L'ovella esgarriada... i retrobada

A Ovelles, rigor i matemàtiques vaig proposar el següent problema:

"Una ovella (una cabra, una vaca o un ase, segons les versions) està lligada amb una corda a una estaca situada en un punt del perímetre d'un prat circular, que té un metre de radi. Quina ha de ser la longitud de la corda per tal que l'ovella es pugui menjar només la meitat de l'herba?"

En aquella ocasió, acompanyava l'enunciat amb un dibuix més o menys figuratiu i bastant naïf per millorar-ne la comprensió. Demanava la col·laboració dels navegants per tal d'aconseguir una millor representació gràfica. Però com que "sóc la veu d'un que crida en el desert" (podeu comprovar que va de referències bíbliques) i, a falta d'un bon disseny que els llegidors m'han negat, haurem de recórrer a les sofertes coordenades cartesianes:

El gràfic no es de realització pròpia, després citaré la font, i és un pas més cap a l'abstracció; és a dir, la solució de la qüestió plantejada. Avanço ja que el radi ha de ser:

r = 1,158728473018121517828233509933509149688292261...

i il·limitats decimals més!

Stephen W. Hawking (us dono l'enllaç a Wikipedia en castellà, perquè trobo que és injust que en català encara no hi hagi un article dedicat a Roger Penrose amb qui va fer bona part de la feina a mitges) deia a la introducció del seu llibre Història del temps que "Algú em digué que cada equació que inclogués en el llibre en reduiria les vendes a la meitat". Potser la comparació és forçada, però em temo que el fet de donar la resposta abans de les referències metodològiques pot provocar que algú abandoni la lectura de l'entrada. En els dos casos, els que poden deixar de comprar un llibre perquè hi ha alguna equació (en el ja citat de Hawking, n'hi ha una) o els que perden l'interès en un problema perquè algú els dóna la resposta, es tracta de persones que no han comprès què són la física i les matemàtiques. Però com que no seria la primera vegada que sento "perquè hem de fer aquest exercici, si en el llibre ja hi surt la solució" o "perquè no tinc cap punt en aquest problema de la prova? L'he fet malament, però el resultat és correcte o si hi acosta" (sic)... deixo aquí el comentari "psicopedagògic".

Tornant al problema, podem utilitzar per solucionar-lo un mètode analític o un mètode geomètric. En el primer cas cal calcular una integral definida i en els dos casos s'ha d'aproximar la solució per mètodes numèrics (per exemple, pel mètode de Newton). Com que d'altres ja l'han solucionat i explicat, us dono algunes referències d'on podeu trobar perfectament desenvolupat tot el procés.

Comencem per casa nostra, Javier Soria, professor de la facultat de matemàtiques de la Univ. de Barcelona, té penjada a la xarxa una bona explicació del mètode analític (feu clic a problema de la vaca). En aquest mateix document trobareu un enllaç a un pdf, amb la solució pels dos mètodes abans esmentats, elaborat  pels seus alumnes Álex García i Eduard Fugarolas (cliqueu els noms per accedir-hi directament). Per cert, el dibuix de l'entrada on vaig proposar el problema per primera vegada és del document del professor Soria, en el seu web però la vaca està més animada, i el gràfic del present article és del pdf que acabo de citar.

En la revista Lecturas Matemáticas de la Sociedad Colombiana de Matemáticas hi podreu llegir, també en pdf,  La oveja voraz y el campo circular de l'argentí Sebastián M. Marotta (amb un estil força amè, a voltes literari, i irònic).

I finalment, en anglès, la nord-americana i privada Drexel University en el seu Math Forum té un apartat especial on apareix, entre d'altres, aquest problema (Grazing Animals). Per cert si teniu alguna pregunta sobre matemàtiques, feu clic al següent enllaç de la Drexel i el Dr. Math us contestarà:

Llibre blanc de la recerca matemàtica a Catalunya

Fa tot just una setmana, el divendres 11 de juny, va tenir lloc la Tretzena Trobada de la Societat Catalana de Matemàtiques (SCM). Enguany es dedicava als "Joves matemàtics catalans al món". Si voleu fer un tastet del contingut de les quatre ponències que s'hi van desenvolupar, feu clic a Abstracts. Durant la Trobada també es va fer una breu presentació del Llibre blanc de la recerca matemàtica a Catalunya (2000-2009). De fet, la presentació oficial, suposo que amb tots els pesats i protocolaris ets i uts, s'havia fet el dia abans a la tarda (també a l'Institut d'Estudis Catalans, del qual és societat filial l'SCM). Com que en un dels comentaris a una entrada anterior (Maths Quiz 2000...), on parlava d'un concurs de matemàtiques organitzat i pensat des de Catalunya, se'm feia veure la poca divulgació que té la recerca matemàtica feta a casa nostra; m'ha semblat que calia donar-vos notícia d'aquest Llibre blanc.

