Dos enunciats més de la Prova Cangur

A l'escrit anterior Prova Cangur 2011: comencem el compte enrere ja hi vaig incloure un problema de l'edició del Cangur de l'any passat. Els enunciats dels cangurs d'altres anys són, òbviament, un bon material per preparar aquesta prova amb els alumnes de secundària, però, a més, poden donar lloc a algunes reflexions interessants. En aquesta entrada us proposaré dos problemes més que, ho he comprovat en viu i en directe, provoquen el desconcert dels nostres alumnes. Si us sóc sincer, en algun d'aquests exercicis, he donat també més pals de cec dels estrictament necessaris.

Comencem amb una qüestió del nivell 3 (és a dir, per als alumnes de 1r de batxillerat) que no és objectivament complicada, però per als nostres estudiants pot ser motiu d'embolics i divagacions infructuoses:

Un problema d'angles i bisectrius (Cangur 2009)

Es tracta de calcular l'angle marcat amb un interrogant en el triangle del següent dibuix (els segments interiors són les bisectrius dels tres angles):

Si voleu veure l'enunciat original, feu clic per ampliar:

No us deixeu vèncer per la mandra, no consulteu de seguida la solució!

Solució del problema d'angles i bisectrius
(+/- Mostra/Oculta)

Amb la definició de bisectriu i sabent que, en geometria euclídea, la suma dels tres angles d'un triangle és de 180º, en teniu prou per solucionar el problema. Només cal una mica de vista, per a no utilitzar condicions o equacions que no són imprescindibles.

Anem per un altre repte, ara de nivell 2 (4t d'ESO). Us pot recordar un joc numèric ideat per Ignasi del Blanco que ja hem comentat aquí (Felicitacions? matemàtiques o no?).

Un problema de dividir en anglès (Cangur 2009)

Sabent que les lletres de la següent divisió indiquen xifres (com sempre, lletres diferents indiquen xifres diferents i una mateixa lletra indica una sola xifra):

Quants resultats diferents pot donar el producte T·H·R·E·E?

Com abans, feu clic per ampliar la següent imatge si voleu llegir l'enunciat original amb les possibles respostes:

En aquest cas, com que l'exercici s'ho val, apuntaré un parell de pistes abans de donar la solució. Penseu, però, que la satisfacció de solucionar-lo sense haver de recórrer a les pistes és superior. Feu-ne ús només en cas de desesperació manifesta.

Pista 1
(+/- Mostra/Oculta)

Suposo que no esteu intentant esbrinar el valor de cada lletra! Només ens demanen quants possibles valors té el producte T·H·R·E·E! Cal llegir amb calma i interpretar correctament els enunciats!

Pista 2
(+/- Mostra/Oculta)

Si ja heu comptat les lletres diferents, heu vist que n'hi ha deu. Per tant, en aquesta operació hi participen tots els dígits del sistema decimal del 0 al 9.

I si no hi ha més remei...

Solució del problema de dividir en anglès
(+/- Mostra/Oculta)

Si una de les lletres ha de ser el zero, no pot estar en el divisor (no podem dividir per zero!). Si és una de les lletres del dividend (E, I, G, H o T), aquest producte i el primer membre de la igualtat han de valdre 0. Per tant, el producte del segon membre també ha de ser zero (0 = 0). L'única lletra comuna de EIGHT i TWO és T, d'aquí deduïm que la T val zero. El producte T·H·R·E·E només pot donar un resultat ja que conté el zero: 0! La resposta correcta és la A. Un problema enginyós que no necessita càlculs complicats ni grans raonaments matemàtics! Si ho heu vist a la primera, felicitats!

Prova Cangur 2011: comencem el compte enrere

Aquest 17 de març, falta menys d'un mes, tindrà lloc l'edició d'enguany de la Prova Cangur. En aquest bloc ja hem dedicat un parell d'articles a aquest concurs de matemàtiques adreçat als alumnes de secundària (Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen en la Prova Cangur 2010 i Cangur 2010: les respostes i més detalls de l'organització) i, en d'altres escrits, hem utilitzat els enunciats d'alguns problemes proposats en el Cangur (el problema del format DIN i el problema dels mentiders).

