Proporcions en l'art: racionals o irracionals?

En d'altres ocasions ja hem parlat de les dimensions i de les propocions, sobretot en relació al nombre auri, la secció àuria o com vulgueu anomenar al nombre Φ. No tractarem aquí d'una manera general el tema de les proporcions en l'art. Entre d'altres motius, perquè si consulteu algunes de les enciclopèdies més conegudes dedicades exclusivament a l'art, tot i que poden tenir un nombre considerable de volums, veureu com pràcticament no hi són presents qüestions com les proporcions, les mesures o les tècniques artístiques — com si el fet de parlar-ne, rebaixés el nivell "humanístic i espiritual" de les obres que hi consten. De fet, ja m'ha costat contrastar les quatre coses que explicarem aquí i cal dir que he trobat discrepàncies en algunes ocasions (és el cas, per exemple, del cànon de l'escultor grec Lisip, que comentarem més endavant, que tan aviat és de "vuit caps" com de "set caps i mig").

Comencem doncs per l'escultura de l'Àntiga Grècia. Per als amants de l'austera bellesa actual d'aquestes obres, hem de dir que la majoria d'elles estaven pintades total o parcialment: ¿de quin to rosa era la pell de la Venus de Milo? Sembla que els escultors grecs estaven molt interessats en la qüestió de la proporcionalitat anatòmica. Policlet (segle V aC) va escriure un tractat sobre aquest tema, però no se'n conserva cap còpia. Sí que es conserva una còpia, l'original en bronze no s'ha trobat, de l'escultura on posava a la pràctica el seu cànon estètic: el Dorífor (del grec δορυφόρος, doryforos, 'el que porta la llança'). Sembla que va ser realitzada entre el 450-440 aC. A través dels historiadors romans, ens ha arribat la notícia que el Dorífor o Cànon era utilitzat pels artistes aprenents i Plini deia de Policlet que era l'únic artista que havia incorporat tot l'art en una sola obra. El cànon de Policlet es coneix com de "set caps" perquè el cap del Dorífor és la setena part de la seva altura.

El segle IV aC, Lisip, un altre escultor grec, empetiteix els caps — s'ha dit que per donar més sensació de grandesa.El cànon de Lisip sembla ser de "vuit caps" (el cap és una vuitena part del cos) encara que no m'he entretingut a comprovar-ho i en alguna lloc es parla, com hem dit, de "set caps i mig". L'obra "canònica" de Lisip és l'Apoxiòmenos (cap el 330 aC) de la qual tampoc no en tenim l'original. Apoxiòmenos seria, traduït literalment al català, "aquell que es rasca": es tracta d'un atleta (pugilista?) que es treu les restes d'oli, els greco-romans s'untaven per fer esport, amb un aparell anomenat estrígil.

Evidentment els cànons eren més complexos i no feien referència nomes a la proporcionalitat del cap, sinó a la relació entre tots els punts importants de l'anatomia externa (veieu les il·lustracions del següent enllaç: Apoxiomenos). Sigui com sigui i tal com era d'esperar, aquest dos cànons i d'altres que es podrien citar i comentar són perfectament expressables en fraccions i han estat concebuts com a fraccions: no apareix cap irracional i, per tant, podem prescindir del nombre auri. En un enllaç que hem donat en un paràgraf anterior (cànon estètic) podeu llegir, per exemple, que la proporcionalitat que aplica l'italià Sandro Botticelli (1445-1510) en la seva coneguda pintura El naixement de Venus no té res a veure amb els irracionals.

¿I la Gioconda de Leonardo? Segons alguns d'enigmàtic somriure, plena de rectangles auris i portadora d'hermètics missatges... En parlarem en la propera entrada, però de moment aquí us la deixo (en blanc i negre i la cara feta un quadro):

Les arrels no europees de les matemàtiques

El llibre The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics de George Gheverghese Joseph va ser publicat, en l'anglès original, el 1991. L'autor va néixer a la ciutat índia de Kerala, però és va traslladar a Kènia amb la seva família de ben petit, més tard va rebre formació universitària en  l'anglesa ciutat de Leicester i va treballar a les universitats de Manchester i Toronto. A més, com comenta en el prefaci del llibre, entre els seus avantpassats hi ha cristians siris ortodoxos: aquesta herència i formació variada justifiquen, segons ell, la passió que l'impulsa a escriure aquesta obra que ara ens ocupa.

