Selectivitat 2011: I les solucions?

En La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (I) vaig comentar un aspecte puntual dels exàmens de matemàtiques de selectivitat actuals: l'absència de continguts de probabilitat i estadística en les proves. Avui vull fer referència a un aspecte formal que em té perplex i del qual fa temps que espero l'explicació de les autoritats competents (en alguna ocasió l'he demanat, l'explicació, però com que tinc roba estesa, m'estalviaré els detalls). Abans de continuar faig un aclariment semàntic, la selectivitat s'anomena oficialment Proves d'Accés a la Universitat, però em resisteixo a utilitzar aquest eufemisme. L'obra de Kafka hauria estat més extensa si hagués gaudit de bona salut i hagués viscut en aquest país en l'actualitat, només que s'hagués fixat en la estructura i terminologia del món educatiu. Penseu que, per exemple, els fins fa poc Programes de Garantia Social (PGS) s'anomenen ara Programes de Qualificació Professional Inicial (PQPI). Això fa que contínuament ens estiguem ennuegant en una sopa de sigles i que hagi sentit dir a alguns pobres pares que el seu fill estudiava per a GPS (almenys el pobre nano no perdrà el nord!).

Passo a comentar el motiu de la meva perplexitat i desassossec (i així, amb aquesta darrera paraula, ajunto Pessoa i Kafka, dos dels escriptors que ens fan pam-i-pipa des del més enllà). Per als que ignoreu el procés, us diré que enguany la selectivitat a Catalunya ha tingut lloc els dies 15, 16 i 17 de juny. D'algunes matèries examinades (català, castellà, història, biologia, química, dibuix tècnic...), es podia consultar per internet una detallada plantilla de correcció a les poques hores d'acabat l'examen. Així els alumnes es van poder assabentar el mateix dia de la prova, per exemple, que l'expressió "terrible esperanza" era un "oxímoron" i no una "antítesis" per als correctors de l'examen de Lengua Castellana y Literatura. En canvi, per altres matèries (matemàtiques, matemàtiques aplicades a les ciències socials, física...) si cliquem, a hores d'ara, els criteris específics de correcció trobarem, per exemple, l'aclaridor text següent:

Criteris de correcció comuns per a totes les sèries.
(1) L'examen consta de 6 qüestions de 2 punts, de les quals cal respondre’n cinc.
(2) La nota final de l’examen s’obtindrà sumant les puntuacions parcials i arrodonint a mitjos punts.
(3) Els alumnes han d'explicar el per què de totes les seves respostes. Un problema o una qüestió amb resultat correcte sense explicació pot ser valorada amb un 0 si el corrector no és capaç de veure d'on ha tret l'alumne aquell resultat.
(4) Les qüestions i problemes que no estiguin resolts completament s'han de valorar en funció de les parts realitzades i mai en funció dels apartats no solucionats correctament. Si la qüestió o problema està dividit en apartats independents, un error en un d'aquests apartats, encara que sigui molt greu,
no ha d'influir en la qualificació dels altres.
(5) En preguntes de caràcter conceptual en les que les explicacions de l'alumne no siguin correctes el corrector ha d'intentar discernir si l'alumne té clars els conceptes o no. En cap cas els correctors han de posar l'èmfasi en el rigor formal de les respostes.
(6) Les qüestions i problemes no demanen, per regla general, la realització de càlculs molt llargs. Per tant,  els errors de càlcul no s'haurien de produir. Les errades de càlcul es tindran en compte, doncs, en la puntuació total, encara que amb una importància relativa.

Aquests són els criteris específics (sic) de correcció de la prova de matemàtiques. Pregunto:

• Per què unes matèries fan públiques ben aviat les solucions i d'altres, no?
• Vol dir això que hi ha correctors que disposen d'una plantila de correcció comuna i d'altres, no?
• Quins motius —m'estalvio de fer hipòtesis— fan que algunes correccions només es facin públiques quan ja ha acabat tot el procés?

Algú pot replicar que els mateixos professors de les matèries podem resoldre els exàmens, però cal dir que ignorem si tal errada baixa 0,5 punts o 0,25 punts. Si els alumnes poguessin veure la ultrasecreta plantilla, potser evitaríem alguna demanda de reclamació o doble correcció (ara Kafka balla un vals, tot sol, disfressat de buròcrata).

La iniciativa privada, un centre d'estudis i el professor Toni Gregori, ens permet, però, trobar les solucions d'alguns exàmens a la xarxa:

•  Correcció detallada de l'examen de matemàtiques. Ara mateix  hi ha, però, una petita errada de càlcul en la matriu de l'exercici 2, apartat b.

