dir, bromes a part), per contestar la teva pregunta (que espero que hagi estat perpetrada amb animus iocandi) necessito un espai més gran que el que em deixa el senyor Google per fer comentaris. Em comprometo a fer un article per donar pistes per a una possible definició de "joc" des del punt de vista matemàtic (no crec que me'n surti del tot). No serà en la propera entrada que penso dedicar als falsos prodigis, però sí en la següent. Gràcies per proposar el repte.

Podria anar al gra i ser cartesià i lineal, però prefereixo fer marrada i suggerir, amb pinzellades desiguals, possibles respostes i problemes evidents Començarem per parlar de "joc" i després veurem què hi poden tenir a veure les matemàtiques.

Si l'etimologia no ajuda gaire, recórrer als diccionaris, sembla que tampoc (a tall d'exemple, podeu llegir les definicions que dóna el DIEC: joc, jugar). Una primera dificultat que sorgeix és que qualsevol definició de joc ha d'incloure una intenció particular (en diem lúdica) en els individus que la practiquen. Si jo no sé on he deixat les claus i les estic cercant, ningú definiria la meva percaça angoixant com a joc; en canvi, si faig això mateix per passar l'estona i demostrar la meva perspicàcia, després que algú amb el meu consentiment les ha amagat per casa, sí que és un joc? No cal dir que la matemàtica no és la millor disciplina per valorar i tractar  les intencions.

Els nens juguen. D'altres animals, també

Pensant aquest escrit, vaig recordar que havia llegit algun article sobre el joc en la revista Mente y Cerebro. Efectivament, la portada de l'exemplar de gener/febrer de 2011 ho deixava clar:

Portada de Mente y Cerebro (núm. 46/2011)

Rellegint les seves pàgines, he comprovat que el seu contingut no m'ajudava gaire a aconseguir els meus objectius, però com que em sembla interessant, tendeixo a la dispersió i no pretenc escriure un article formal... allà va un resum (el contingut complet no és de distribució lliure) i alguns comentaris:

En La importancia de jugar se'ns parla de la transcendència que té el joc lliure i imaginatiu en el desenvolupament dels infants. El concepte "joc lliure" (activitat espontània, sense regles, imaginativa...) es contraposa al de "joc estructurat" (joc amb unes regles). Ara que molts pares s'obsessionen per estructurar les activitats dels seus fills des de molt petits (fins i tot per fer plastilina als tres anys cal acudir a les classes particulars d'un artista plàstic..., per no parlar de en què s'ha convertit  jugar a pilota), resulta que el joc lliure és fonamental per un desenvolupament equilibrat dels nens i nenes. Si us plau, deixeu jugar als nens (veureu que no els hi calen reglaments)! Les matemàtiques, però,  no hi tenen res a pelar amb els jocs lliures...

En el mateix exemplar podeu llegir l'entrevista ¿Por qué a los pulpos les gusta jugar? on es parla del joc en el món animal. M'abstindré de fer una crida per tal que es deixi jugar als pops...

En els dos textos se cita a Gordon Burghardt, investigador del joc en animals, que evidentment ha hagut d'establir quines característiques, ell en dóna cinc, fan que una activitat observada en una bèstia o bestiola pugui ser definida com a joc (les podeu llegir en Un juego muy serio). Si us interessa aquest tema, podeu fer una ullada, també, a Entre animales anda el juego (però, si us plau, no feu clic en cap dels anuncis on apareix l'omnipresent ex-ministre Eduardo Punset). El joc animal, evidentment, no en té res de joc matemàtic.

Però, que no parlarem de matemàtiques?

Ara que ja deveu estar informats que el joc lliure, el joc animal i l'Eduardo Punset no tenen res a veure amb les matemàtiques, centrem-nos. Em llanço a la piscina i sense pensar-m'ho massa (i una mica en broma) intento una definició. Entenc per joc matemàtic (en una definició àmplia que abastaria qualsevol joc en el qual una estratègia plantejada utilitzant les matemàtiques reporta algun avantatge) :

1. Una activitat estructurada (té unes regles). Recordo ara la paradoxa "Este juego no tiene reglas" que no sé si he llegit en algun llibre de John Allen Paulos o en algun llibre de Raymond Smullyan.

2. Hi participen una o més persones que, a partir d'ara, anomenarem jugadors. Alguna de les persones poden ser substituïdes per un simpàtic programa d'ordinador. Si totes les persones són substituïdes per programes o sub-programes, és necessari un observador humà que a la manera d'un déu analitzarà el resultat.