El podeu trobar en d'altres llocs del bloc, però no me'n puc estar de donar-vos, una altra vegada, el següent enllaç:

www.cangur.org

A part de les sessions de preparació per als alumnes interessats que organitza la comissió que s'encarrega del Cangur, som moltes les escoles i instituts que programem trobades i classes amb els alumnes que volen participar en aquesta festa de les matemàtiques. Va ser en una d'aquestes classes, fora de l'horari lectiu, que alguns dels meus alumnes de 2n de batxillerat (nivell 4 del Cangur a casa nostra o nivell 6 en d'altres contrades) es van entrebancar amb el problema que us presentaré a continuació. Es tracta de calcular l'àrea ombrejada entre dos cercles concèntrics sabent que la longitud de la corda AB, tangent al cercle interior, és 16, veieu-lo (i el veureu millor, si feu clic damunt de l'enunciat):

Problema dels cercles concèntrics (Cangur 2010)

Valgui aquest exemple per il·lustrar el tipus de qüestions proposades i per fer-ne un tastet. No es requereixen grans coneixements matemàtics —en aquest cas, en tenim prou amb la geometria elemental de l'ESO—, però cal una mica de vista matemàtica (parlant de vista, Miguel de Guzmán, amb l'agudesa que el caracteritzava, és autor d'un meravellós llibret de geometria que porta l'encertat títol de Mirar y Ver).

Per acabar, tot i que no m'agrada donar les solucions mastegades, però n'estic segur que no consultareu la solució sense haver forçat una mica la vista o, en el millor dels casos, trobeu aquest càlcul elemental i només voleu comprovar-lo (quan obriu la solució, feu clic a la imatge si comenceu a tenir la vista cansada):

Solució del problema dels cercles concèntrics

(+/- Mostra/Oculta)

Simon Singh: llibres rodons (III). L'enigma de Fermat

Aquesta entrada serà la tercera que dedicarem a l'obra de Simon Singh. Podeu veure les dues anteriors
(Simon Singh: llibres rodons (I) i Simon Singh: llibres rodons (II). Los códigos secretos) i també l'escrit que, de fet, és una introducció al tema del qual tracta l'obra que comentarem (El Darrer Teorema de Fermat: una primmirada introducció). Per als no lletraferits, prometo que, després d'enfilar tants articles parlant de llibres, deixaré reposar la meva bibliofília i, pròximament, comentarem d'altres qüestions.

L'obra de Simon Singh Fermat's Last Theorem va ser publicada en anglès el 1997 i va assolir, en poc temps, la categoria de bestseller a Gran Bretanya (un destí ben estrany per a un llibre que parla bàsicament de matemàtiques i de la llarga història que ens porta de la Darrera Conjectura de Fermat —ara ja podem parlar del Teorema de Fermat-Wiles— a la demostració d'Andrew Wiles). L'any següent a la primera edició anglesa, el 1998, Edicions 62 posava a la venda la traducció catalana, a càrrec d'Antoni Vicens Lorente, amb el títol L'Enigma de Fermat. També podeu llegir l'obra en castellà si Editorial Planeta no l'ha descatalogat, ara que el negoci editorial i les xurreries, ho dic amb tot el respecte per als qui es dediquen a la venda de xurros comestibles, tenen tantes coses en comú.

Assenyadament, Singh no descriu només el llarg recorregut de la conjectura, sinó que fa una amena explicació d'altres qüestions històriques que li permeten alhora divulgar la metodologia de les matemàtiques. El llibre es tanca amb uns breus apèndixs, amb algunes demostracions senzilles i entenedores, i una bibliografia no extensa, però sí, ben seleccionada. Si us agraden les matemàtiques o creieu que algun dia us poden arribar a agradar, us recomano la lectura d'aquest llibre.

I ara, una petita perla! Just un any abans de la publicació del llibre, el 1996, Simon Singh va dirigir un documental, amb John Lynch de guionista i productor, per a la prestigiosa sèrie Horizon de la BBC sobre aquest mateix tema i amb el mateix títol (si el voleu veure, feu clic a Fermat's Last Theorem). Per als que tingueu dificultats amb l'anglès, a sota hi teniu els primers minuts d'aquest episodi, amb un emocionat Wiles, subtitulats en castellà (a Youtube hi trobareu la resta).

Actualització de 19/01/2016: Tant l'enllaç anterior com el vídeo que teniu a continuació estan bloquejats per problemes amb els drets d'autor. De moment, podeu veure el documental amb subtítols en castellà fent clic aquí o accedint a matematicascercanas.

Per acabar us proposo una cerca, ara mateix en aquest bloc hi ha una única imatge d'Andrew Wiles, potser no l'heu vist?