The Crest of the Peacock va ser publicat en castellà per Ediciones Pirámide, del grup Anaya, el 1996. Van respectar força el títol, el van traduir com La cresta del pavo real: Las matemáticas y sus raíces no europeas. L'estranya referència al  pavo real s'entèn perfectament quan es llegeix un text vèdic que apareix després de la dedicatòria en les pàgines inicials. Aquest text compara les matemàtiques amb la cresta d'aquest ocell.

El llibre ofereix una perspectiva alternativa a les històries de les matemàtiques que el autor anomena eurocèntriques. Amb les següents figures extretes del llibre, entendrem millor què vol dir "visions eurocèntriques" de la història de les matemàtiques:

Tant en una trajectòria com en l'altra, les matemàtiques neixen a l'Antiga Grècia. En la segona, ara la més habitual en molts textos, s'admeten les aportacions secundàries d'Egipte, de Mesopotàmia i dels àrabs. Cal aclarir que quan l'autor parla d'Europa o de la matemàtica europea no ho fa en un sentit estrictament geogràfic: així, per entendre'ns, els japonesos Goro Shimura (1930) i Yutaka Taniyama (1927-1958), autors del teorema que porta el seu nom (Teorema de Taniyama-Shimura), són matemàtics de tradició i mètode europeu.

La trajectòria que proposa George Gheverghese Joseph per a una de les etapes crucials és més rica i complexa:

El llibre, de 494 pàgines, és una joia, però no admet una lectura lineal i ràpida, comú en d'altres llibres de divulgació. És més una petita enciclopèdia amb capítols independents on es revisa la matemàtica de l'Amèrica precolombina, de l'antic Egipte i Babilònia, de l'Índia, de la Xina i del món àrab clàssic.

Que jo sàpiga no hi ha cap més obra d'aquest autor disponible en castellà. La Societat Catalana de Matemàtiques, però, va tenir el bon criteri de convidar-lo, el 2004, a la Setena Trobada Matemàtica que versava sobre Matemàtica: unitat i diversitat i vam poder assistir a una brillant ponència amb el títol de Medieval Kerala Calculus, its possible transmission to Europe and the Jesuit conduit (fent clic podreu veure els resums de les conferències d'aquesta Setena Trobada).

Formats i proporcions: el DNI

El document nacional d'identitat (DNI) es va crear arran d'un decret del franquisme de 1944, però no es va començar a expedir fins el 1951 (com a curiositat diré que n'hi havia de quatre categories segons la situació econòmica del sol·licitant!). Amb anterioritat han existit a l'Estat documents d'identificació diversos, però la obligació de posseir-ne un, va arribar bastant més tard del 1951 (deu ser pel mateix motiu que a Espanya no hi ha monuments al Soldat Desconegut, aquí ens coneixem tots!). Podeu veure imatges dels diferents documents que han existit en el següent pdf elaborat pel Ministerio del Interior (Imágenes_dni_histórico) i una mica d'història en un article de la revista Dintel (El DNI: Orígenes y antecedentes). Navegant o surfejant es troba força informació sobre aspectes històrics, anecdòtics i numèrics del DNI: com s'assigna la lletra a cada nombre del DNI (es fa a partir de dividir el nombre per 23 i calcular-ne el residu, n'haurem de parlar), que els nombres més baixos corresponen a DNIs que s'han atorgat més d'una vegada (els DNIs del morts, una llegenda urbana!), que en el document hi ha un nombre que correspon al nombre de persones que es diuen igual que nosaltres (una altra llegenda poc imaginativa), etc. Si en canvi, cerquem informació sobre les proporcions dels diferents formats de DNI no trobem la mateixa diversitat i abundància de fonts. Sembla que bàsicament han existit dos formats, tot i que hi ha hagut molts més canvis en la informació que en cada moment si ha fet constar: un format "gran" (en un diari de 1947 ja he trobat que parlava de 11 cm x 7 cm) i un format "petit" posterior que és el dels carnets actuals, siguin electrònics o no, i que correspon exactament a les dimensions de les targetes de crèdit de les quals ja n'hem parlat (El mite del nombre d'or).