3. El joc és finit i té uns objectius a assolir. A l'acabar-lo, generalment, és podrà etiquetar els jugadors en guanyadors i perdedors en funció dels objectius aconseguits. Es pot donar la possibilitat que no hi hagi ni guanyadors ni perdedors. En aquest cas es dirà que s'ha empatat i es podrà comprovar que el jugador que es creia menys destre en el joc és aquell que està més content. Si només hi ha un jugador i és el guanyador, s'acostuma a dir que ha solucionat el joc (en cas contrari, no direm mai que el joc ha guanyat; com a molt, direm que ens ha vençut).

4. (Imprescindible per poder afegir-hi l'adjectiu "matemàtic"). Les accions i estratègies dels jugadors es poden decidir i optimitzar utilitzant les matemàtiques. Fer ús de les matemàtiques dóna avantatges als jugadors. Un observador extern pot analitzar amb profit el joc des d'un punt de vista matemàtic.

5. (Imprescindible per poder distingir els jocs matemàtics dels exercicis i problemes). L'activitat ha de ser susceptible de poder ser portada a una aula per un mestre o professor. En aquest cas els alumnes es poden etiquetar de jugadors. El mestre o professor intentarà "colar" continguts matemàtics en l'activitat de manera que els alumnes no ho acabin de relacionar amb "una classe de matemàtiques normal" (reconec que sóc incapaç de definir aquest darrer concepte), convençut que d'aquesta manera els alumnes aprendran, abans i sense dolor, a sumar fraccions o a operar vectors, per exemple. Si sou els alumnes, penseu en no neguitejar el "profe" amb frases com: "que no farem classe avui? Això és un 'rotllo'!", "això compta per nota? que entrarà a l'examen?". I sobretot, feu veure que penseu una mica abans de qualsevol jugada!

Em temo que dins d'aquesta acurada definició hi caben activitats com el ganxet o la ruleta russa; però, al cap i a la fi, algú de l'Antiga Grècia ja es va adonar que definir "home" com a "bípede implume" convertia en homes els pollastres a l'ast. No cal dir que qualsevol aportació crítica o humorística en forma de comentari que millori aquests cinc punts serà ben rebuda.

Després d'aquesta primera part tan lúdica, em comprometo, ara sí, a ser més seriós, a parlar més de matemàtiques i a portar-me més bé en una, espero, molt pròxima continuació d'aquesta entrada.

Jocs, matemàtiques, JugarXJugar i l'aualé

Aquest bloc acumula  ja 92 entrades (molts en diuen posts) agrupades en 38 categories o etiquetes de taxonomia dubtosa. Fa uns dies, em vaig adonar que cap d'aquestes entrades fa referència directa als jocs. De fet deu ser tota una proesa —us asseguro que no ha estat planejada d'una manera conscient— que en un bloc d'aquesta extensió dedicat a les mal anomenades ciències exactes,  no hi hagi cap article que tregui partit de la relació entre alguns jocs i les matemàtiques. Vaja! és com intentar escriure un text mitjanament llarg sense utilitzar la lletra e (cal dir que l'enginyós escriptor francès George Perec ho va aconseguir en la seva novel·la de tres-centes pàgines  La Disparition on no apareix cap vegada aquesta lletra que és la més freqüent en francès). Vaig a començar a saldar aquest deute...

Des de l'any 2007, durant la Fira de l'Ascensió, s'organitza a Granollers la fira JugarXJugar. S'hi desenvolupen activitas diverses: presentació de jocs comercials, torneigs...

Enguany hi tindrà lloc (segurament quan llegiu aquest text ja s'haurà celebrat) el 13è Campionat d'aualè de Catalunya.

L'aualè (també anomenat awari, awalé, awèlé, oware...) és un joc d'origen africà  força interessant i de regles molt senzilles. Si en voleu més informació o hi voleu jugar en línia, un bon web és Awalé.info. I si us pregunteu que té a veure aquest joc amb les matemàtiques i la seva didàctica, la revista canaria Números va publicar l'article Juegos de siembra: juegos africanos con aplicación didáctica de José Antonio Rupérez Padrón i Manuel García Déniz.

Si us agraden els "jocs de pensar" on l'atzar no hi hauria de ser present, animeu-vos a jugar-hi!