El Darrer Teorema de Fermat: una primmirada introducció

Aquest mes de gener tenia previst dedicar els escassos nous articles d'aquest bloc a l'obra de Simon Singh (podeu veure, si us plau, les dues entrades anteriors: Simon Singh: llibres rodons (I) i   Simon Singh: llibres rodons (II). Los códigos secretos). Quan vaig començar a pensar el tercer escrit "arrodonit", o no, que volia dedicar a un dels primers llibres de Singh , Fermat's Last Theorem, el fet que hi havia llargues observacions a fer en la introducció em van decidir a escriure aquest primmirat text.

Com alguns ja deveu saber, si sou aficionats a les matemàtiques, Pierre de Fermat (1601-1665) va escriure cap el 1637, en un dels marges del llibre II d'un exemplar de l'Arithmetica del matemàtic grec Diofant d'Alexandria, el següent text:

"Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."

L'anotació al marge de Fermat va ser impresa en edicions posteriors de l'Arithmetica:

Edició de l'Arithmetica de 1670

Generalment l'observació de Fermat es tradueix amb el següent sentit:
"És impossible que un cub sigui la suma de dos cubs, que una potència quarta sigui la suma de dues potències quartes i, en general, que qualsevol nombre que sigui una potència superior a dos sigui la suma de dues potències del mateix valor. He descobert una demostració veritablement meravellosa d'aquesta proposició, però aquest marge és massa petit perquè hi càpiga."

O, en llenguatge matemàtic actual:
"L'equació x ⁿ  + y ⁿ = z ⁿ  no té solucions enteres (x, y, z) diferents de zero si n és un nombre natural més gran que 2 (n  > 2)."
Noteu que per a n igual a 2 estem parlant del Teorema de Pitàgores que té infinites solucions enteres.

Aquesta afirmació —de fet és una negació, nega l'existència de solucions enteres— es coneix com el Darrer Teorema de Fermat. Ara bé, fins el 1995, això no era un teorema (una proposició matemàtica de la qual coneixem una demostració), sinó una conjectura (una hipòtesi de la qual no en coneixíem la demostració). I per què el Darrer? Fermat va viure molts anys després d'escriure-la, però com que no sempre demostrava allò que anotava, resulta que era la darrera conjectura de Fermat que quedava per confirmar. Aleshores, hagués estat més correcte dir-ne la Conjectura de Fermat. El 1995, el matemàtic britànic Andrew Wiles (Andrew Wiles a MacTutor o a Viquipèdia) enllesteix i dóna els últims retocs a la seva demostració de la Conjectura de Fermat i, per tant, ja podem parlar del Teorema de Wiles, de Wiles-Fermat o de Fermat-Wiles. Veureu, però, que si feu una cerca en aquesta olla de cols que és la xarxa, continua sent majoritària la referència al Teorema de, només, Fermat. Una afirmació de 1637 que, després de molts intents infructuosos o parcials de demostració, arriba fins a 1995, bé es mereix portar el nom de la persona que la demostra!

Tenia realment Fermat una demostració de la seva conjectura? La majoria d'estudiosos es decanten pel no i diuen que potser sí que s'ho pensava, però que hi hauria errades en el seu raonament. Però realment pensava que la havia aconseguit?  El 16 d'octubre de 2009 estava escoltant una conferència (Sessió Inaugural del DMSEC) de Josep Pla i Carrera, professor universitari de la Universitat de Barcelona i bon coneixedor de la història de les matemàtiques, (podeu veure la presentació que va fer a Tot analitzant un problema matemàtic a l'ombra dels gegants) i ens va sorprendre amb la següent versió de l'anotació de Fermat:

Pla i Carrera va traduir l'assiurément (o assurément?), com segurament, amb la interpretació que Fermat dubtava de tenir realment la demostració. Com que el discurs del professor Pla va ser extens i intens, ningú va fer cap pregunta al respecte al final de la sessió. Com que m'agrada deixar problemes oberts, us diré que sembla que Fermat va fer l'escrit original en llatí, que no sé d'on ha sortit aquesta versió, però a l'article de la Wikipédia francesa (Dernier Théorème de Fermat) hi ha, hores d'ara, una discussió (discussion) sobre si la traducció habitual és correcta (podeu veure també http://franquart.fr/).

Perdoneu aquestes divagacions en espiral (espiral de Fermat) i, tal com vaig apuntar a Felicitacions? matemàtiques o no?, deixeu-me desitjar-vos, per acabar, que tingueu una bona entrada de mes i un feliç febrer!