En els annexos del Llibre, que com veieu es pot consultar en línia, hi podreu llegir, per exemple, dos Reports de la Recerca a Catalunya (un del 1990 al 1995 i un altre del 1996 al 2000). Un apartat també interessant és el 6. Articles sobre la recerca... on trobareu dotze resums sobre les dotze àrees de recerca matemàtica (Àlgebra, Anàlisi, Equacions en derivades parcials...). I si sou persones curioses, no deixeu de donar una ullada al punt 3. Formació on hi ha el llistat de les 233 tesis doctorals en l'àmbit de les matemàtiques que s'han defensat a Catalunya entre l'any 2000 i el 2009 (algunes es poden consultars directament en xarxa). Si no sou del ram, el llenguatge críptic dels títols us pot allunyar definitivament de la matèria. He triat per tant dos títols que m'han semblat curiosos per si voleu fullejar-ne tot el contingut digitalment:

• Homogeneïtat d'estil en el Tirant lo Blanc (2002) d'Alexandre Riba Civil
• Modelització matemática d'alguns aspectes de la Teoria de l'Evolució Darwinista (2002) presentada per Manel Sandón

No us en dono l'enllaç directament, però veureu que són fàcils de trobar i així, llegint en diagonal tot el llistat,  podeu tenir idea de la feinada que s'ha fet. Aprofito per comentar-vos que existeix un servei de consulta de Tesis Doctorals en Xarxa (TDX) que fa de repositori de tesis, de tot tipus d'estudi, defensades a les universitats catalanes i a d'altres de l'Estat. D'aquesta manera per consultar força tesis ja no ens veiem obligats a visitar les biblioteques universitàries (que ara fatalment s'han convertit en "estudiòmetres", però això és un altre tema).

The Simpsons i les matemàtiques

Un dels mèrits de la sèrie animada de televisió The Simpsons és els diferents "nivells de lectura" que permet,  amb contínues referències a temes polítics, socials, científics, artístics (hi ha escenes que són un remake de pel·lícules destacades de la història del cinema)... A l'espectador poc atent o amb poc bagatge cultural tot això li pot passar per alt i pot interpretar que es tracta només d'episodis on apareix una família de classe mitjana amb un pare i un fill maleducats i grollers (passarem per alt si a la vida real aquest tipus de personatge és estadísticament rellevant). Des dels seus inicis el 1989, els guionistes han intentat mantenir el bon nivell de la sèrie, però diríem que ja es comença a notar un cert esgotament creatiu. De totes maneres, manté una gran distància qualitativa amb les sèries japoneses de personatges plans amb ulls occidentals.

I és clar, no poden faltar les referències a les matemàtiques... Curiosament la que més he utilitzat en les meves classes, Multiplícate por cero (per explicar que el producte per zero sempre dóna zero, per molt que insisteixin els alumnes en "tres per zero igual a tres"), no és una frase original de la sèrie.  En l'original anglès en Bart Simpson diu Eat my shorts! i en els doblatges hispano-americans tradueixen bastant literalment (he llegit en algun lloc: Cómete mis calzones! o Cómete mis pantalonsillos!, però no ho he pogut confirmar veient els dibuixos). El  Multiplícate por cero és una aportació original, per tant, del doblatge espanyol. A part d'aquesta anecdòtica exclamació, a la xarxa trobareu documents sencers dedicats a analitzar frases i situacions matemàtiques de la sèrie; per exemple, simpsonsmath. Un  dels documents més interessants que he trobat és un article de Números (Revista didáctica de las Matemáticas) que publica la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas.

L'article en qüestió és de l'enginyer argentí Claudio Horacio Sánchez i es pot consultar en línia. Feu clic al títol: Los diez mejores momentos matemáticos de los Simpson.

Les Olimpíades Matemàtiques

Ja havia parlat d'aquestes proves a Sessions de preparació per a l'Olimpíada Matemàtica, però en aquella entrada es tractava bàsicament de presentar l'interessant llibre, editat per la Societat Catalana de Matemàtiques, que també es pot consultar en línia. Això d'anomenar Olimpíades a aquesta mena de proves respon suposo a la falta d'imaginació i a l'escàs rigor en el llenguatge. De fet, molta gent ja no distingeix entre "olimpíades" i "jocs olímpics" i, per a més escarni, aquestes trobades matemàtiques se celebren cada any. Passa el mateix que amb la paraula gimcana (de procedència anglesa i arrel indostànica) que ja s'aplica a tot tipus de proves.

La primera International Mathematical Olympiad (IMO) va tenir lloc, em pensaria que sense el nom en anglès, a Romania el 1959. Després la cosa es va animar i actualment n'hi ha de física, de química... i, fins i tot, de filosofia (vegeu International Science Olympiad a Wikipedia). Us dono un parell de enllaços per si voleu més informació:  Olimpiada Matemàtica Española (i si us plau, distingiu l'accentuació diferent en català i castellà: olimpíada i olimpiada, tot i que en castellà estan admeses les dues) i el web de l'organització internacional imo-official encapçalat pel logo...

que com podeu veure no té res d'extraordinari (encara que els topòlegs, que no topògrafs, li trobin una certa gràcia). Per cert, si detesteu els himnes us repto a que escolteu el de l'IMO (el trobareu fàcilment en imo-official a informació general). Hagués estat més assenyat portar al pentagrama els decimals del nombre Pi, cosa que ja han fet alguns amb més o menys gràcia.

