Dos enunciats més de la Prova Cangur

A l'escrit anterior Prova Cangur 2011: comencem el compte enrere ja hi vaig incloure un problema de l'edició del Cangur de l'any passat. Els enunciats dels cangurs d'altres anys són, òbviament, un bon material per preparar aquesta prova amb els alumnes de secundària, però, a més, poden donar lloc a algunes reflexions interessants. En aquesta entrada us proposaré dos problemes més que, ho he comprovat en viu i en directe, provoquen el desconcert dels nostres alumnes. Si us sóc sincer, en algun d'aquests exercicis, he donat també més pals de cec dels estrictament necessaris.

Comencem amb una qüestió del nivell 3 (és a dir, per als alumnes de 1r de batxillerat) que no és objectivament complicada, però per als nostres estudiants pot ser motiu d'embolics i divagacions infructuoses:

Un problema d'angles i bisectrius (Cangur 2009)

Es tracta de calcular l'angle marcat amb un interrogant en el triangle del següent dibuix (els segments interiors són les bisectrius dels tres angles):

Si voleu veure l'enunciat original, feu clic per ampliar:

No us deixeu vèncer per la mandra, no consulteu de seguida la solució!

Solució del problema d'angles i bisectrius
(+/- Mostra/Oculta)

Amb la definició de bisectriu i sabent que, en geometria euclídea, la suma dels tres angles d'un triangle és de 180º, en teniu prou per solucionar el problema. Només cal una mica de vista, per a no utilitzar condicions o equacions que no són imprescindibles.

Anem per un altre repte, ara de nivell 2 (4t d'ESO). Us pot recordar un joc numèric ideat per Ignasi del Blanco que ja hem comentat aquí (Felicitacions? matemàtiques o no?).

Un problema de dividir en anglès (Cangur 2009)

Sabent que les lletres de la següent divisió indiquen xifres (com sempre, lletres diferents indiquen xifres diferents i una mateixa lletra indica una sola xifra):

Quants resultats diferents pot donar el producte T·H·R·E·E?

Com abans, feu clic per ampliar la següent imatge si voleu llegir l'enunciat original amb les possibles respostes:

En aquest cas, com que l'exercici s'ho val, apuntaré un parell de pistes abans de donar la solució. Penseu, però, que la satisfacció de solucionar-lo sense haver de recórrer a les pistes és superior. Feu-ne ús només en cas de desesperació manifesta.

Pista 1
(+/- Mostra/Oculta)

Suposo que no esteu intentant esbrinar el valor de cada lletra! Només ens demanen quants possibles valors té el producte T·H·R·E·E! Cal llegir amb calma i interpretar correctament els enunciats!

Pista 2
(+/- Mostra/Oculta)

Si ja heu comptat les lletres diferents, heu vist que n'hi ha deu. Per tant, en aquesta operació hi participen tots els dígits del sistema decimal del 0 al 9.

I si no hi ha més remei...

Solució del problema de dividir en anglès
(+/- Mostra/Oculta)

Si una de les lletres ha de ser el zero, no pot estar en el divisor (no podem dividir per zero!). Si és una de les lletres del dividend (E, I, G, H o T), aquest producte i el primer membre de la igualtat han de valdre 0. Per tant, el producte del segon membre també ha de ser zero (0 = 0). L'única lletra comuna de EIGHT i TWO és T, d'aquí deduïm que la T val zero. El producte T·H·R·E·E només pot donar un resultat ja que conté el zero: 0! La resposta correcta és la A. Un problema enginyós que no necessita càlculs complicats ni grans raonaments matemàtics! Si ho heu vist a la primera, felicitats!

Prova Cangur 2011: comencem el compte enrere

Aquest 17 de març, falta menys d'un mes, tindrà lloc l'edició d'enguany de la Prova Cangur. En aquest bloc ja hem dedicat un parell d'articles a aquest concurs de matemàtiques adreçat als alumnes de secundària (Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen en la Prova Cangur 2010 i Cangur 2010: les respostes i més detalls de l'organització) i, en d'altres escrits, hem utilitzat els enunciats d'alguns problemes proposats en el Cangur (el problema del format DIN i el problema dels mentiders).