Els que ja tenim més d'una edat hem pogut veure la nostra fotografia en un carnet dels de format gran i color blau (amb el consol  de la frase: ningú no és tan lleig com a la seva foto del carnet). Per als més joves, l'aspecte de la cara anterior del document era aquesta:

A l'esquerra hi anava la foto amb una empremta digital intercalada i en el requadre de la dreta una altra empremta digital. Ja hem dit que les dimensions en centímetres eren enteres 11 cm x 7 cm i d'això en resulta una raó de proporcionalitat de 11 ÷ 7 = 1,571428571428... ben allunyada del nombre auri. Però aquestes dimensions són amb la coberta de plàstic! he mesurat el document en si, sense el folre, i la constant de proporcionalitat que en resulta és 1,615... Algú del Ministerio va fer esforços per introduir la proporcionalitat àuria al document? (una de les moltes teories conspiratives) .

A partir del 1990 el document minva en les seves dimensions:

A part de comprovar que Leonardo era espanyol, podeu veure que, qui ha fet les mesures, les ha arrodonit (superposeu a casa el DNI amb una targeta de crèdit i veureu que coincideixen).

Amb el programa de geometria dinàmica GeoGebra i una mica de paciència (d'aquella que es té quan no hi ha massa feina) em vaig proposar el següent exercici: com s'han de modificar les dimensions d'un DNI actual per convertir-lo en un rectangle auri? I els resultats són aquests (si hi feu clic, ho veureu amb més detall):

Figura 1 Hi afegim un rectangle vertical

Figura 2 Retallem un rectangle horitzontal

Cal indicar que la principal lliçó pràctica que en podem extreure és la utilitat dels programes informàtics de geometria dinàmica. Les longituds dels segments i operacions que hi apareixen han estan calculats pel mateix programa (amb una aproximació de dos decimals que m'ha semblat suficient i amb el centímetre com a unitat de longitud). En la figura1, he mantingut l'altura del rectangle i la franja vermella és el rectangle vertical que hi hauríem d'afegir per aconseguir, amb una aproximació suficient, un rectangle auri. En la figura 2, mantenint la longitud de la base del document, hauríem de retallar per la línia DE per aconseguir la divina proporció.

Algú podria dir que ni falta ni sobra massa per aconseguir rectangles auris, però evidentment qui ha decidit aquest format o el de les targetes de crèdit no tenia pas el nombre auri al cap. Sí que hem vist que en els formats DIN dels fulls, hi estava directament implicada l'arrel de dos (Formats i proporcions: l'arrel de dos versus el nombre auri). La clau està en respondre a la pregunta: quina proporcionalitat o quina idea hi ha darrera dels formats dels DNIs actuals i de les targetes de crèdit?

Formats i proporcions: l'arrel de dos versus el nombre auri

Comencem per un aclariment lingüistic, em ve de gust fer-lo, i d'intenció sobre el títol d'aquesta entrada:
Versus és una preposició, sovint abreujada com vs., que indicava en llatí direccionalitat (la podem traduir com cap a o en direcció a, ja que la paraula que en deriva en català, vers, està restringida , cada vegada més, a contextos literaris). Versus va donar la preposició vers (idèntica en català i en francès) o verso en italià. Ja en el segle XV però, els anglesos la introdueixen en el seu llenguatge jurídic amb el significat de contra i així, més tard passa al llenguatge, sobretot esportiu, denotant combat o enfrontament més o menys incruent (Muhammad Ali vs. George Foreman o Argentina vs. Uruguai) i així ens va arribar a nosaltres, primer del castellà i sobretot a través de la premsa esportiva. Podia haver escrit en el títol: l'arrel de dos contra el nombre auri, però com que —misteris de la ment en vacances— m'ha vingut al cap el film Dracula vs. Frankenstein (1971) del director Al Adamson he optat per versus. Per als professors, les proporcions, √2 i Φ (el nombre auri) no són equiparables als monstres; però per alguns alumnes, potser sí. Els aficionats a les pel·lícules de sèrie B, aquelles de tarda i vespre de sessió doble, em poden recordar que el director espanyol Jesús Franco també va rodar una infame Drácula contra Frankenstein (1974) amb el contra al títol..., però ja és hora que acabem aquesta digressió.