I posem-nos seriosos: força mèrit deu tenir treure una bona puntuació a l'IMO, només cal donar una ullada a les llistes dels guardonats. Hi trobareu per exemple una medalla d'or per Grigori Perelman el 1982, sens dubte un dels més brillants, i excèntrics, matemàtics dels darrers temps o tres medalles consecutives, 1986-87-88, de l'australià Terence Tao. Però, no us desanimeu si hi voleu participar perquè ja en la preparació hi trobareu, si us agraden les matemàtiques, la recompensa.

Martin Gardner (1914-2010)

El títol us pot semblar una inscripció lapidària; però després de donar-li moltes voltes i jugar amb les paraules: divulgació, imaginació, jocs, matemàtiques recreatives, pseudociències..., he optat per la senzillesa. Vistos els títols d'alguns obituaris que la premsa ha dedicat a Martin Gardner, em sembla que no ho he fet tan malament. El diari El País titulava: "Martin Gardner, gurú de los juegos matemáticos" i continuava amb un apocalíptic "(...) un azote para la pseudociencia". La Vanguardia no ho feia pas millor obrint l'article amb un "Filósofo de la ciencia" que no dóna gaire més informació que dir que portava ulleres (que em perdonin els filòsofs) i que tampoc serveix de síntesi de la seva vida professional (no es va dedicar a la filosofia, tot i que en alguns dels seus escrits en parla).

Arribo tard amb aquesta entrada perquè el nord-americà Martin Gardner va morir el passat 22 de maig, com bé podreu llegir en nombrosos articles a la xarxa. En alguns també llegireu que era matemàtic i això no és cert: no havia cursat mai estudis reglats de matemàtiques, sí que ho havia fet de filosofia. Per als ansiosos desconeixedors de la seva obra que us esteu preguntant ¿de qui està parlant, aquest?, un parell d'entrades de wikipedia (m'agradaria que fos de Viquipèdia; però, a hores d'ara, l'entrada en català és d'una línia i mitja) i una fotografia:

Martin Gardner (en castellà)

Martin Gardner (en anglès)










Gardner va escriure, des de 1956 fins a 1981, la secció de Jocs Matemàtics de la seriosa (em podria estalviar l'adjectiu, però és per fer-vos veure que no s'assembla a Muy Interesante) revista de divulgació científica  Scientific American (des de 1976 té versió espanyola, Investigación y Ciencia). No us deixeu enganyar per l'encapçalament Jocs Matemàtics, perquè els seus articles tenien profunditat, estaven ben documentats i demostraven uns bons coneixements de matemàtica adquirits de manera autodidacta. Diferents editorials espanyoles han publicat l'obra de Gardner. Em permeto citar l'editorial menys coneguda: Gedisa que en la seva col·lecció Juegos (ens tornen a despistar amb el nom) ha editat Los mágicos números del Doctor Matrix (recull d'articles de Scientific American) o Juegos y enigmas de otros mundos (en aquest cas, un recull de les col·laboracions matemàtiques de Gardner a Isaac Asimov's Science Fiction Magazine). En tota la seva obra destaca la seva imaginació i creativitat per anar lligant el relat i les matemàtiques. Podria posar-ne algun exemple concret; però, o em dedico a copiar  íntegrament allò que va escriure Gardner o qui desconeix la seva obra en podria treure una idea equivocada.

En un altre vessant, Gardner va ser membre i col·laborador del CSICOP (Committee for the Scientific Investigation of Claims of the Paranormal); posteriorment batejat, de forma més abreujada, com CSI (Committee for Skeptical Inquiry). Aquest CSI, que no té res a veure amb la fantasiosa sèrie televisiva, té com a finalitat l'estudi científic de la pseudociència i dels anomenats fenòmens paranormals. N'han estat membres destacats Carl Sagan, Isaac Asimov o el prestidigitador James Randi. La publicació periódica del CSI és The Skeptical Inquirer (com que es pot consultar en línia, us aconsello que li doneu una ullada). Si voleu fer un tastet dels articles de Gardner per a The Skeptical Inquirer, sense dificultats idiomàtiques, la editorial DeBolsillo n'ha traduït un recull, que ja havia aparegut en anglès, en el llibre ¿Tenían ombligo Adán y Eva? Com un altre divulgador, John Allen Paulos (de qui ja hem parlat en L'analfabetisme matemàtic i les seves conseqüències), Gardner es dedica a desemmascar llibres i creences pseudocientífiques. Paulos ho fa d'una manera general, a favor de Gardner s'ha de dir que analitza fins l'últim detall i ho fa des del coneixement exhaustiu de l'obra d'aquells que critica.

Vull acabar parlant d'un dels llibres d'aquest autor que no he llegit i que m'agradaria fer-ho: The Annotated Alice (té traducció castellana, Alicia anotada: Alicia en el país de las maravillas. A través del espejo). Gardner hi analitza dues de les més emblemàtiques obres literàries de Lewis Carroll (pseudònim del matemàtic Charles Dogson) que, llegides amb deteniment, són alguna cosa més que contes infantils.