• Correcció detallada de l'examen de matemàtiques aplicades a les ciències socials.

Com sempre, val més que ens ho agafem amb humor.

Addenda del 7 de juliol de 2011

Diuen que no hi ha mal que cent anys duri: avui quan he entrat al portal de la Generalitat de Catalunya a l'apartat Exàmens i informació de les matèries, m'han rebut, totes cofoies, les correccions de totes les proves de les PAU de juny d'enguany (incloses les de matemàtiques! Les de Disseny, Química i Electrotècnia no estan en aquesta pàgina, de moment, però es van publicar en un altre lloc del web). No sé quants dies hi porten les de matemàtiques i física, però em temo que no són gaires. Això sí, a hores d'ara (afanyeu-vos a veure-ho, que ho corregiran), en la plantilla de correcció de matemàtiques hi figura un paradoxal "pautes de correcció, no públiques". L'acudit és bo, però no supera la sorpresa aritmètica, de fa bastants  anys, quan alguns alumnes espavilats van descobrir que sumant les puntuacions atorgades a les qüestions i problemes de l'examen de selectivitat de matemàtiques arribaven a 11 punts sobre 10. Felicitem-nos i agraïm la publicació de les correccions! A veure si, per al curs vinent, totes les matèries segueixen el mateix calendari a l'hora de fer-les públiques.

El dia de Pi (III). Posem-hi música

El 14 de març d'enguany vam encetar una sèrie d'escrits dedicats al nombre Pi. En el primer (El dia de Pi (I). Una invitació), a més d'explicar perquè el 14 de març se santifica, extraoficialment, el nombre π, ens vam posar uns quants deures. Alguns ja han estat acomplerts (El càlcul dels decimals del nombre Pi mitjançant mètodes en els quals hi intervé l'atzar, per exemple, el vam comentar a El dia de Pi (II). El determinisme de l'atzar), però ens quedava pendent, entre d'altres:

• El nombre Pi i la música. Un divertimento sense solta ni volta: Com sonen, o com podem fer sonar, els decimals de Pi?

Amb això de sense solta ni volta ja us aviso que no us trobareu una entrada de rigorosa matemàtica, però, si més no, espero que us sembli entrentinguda i curiosa. A més no hi ha festa ni diada assenyalada, sense música.

Em sembla —no ho puc assegurar— que la primera vegada que vaig sentir els decimals de π va ser en una conferència de Claudi Alsina. El sorprenent professor de matemàtiques va prémer el botó d'un vell magnetòfon i van començar a sonar unes atzaroses notes que corresponien (en el sentit de correspondència matemàtica) als decimals del nombre π. El mètode era molt senzill: a cada dígit del 0 al 9 li feiem correspondre sempre la mateixa nota i els decimals anaven sonant tots amb la mateixa durada. Podeu reproduir  aquesta experiència clicant en l'enllaç Pi10k. El funcionament d'aquest programa és molt senzill: només heu de fer clic a Begin π i després triar escala, triar deu notes o deixar que l'atzar decideixi quines deu notes representaran cada dígit (Randomize). El resultat (podeu "sentir" els primers 10.000 decimals del nombre, d'aquí ve el nom Pi10k) és escassament artístic: el fet que la distribució numèrica sigui aleatòria i totes les notes tinguin la mateixa durada no pot donar un producte gaire melòdic!

Amb més sentit estètic, el músic Lars Erickson, als inicis del noranta del segle passat, va compondre una Pi Symphony on, a més, hi va embolicar un altre nombre trascendent, el nombre e. Podeu trobar una breu explicació de l'estructura de la simfonia en el web d'un altre músic, Michael John Blake (Michaeljohnblake), vegeu Explanation of Pi Symphony en Youtube o en el web de Blake. El mateix Blake ha utilitzat alguns fragments en el divertit, quasi infantil, What Pi sounds like.

Posats a triar em quedo, però, amb la inquientant A piece of Pi (violin music for Pi Day), us recomano que l'escolteu.

I no acabaríem! A The world of Pi hi ha un apartat com aquest:

I un altre apartat amb continguts semblants el podeu trobar a The Joy of π.

En alguns dels exemples que he posat, els més elaborats, els decimals del nombre π s'han utilitzat com a motiu numèric. Els motius, generalment més les lletres que els nombres, s'han utilitzat recurrentment en música. El mateix Johann Sebastian Bach es va permetre jugar amb la correspondència de les lletres del seu cognom B-A-C-H que en notació musical alemanya equivalen a si bemoll (B), la (A), do (C) i si natural (H) (motiu Bach). Clar que de la seva inspiració i proesa tècnica va treure de B-A-C-H, per exemple, el Contrapunctus XIV de l'Art de la Fuga (Die Kunst der Fuge) i no una "riuada" (valgui l'acudit, si sabeu alemany) de notes sense sentit.