El podeu trobar en d'altres llocs del bloc, però no me'n puc estar de donar-vos, una altra vegada, el següent enllaç:

www.cangur.org

A part de les sessions de preparació per als alumnes interessats que organitza la comissió que s'encarrega del Cangur, som moltes les escoles i instituts que programem trobades i classes amb els alumnes que volen participar en aquesta festa de les matemàtiques. Va ser en una d'aquestes classes, fora de l'horari lectiu, que alguns dels meus alumnes de 2n de batxillerat (nivell 4 del Cangur a casa nostra o nivell 6 en d'altres contrades) es van entrebancar amb el problema que us presentaré a continuació. Es tracta de calcular l'àrea ombrejada entre dos cercles concèntrics sabent que la longitud de la corda AB, tangent al cercle interior, és 16, veieu-lo (i el veureu millor, si feu clic damunt de l'enunciat):

Problema dels cercles concèntrics (Cangur 2010)

Valgui aquest exemple per il·lustrar el tipus de qüestions proposades i per fer-ne un tastet. No es requereixen grans coneixements matemàtics —en aquest cas, en tenim prou amb la geometria elemental de l'ESO—, però cal una mica de vista matemàtica (parlant de vista, Miguel de Guzmán, amb l'agudesa que el caracteritzava, és autor d'un meravellós llibret de geometria que porta l'encertat títol de Mirar y Ver).

Per acabar, tot i que no m'agrada donar les solucions mastegades, però n'estic segur que no consultareu la solució sense haver forçat una mica la vista o, en el millor dels casos, trobeu aquest càlcul elemental i només voleu comprovar-lo (quan obriu la solució, feu clic a la imatge si comenceu a tenir la vista cansada):

Solució del problema dels cercles concèntrics

(+/- Mostra/Oculta)

Simon Singh: llibres rodons (III). L'enigma de Fermat

Aquesta entrada serà la tercera que dedicarem a l'obra de Simon Singh. Podeu veure les dues anteriors
(Simon Singh: llibres rodons (I) i Simon Singh: llibres rodons (II). Los códigos secretos) i també l'escrit que, de fet, és una introducció al tema del qual tracta l'obra que comentarem (El Darrer Teorema de Fermat: una primmirada introducció). Per als no lletraferits, prometo que, després d'enfilar tants articles parlant de llibres, deixaré reposar la meva bibliofília i, pròximament, comentarem d'altres qüestions.

L'obra de Simon Singh Fermat's Last Theorem va ser publicada en anglès el 1997 i va assolir, en poc temps, la categoria de bestseller a Gran Bretanya (un destí ben estrany per a un llibre que parla bàsicament de matemàtiques i de la llarga història que ens porta de la Darrera Conjectura de Fermat —ara ja podem parlar del Teorema de Fermat-Wiles— a la demostració d'Andrew Wiles). L'any següent a la primera edició anglesa, el 1998, Edicions 62 posava a la venda la traducció catalana, a càrrec d'Antoni Vicens Lorente, amb el títol L'Enigma de Fermat. També podeu llegir l'obra en castellà si Editorial Planeta no l'ha descatalogat, ara que el negoci editorial i les xurreries, ho dic amb tot el respecte per als qui es dediquen a la venda de xurros comestibles, tenen tantes coses en comú.

Assenyadament, Singh no descriu només el llarg recorregut de la conjectura, sinó que fa una amena explicació d'altres qüestions històriques que li permeten alhora divulgar la metodologia de les matemàtiques. El llibre es tanca amb uns breus apèndixs, amb algunes demostracions senzilles i entenedores, i una bibliografia no extensa, però sí, ben seleccionada. Si us agraden les matemàtiques o creieu que algun dia us poden arribar a agradar, us recomano la lectura d'aquest llibre.

I ara, una petita perla! Just un any abans de la publicació del llibre, el 1996, Simon Singh va dirigir un documental, amb John Lynch de guionista i productor, per a la prestigiosa sèrie Horizon de la BBC sobre aquest mateix tema i amb el mateix títol (si el voleu veure, feu clic a Fermat's Last Theorem). Per als que tingueu dificultats amb l'anglès, a sota hi teniu els primers minuts d'aquest episodi, amb un emocionat Wiles, subtitulats en castellà (a Youtube hi trobareu la resta).

Actualització de 19/01/2016: Tant l'enllaç anterior com el vídeo que teniu a continuació estan bloquejats per problemes amb els drets d'autor. De moment, podeu veure el documental amb subtítols en castellà fent clic aquí o accedint a matematicascercanas.

Per acabar us proposo una cerca, ara mateix en aquest bloc hi ha una única imatge d'Andrew Wiles, potser no l'heu vist?