Simon Singh: llibres rodons (II). Los códigos secretos

El primer article d'aquest bloc dedicat a aquest escriptor i divulgador britànic és Simon Singh: llibres rodons (I). Com que en l'escrit anterior ja vam fer una introducció a l'autor i a la seva obra, en aquest parlarem de la que, segons el meu criteri, és la seva obra més reeixida, publicada en anglès el 1999: The Code Book, amb el subtítol The Evolution of Secrecy from Mary, Queen of Scots to Quantum Cryptography que es transformà, en les reedicions, en The Code Book: The Science of Secrecy from Ancient Egypt to Quantum Cryptography. Disposem d'una molt bona versió en castellà publicada per l'Editorial Debate, abans de ser absorbida per Random House Mondadori (cada vegada és més complicat saber qui hi ha darrera de les editorials, però em em temo que uns quants grups editorials controlen la major part del "negoci" i deixen de reeditar llibres poc rendibles com aquest). Com passa sovint amb obres estrangeres, els editors espanyols van optar per amanir el títol amb una imaginació més aviat de baixa volada: LOS CÓDIGOS SECR3TOS. També van modificar el subtítol eliminant la referència a la criptografia quàntica, no sigui que algun conciutadà nostre s'ennuegui veient la coberta, i donant-li un toc més "artístic" i d'actualitat (que sempre ven més en les nostres contrades): El arte y la ciencia de la criptografía, desde el antiguo Egipto a la era de Internet. Sortosament, la mà negra dels editors i de la gent de màrqueting no va anar més enllà de la portada i el contingut i la feina del traductor, José Ignacio Moraza, són més que notables.

La paraula criptografia procedeix del grec i ve a significar "escriptura oculta". Generalment, quan s'afina una mica més, es distingueix la criptografia, diguem-ne la ciència d'escriure en codis ocults o l'estudi de la codificació, de la criptoanàlisi que s'ocupa de llegir o de descodificar els missatges. La criptologia seria la ciència que englobaria aquestes dues branques. Si em permeteu un impertinent comentari etimològic —els meus coneixements de llatí són pocs i rovellats i els de grec clàssic, inexistents— puc justificar l'ús de la paraula criptografia (ocult i escriptura) i, amb una mica més de dificultat, el sentit de criptologia (ocult i paraula, si tradueixo -logia per paraula i no per estudi), però criptoanàlisi ja em serveix per anomenar qualsevol ciència que analitzi allò ocult (siguin missatges, fantasmes o el monstre del llac Ness). No sé com n'hauríem de dir si volem que la seva etimologia sigui més correcta.

El llibre s'ocupa de les dues germanes bessones —la criptografia sempre perseguida per la criptoanàlisi— amb alguna referència a la germana petita i entremaliada: l'esteganografia. Amb un cop d'efecte, comença per la condemna a ser decapitada de la reina d'Escòcia, Maria Stuard (un efecte secundari de no utilitzar un codi prou segur pels missatges secrets, pot ser perdre el cap) i fa un repàs, no només històric, sinó també metodològic, de la criptologia en sentit ampli. Per a les persones interessades per la lingúística i les llengües, pot ser interessant el capítol destinat al desxiframent dels jeroglífics egipcis i a la interpretació de l'escriptura lineal B o, també, la detallada explicació de l'ús de la llengüa dels indis navajos per a codificar missatges durant la Segona Guerra Mundial. I clar que no hi podia faltar l'explicació de les tasques dels criptoanalistes àrabs de l'antiguitat, la xifra Vigenère, la màquina Enigma, etc. No cal dir que Singh dedica una atenció especial a l'algorisme RSA d'ús generalitzat en el xifratge de les comunicacions digitals actuals i a les possibles aplicacions de la mecànica quàntica a la criptografia. Només es troba a faltar, però, alguna referència a la criptografia de corba el·líptica (vegeu també: ¿Qué es la criptografía de curva elíptica?).

Los Códigos Secretos dóna una visió amena, entenedora i rigorosa de la història i els mètodes de la criptografia. Malauradament, hores d'ara, la versió castellana està esgotada. A la xarxa en podeu trobar edicions digitals, consulteu, per exemple, el web de l'autor (http://www.simonsingh.net/ ), però jo continuaré fruint de l'exemplar que vaig adquirir ja fa uns anys, en paper de qualitat, ben tipografiat i de tapa dura. I en aquest cas, no envejo els e-books (a propòsit, si voleu veure un vídeo divertit feu clic a Leerestademoda).