Ah, no me n'havia adonat però avui és dia 14 i fa tres mesos exactes del dia de Pi!

La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (II)

En una entrada anterior, La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (I), comentàvem amb quina poca consideració es tracten els continguts de probabilitat i estadística en l'ordenació curricular de l'ensenyament secundari i de la seva absència en les proves d'accés a la universitat. Malgrat el títol d'aquest article, no continuarem amb les lamentacions i, tal com apuntàvem en l'anterior, parlarem d'alguns materials disponibles en línia que poden ajudar al professorat a tractar aquests continguts a l'aula o que poden ser útils als alumnes; per exemple, a l'hora de realitzar el seu treball de recerca.

Si ens centrem a casa nostra, hi ha alguns webs de visita obligada que contenen exercicis i material divers per treballar tot el currículum (no només la probabilitat i l'estadística), per exemple:

• Toomates. Ja n'hem parlat a Toomates: una iniciativa fructífera.

• XTEC (La Xarxa Telemàtica Educativa de Catalunya). Hi podeu trobar força recursos de Matemàtiques.

•  ARC (Aplicació de Recobriment Curricular). Magnífica iniciativa que abarca també d'altres matèries de secundària.

Un web imprescindible i dedicat només a les dades estadístiques, però no des d'un punt de vista pedagògic, és el de l'Institut Estadístic de Catalunya (idescat). Aquest organisme oficial ens proporciona dades diverses sobre Catalunya que es poden utilitzar amb profit per introduir l'ús del full de càlcul (Calc o Excel) entre els alumnes de secundària.

Des del mateix Institut Estadístic va sorgir, fa uns anys, la bona idea de dedicar un espai a l'aprenentatge de l'estadística. Us aconsello, si encara no el coneixeu, que us hi passegeu una mica: aprenestadistica.gencat.cat

Com que no m'acaba d'agradar això de convertir un article en un índex de recursos, deixeu-me finalitzar amb una reflexió "gràfica" per als refractaris a la ciència estadística (feu clic damunt de la imatge si no voleu forçar la vista):

Que n'és de difícil fugir-ne!

La proporció àuria, la bellesa, els rostres i el treball de recerca

En un comentari a l'entrada immediatament anterior a aquest article, l'Anna, una alumna de primer de batxillerat, ens comunica que està fent el seu treball de recerca sobre la "possible" presència de la proporció àuria en la bellesa facial humana. El treball de recerca (TR) és un dels fets diferencials del sistema educatiu català: tots els alumnes de Catalunya l'han de fer obligatòriament i val un 10% de la nota de batxillerat (cosa que em sembla raonable, però l'alumnat d'altres comunitats autònomes se l'estalvien!).

Ja he dedicat d'altres entrades al nombre auri. A hores d'ara, els escrits més consultats d'aquest bloc són, per aquest ordre:

Com dibuixar rectangles auris

La Gioconda, enigmàtica?

L'Home de Vitruvi

Tots tres fan referència a la raó àuria! Cal dir que no tothom ha arribat a aquests escrits, suposo, cercant informació sobre la proporció, però em sembla que és significatiu i una demostració que el mite del nombre d'or és dels més estesos dels mites matemàtics. En aquest sentit, m'hauria agradat més que el rànquing dels més llegits estigués encapçalat per El mite del nombre d'or on hi ha un enllaç a un article periodístic d'imprescindible lectura (El mito del número de oro).

Demano disculpes, abans de continuar, a alguns llegidors habituals d'aquest bloc (si no han desistit encara) perquè en un comentari a L'Home de Vitruvi  ja se'm fa saber (amb música de Bob Dylan) que:

Quantes entrades caldrà dedicar al nombre auri
Abans d'engegar a pastar fang els seus impostors

Espero que la vehemència dels versos no faci defallir l'Anna o a d'altres alumnes que dediquen el seu TR a la divina proporció: un bon TR no acaba, necessàriament, validant la hipòtesi.

En qualsevol investigació, un dels passos imprescindibles és la recerca documental: no podem començar de zero ni tornar a fer el mateix camí que ja ha estat recorregut. Els investigadors professionals  ja saben que car es paga el fet d'arribar segon o d'obviar informació que ja han aportat d'altres. En el cas que ens ocupa —diguem-ne d'iniciació a la recerca—  podem començar per consultar Mr Google: proposo les paraules clau "treball de recerca" auri OR auria (les cometes i l'OR són importants). Ens assegurem així de poder comprovar si s'han fet recerques semblants en aquest nivell. Trobem, per exemple, que Camille Ausseill (La proporció àuria i la seva aplicació en les proporcions humanes) en les seves conclusions hi fa constar un significatiu i ocurrent "no es oro todo lo que reluce".