Per introduir aquest tema ho farem amb un qüestió del nivell 3 (1r de batxillerat) de la prova Cangur de l'any 2005 (feu clic damunt de l'enunciat per poder-lo llegir amb més comoditat):

No és massa complicat de trobar la resposta, intenteu-ho i si desistiu consulteu l'enllaç DIN 476 on trobareu la solució i informació sobre la norma DIN 476 que és la que regula els formats dels fulls que generalment utilitzem. Haureu llegit en l'enllaç anterior que les regles per fixar-ne les dimensions són molt senzilles:

• Tots els fulls de la sèrie DIN tenen la mateixa proporció entre el seu costat gran i el seu costat petit.

• Dues grandàries de paper successives han de complir que l'àrea d'una ha de ser el doble de l'altra. Com hem vist en el problema, per exemple, ajuntant dos fulls DIN A4, tenim un  full DIN A3.

• Un full DIN A0 té una àrea d'un metre quadrat.

Les dues primeres condicions ens porten a una raó de proporcionalitat única: en tots els fulls de la sèrie DIN es compleix que la divisió del costat gran entre el costat petit és igual a l'arrel quadrada de dos. Evidentment a la pràctica el quocient de les dues dimensions és aproximadament igual a √2. Fins a quin punt arriba aquesta aproximació? Si agafem un full DIN A4, segurament el format més utilitzat, fa 21,0 cm x 29,7 cm. Fem la divisió:

29,7 ÷ 21,0 = 1,41428571428571428571428571428571...

Obtenim un decimal periòdic mixt amb un 4 com a primer decimal i un perìode de sis dígits, 142857, que es va repetint (en forma fraccionària aquest nombre és 99/70). Si comparem aquest nombre amb l'arrel de dos (√2 = 1,414213562373095048801688724209...), veiem que coincideixen en els primers quatre decimals. Recordem que quan vam intentar comprovar si les targetes de crèdit eren rectangles auris (El mite del nombre d'or) ja ens fallava el primer decimal. Abans de proclamar vencedora a √2 enfront de, o versus, Φ, almenys si analitzem la seva presència en formats nomalitzats, podem presentar alguna objecció. No és massa correcte comparar un full DIN A4 amb una targeta de crèdit, cal cercar el format DIN que més s'hi aproxima en magnitud. Aquest és el DIN A8 (52 mm x 74 mm), però si voleu podem provar també amb el DIN A7 (74 mm x 105 mm) (veieu Mida de paper).

DIN A8:  74 ÷ 52 = 1,4230769230769230769230769...

DIN A7: 105 ÷ 74 = 1,4189189189189189189189189...

Tal com era d'esperar, l'aproximació no és tan bona, però continua sent remarcable.

Per què els llibres de text i les pàgines web continuen insitint amb els rectangles auris quan parlen de proporcionalitat? √2 permet parlar amb rigor, dóna joc a parlar de formats de paper i de fotografia, d'ampliacions i reduccions..., però no té la poesia mítica de Φ!

Construcció d'un rectangle amb raó de proporcionalitat √2 

Com que ja vam explicar com dibuixar un rectangle auri en l'entrada anterior a aquesta (Com dibuixar rectangles auris), no seria just que no parléssim de com representar gràficament els rectangles que compleixen que costat major ÷costat menor  =  √2. El mètode és semblant i  molt més senzill en aquest cas.