També cal dedicar molta atenció a la metodologia. No podem començar a mesurar rostres sense unes nocions básiques d'antropometria. Sense dedicar-hi massa temps i a la xarxa (recomano biblioteques i especialistes!), he trobat:

Antropometría aplicada (I). Generalidades  No parla gens de rostres, però està bé per entrar en matèria.

Estructuración y estandarización de la antropometría facial en función de proporciones  No és un escrit tan generalista com sembla pel títol, però els especialistes en cirurgia estètica tenen el seu punt de vista.

No em puc estar d'indicar algunes dificultats que té aquesta recerca (en alguns comentaris ja les he citat). El nombre auri (Φ) és irracional i, forçosament, les mesures que prenem nosaltres són racionals, com podem distingir a la pràctica Φ de cinc terços o de vuit cinquens? És mesurable la bellesa? Hi ha unes proporcions objectivament belles? El concepte de rostre bell depèn de les cultures, ha anat variant en el temps i la variabilitat externa dels humans és considerable. Unes imatges a tall d'exemple: 

Hyo-Sun Lim

Batoma Diallo

Quin rostre té unes proporcions més perfectes? El de la pianista coreana Hyo-Sun Lim o el de Batoma Diallo, cantant de Mali? Des del nostre eurocentrisme, a algú li pot semblar que Lim té els ulls petits i Diallo els llavis massa molsuts. Si en lloc de fer referència al rostre, parlem de craniometria, que és més proporcionat un crani dolicocèfal, un de mesocèfal o un braquicèfal?

Ah, i una cara quadrangular, molt allunyada dels nostres ovals occidentals:

Una altra dificultat recau en què el concepte de bellesa, modes i cultures a part, té una part individual i biogràfica intransferible. El filòsof racionalista Descartes es va enamorar de petit d'una noia guenya o estràbica (he ratllat la primera paraula, no sigui que la policia d'allò politícament correcte em denunciï) i, sempre més, va trobar atractius els rostres que tenien aquest mateix defecte. Si us sembla estrany a Balzac i als antics maies (a tots!?), diuen que els passava el mateix.

S'ha postulat que determinades característiques del rostre sí que tindrien un valor universal que els faria més agradables. Aquí hauríem de citar la simetria i l'aspecte saludable (sigui el que sigui aquesta darrera cosa). De totes maneres, no hi cap cara totalment simètrica i l'excés de simetria provoca efectes perversos (A Study of Asymmetry of Faces).

Ara hauríem de passar a dissenyar el treball de camp...

Sé, perquè he atutorat uns quants TR, que les consideracions, dubtes, crítiques i preguntes incomoden els estudiants, però la ciència es construeix a partir d'incerteses (allò del dubte metòdic que diria Descartes) i d'afirmacions falsables (que diria Karl Popper). Catalans i catalanes (que diria qualsevol polític actual) que curseu el batxillerat, ànim i que tingueu un bon treball de recerca!

La Ventafocs del currículum: Probabilitat i estadística (I)

Ja vam comentar alguna de les mancances del currículum de l'ensenyament secundari en l'entrada La Lògica i el currículum (I). Avui m'agradaria parlar del currículum de matemàtiques, de la seva Ventafocs: la probabilitat i l'estadística (els més rigorosos diran que són dues disciplines diferents i per complaure'ls només caldrà posar en plural l'article i escriure les Ventafocs) i del temari de Selectivitat. Abans d'entrar en matèria, cal dir que, per edat com a únic mèrit, he sobreviscut els diferents canvis de temari i d'orientació de l'assignatura de matemàtiques. Com alumne vaig viure l'auge de l'ensenyament de l'anomenada matemàtica moderna i, de ben petit, distingia correctament les relacions d'ordre de les d'equivalència i el conjunt complementari de la intersecció de conjunts (per horror dels més grans que, encertadament, opinaven que sumar en base tres no ens faria homes de profit). Més tard, uns quant anys de quasi autoaprenentatge i posades en comú, emplenant fitxes d'ordenació complicada (en una setmana calia fer les fitxes 4-1 a 4-6 de matemàtiques, de la 3-6-1 a la 3-6-4 de naturals...) i pràcticament sense llibres (això que ara és tan avançat). I després el batxillerat d'aleshores: el BUP (la P de l'acrònim era de polivalent, com ho són les navalles suïsses si et llegeixes amb deteniment les instruccions) amb explicacions detallades de com utilitzar les taules de logaritmes i funcions trigonomètriques. En la meva etapa de professor els canvis han estat constants i us n'estaviaré els detalls, deixeu-me dir, però, que ara que ja sabíem diferenciar els conceptes dels procediments, hem de programar per competències i que, després d'una epidèmia d'àlgebra, correm el risc de patir-ne una de geometria (a l'ESO, si més no). Ironies a part, canvis i recanvis m'han angoixat més aviat poc i m'han molestat més les explicacions i sortides per la tangent dels encarregats de justificar-ho tot plegat: recorrent cada vegada més a arguments d'autoritat ("ens ho demana Pisa" o "així ho ha fixat Madrid", mira que en tenen d'autoritat aquestes dues senyores, Pisa i Madrid!).

Però parlem de la pobreta Ventafocs! En els exàmens de Selectivitat  —ui, perdó! no volia ser políticament incorrecte, volia dir en les Proves d'Accés a la Universitat (PAU)— de Matemàtiques o de Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials (les darreres sis paraules són el nom d'una assignatura) no hi trobàreu cap pregunta de probabilitat i estadística. Per quina raó? Senzillament per una "raó legal", els reials decrets que regulen les PAU (Reial Decret 1892/2008 i Reial Decret 558/2010) afirmen que el temari examinable és el de segon de batxillerat i, ai las!, la probabilitat i estadística són del temari de primer curs. Per d'altres raons legals, els exàmens de selectivitat de l'antic COU (la O és d'orientació, però no em demaneu cap on assenyalava la brúixola) contenien preguntes de probabilitat, a Matemàtiques I, i l'estadística tenia molt de pes, a Matemàtiques II. Algun idealista em replicarà que els continguts estan encara en el temari, però amb només dos cursos, el temari sobrecarregat i uns continguts que no surten a les PAU no cal que us digui quins són els coneixements mitjans (va, us deixo dir competències) de probabilitat i estadística dels nostres batxillers. Algun dia caldrà parlar dels efectes, perversos o virtuosos, d'algunes proves externes necessàries (anava a parlar d'Estats Units i la importància que s'acaben donant a unes poques assignatures, però el problema és força més complex (podeu consultar, però la tria d'aquest document no ha estat massa meditada ni fruit d'una recerca exhaustiva, La educación secundaria en los Estados Unidos)).

Si voleu donar una ullada als exàmens de matemàtiques, i de les altres assignatures, de les PAU a Catalunya:

• Gencat (per a exàmens recents)

• Selecat (si voleu viatjar a un passat una mica més remot)

Deixeu-me aclarir allò dels arguments d'autoritat del primer paràgraf, ara que he parlat una mica més de la situació. Us podrà semblar anecdòtic, però em sembla que és significatiu. Fa uns quants anys, recordo en una reunió de selectivitat que un dels sots-coordinadors de la prova i els  professors assistents vam comentar i debatre si el temari de batxillerat més adequat per a futurs estudiants universitaris de Ciències de la Salut hauria d'incloure més estadística (potser no era el lloc on fer-ho, però això demostrava una certa actitud). Darrerament, les preguntes es dirigeixen directament a què "entra" i s'ha convertit en resposta pragmàtica i recorrent, donat l'estat de l'educació, però, no cal culpabilitzar a ningú, "no entra perquè és del temari de primer". Si em demaneu quins arguments justifiquen que determinats contiguts ara estiguin a primer, ara a segon (a física, tres quarts del mateix), els ignoro completament (les apel·lacions al compliment de les lleis, no em semblen arguments "raonables").

M'he centrat en comentar l'estat de la matèria al Batxillerat, però em temo que a l'ESO el panorama no és gaire millor. Cal dir, és una apreciació i no puc aportar dades objectives, que l'estadística no té massa prestigi ni és massa valorada entre els mateixos matemàtics i això pot explicar part de la situació. 

L'estadística i la probabilitat és la branca de les matemàtiques que té una presència més àmplia en els estudis universitaris, forma part dels coneixements bàsics de l'alfabetització matemàtica (podeu llegir L'analfabetisme numèric i les seves conseqüències) i els seus abusos serveixen per entabanar ciutadans, contribuents i jugadors més o menys compulsius (suposo que, per això, dediquem més temps del curs a la geometria analítica). Acabo aquest panegíric queixós amb l'anunci que en el proper escrit seré més constructiu i parlaré d'algun material interessant per treballar la probabilitat i l'estadística disponible a la xarxa.