Construïm un quadrat de costat b i tracem la seva diagonal (aprofitarem que en qualsevol quadrat el quocient entre la diagonal i el costat és √2). Amb el compàs traslladem la diagonal a l'horitzontal, tal com indica el dibuix, i ja hem acabat (b+a) ÷ b = √2!

Com dibuixar rectangles auris

En una entrada anterior (El mite del nombre d'or) comentava que la proporcionalitat àuria no és tan ubiqua com molts articles de divulgació matemàtica ens volen fer creure. Torno a indicar que un rectangle s'anomena rectangle auri si la raó, quocient o divisió, entre els seus costats, major entre menor, és igual al nombre auri que s'indica amb la lletra grega Φ. Aquest nombre és igual a (1 + √5)÷2; per tant, és un nombre irracional i podem donar un llistat d'i·limitats decimals amb la impossibilitat de trobar-hi cap periodicitat :
Φ  = 1,618033988749894848204586834365...

En aquell article vam dividir les dimensions de les targetes de crèdit (85,60 mm x 53,98 mm), que alguns textos donen com exemple de rectangles auris, i el quocient s'apartava de la raó àuria (85,60÷53,98 = 1,585772508336...). Com que cal ser crític i per ser-ho cal començar per els propis raonaments, deixeu-me que comenci tirant pedres a la meva teulada:

• En primer lloc, cal dir que els instruments de mesura (regles, peus de rei, balances, rellotges, etc.) tenen sempre una precisió determinada. Per tant quan mesurem, obtenim un nombre finit de decimals; és a dir, obtenim un nombre racional. Això vol dir que a la pràctica, com que la divisió de dos racionals és també un nombre racional, fent la divisió de dues mesures de longitud no obtindrem mai exactament el nombre Φ que és irracional; sinó, com a molt, una aproximació (1,6; 1,62; 1,618; etc.).

• Que sigui impossible l'obtenció exacta de Φ com a quocient de mesures obtingudes a la realitat, no vol dir que no puguem donar un mètode gràfic, amb regla i compàs, per construir un rectangle auri ideal. Passa el mateix que amb  √2 (un altre nombre irracional famós): en un quadrat d'1 m de costat, la diagonal mesura √2 m, només cal aplicar el Teorema de Pitàgores per comprovar-ho. Ara, tots els quadrats 1 m x 1 m que podem construir o dibuixar a la realitat s'aproximaran, més o menys, al quadrat ideal depenent de la metodologia, aparells utilitzats... 

Construcció d'un rectangle auri

Comentem amb més detall aquest segon punt, per això necessitarem el següent dibuix:

Si, tal com passa en el dibuix,  es compleix la igualtat de la dreta del gràfic, els segments b i a guarden la divina proporció o la proporció àuria (de fet la definició de raó àuria es fa a partir de la proporcionalitat de segments, per passar després als rectangles) . Per a qualsevol persona que sàpiga solucionar equacions de segon grau, és fàcil demostrar que de la igualtat dels dos quocients (la suma de segments a + b entre el segment major, b, és proporcional al quocient del segment major entre el menor) és dedueix que la raó o constant de proporcionalitat és Φ. Per tant, el rectangle de base b + a i altura b és un rectangle auri.

Com podem construir un rectangle auri? Només ens calen conceptes molt senzills de dibuix. Cal construir primer un quadrat de costat b (n'ometo els detalls, però només cal regla i compàs, i un llapis és clar!). Tal com es veu en el dibuix anterior, en dividim la base per la meitat (tracem la mediatriu del segment b) i tracem la diagonal que va de la meitat de la base al vèrtex superior del quadrat. Traslladant amb el compàs aquesta diagonal sobre l'horitzontal obtindrem la base del rectangle (b+a) i quasi ja tindrem la feina acabada. Els que sabeu representar nombres irracionals damunt de la recta real, podeu observar que, encara que la construcció no és la única possible, si b és la unitat, b + a = Φ.
 
Que aquesta construcció sigui tan senzilla de fer i tan poc rebuscada, podria recolzar la idea que des de l'antiguitat els pintors, dibuixants, arquitectes, etc. l'hagin utilitzat a dojo...