La lògica i el currículum (II)

Vaig començar a parlar de la absència  de continguts de lògica en el currículum educatiu de casa nostra en La lògica i el currículum (I). Mantinc el títol en aquest nou escrit, tot i que no penso insistir en l'il·lògic —mai millor dit— desplegament curricular que patim (ja parlaré d'altres mancances i incoherències en d'altres entrades); més aviat, comentaré alguna experiència anecdòtica a l'aula que, ja ho explicaré, té un rerefons teòric interessant.

Dels anomenats connectors lògics (i, o, no, si...), el que genera més confusions i errades és el si condicional. En algun llibre de divulgació matemàtica, sento no recordar quin, vaig llegir una adaptació de la següent qüestió, de moment en direm Problema de les quatre targetes, que vaig plantejar als alumnes d'una classe de batxillerat (dels que s'autoanomenen científics i tecnològics):

Problema de les quatre targetes
Tenim quatre targetes. Cadascuna té una lletra en una cara i un nombre a l'altra. Si ens mostren la disposició de targetes de la imatge que apareix a sota, quina o quines targetes hem de girar per comprovar la veracitat (cert o fals?) de l'enunciat condicional "Si en una targeta hi ha una vocal en una cara, hi ha un nombre parell en l'altra".

De fet, la disposició de les targetes i la pregunta que vaig proposar no era exactament aquesta, però el nivell d'abstracció i el fons de la qüestió plantejada era semblant. Si us plau, penseu la resposta abans de consultar la solució.

Solució del problema de les quatre targetes

(+/- Mostra/Oculta)

Hem de girar la targeta A per comprovar si darrera hi ha un nombre parell i també cal tombar el tres per veure si darrera hi ha, o no, una vocal. Tot i que quan es planteja l'experiència aïlladament, els alumnes són prou llestos per pensar que la pregunta "té trampa", la majoria opten per dir que s'ha de girar la A i el 2. Sembla que si es deixa obert el nombre de targetes que es poden girar, hi ha persones que responen alegrement que només cal girar la A. Em va resultar divertit i desesperant alhora que, després d'una detallada explicació, hi havia encara alumnes que s'havien equivocat i persistien en intentar demostrar que la seva resposta era la correcta.

La qüestió anterior és una de les possibles maneres de presentar la tasca de selecció de Wason. S'anomena així perquè va ser ideada pel psicòleg anglès Peter Cathcart Wason. La interpretació d'aquesta prova és objecte de controvèrsia: algunes hipòtesis sostenen que allò que queda en entredit no és el raonament lògic, sinó la mala interpretació de la pregunta que es fa. No vull esmenar la plana als brillants psicòlegs cognitius que proposen aquestes hipòtesis, però diria que uns rudiments de lògica teòrica ajudarien a no errar en problemes com aquest o, si més no, farien més fàcil explicar quina és la resposta correcta a aquells que s'equivoquen. Sigui com sigui, les respostes errónies de persones que en un futur es poden dedicar a dissenyar i interpretar experiments, ens haurien d'alertar.

Si voleu saber-ne més, podeu consultar en línia:

• Las cuatro tarjetas y el razonamiento humano de Miguel López Astorga. D'aquest breu document he tret la imatge de les targetes que apareix més amunt. Hi trobareu una explicació més detallada de la solució correcta i referència de les diferents interpretacions.

• Tarea de selección de Wason: Un estudio de las diferencias individuales de Ma Dolores Valiña García et al. Un estudi feixuc amb un aparell estadístic interessant perquè li donin una ullada els futurs estudiants de psicologia reticents als continguts matemàtics (d'aquells que es pensen que la psicologia és lògicament equivalent a les converses terapèutiques).

• Razonamiento deductivo (III). Razonamiento proposicional de Concepción Paredes Olay. Suposo que és una presentació que aquesta professora de psicologia passa a classe, però és un resum que conté informació interessant. En particular, la següent imatge (torta d'origen) , que he capturat d'aquest text, permet veure una versió abstracta i una versió concreta o contextualitzada de la tasca de selecció de Wason:

Evidentment, es tracta d'esbrinar quines targetes s'han de girar per verificar la proposició condicional. Com que els humans no pensem com els ordinadors, sembla que el context té a veure amb el percentatge de encerts.

Per acabar i com que fa dies que no surten gats en aquest bloc:

Demostració de l'existència d'un gat invisible
Material: només necessitem una cadira buida (si hi ha algun objecte damunt la cadira, el gat se sentiria incòmode)

Si hi hagués un gat invisible damunt de la cadira, jo no el veuria.
No veig res damunt de la cadira.
Per tant, damunt de la cadira,  s'hi està un gat invisible.

Notes:
1. Si disposem d'una altra cadira, podem demostrar l'existència d'un altre gat invisible. Si algú prefereix els unicorns roses, es pot modificar lleugerament el mètode de demostració.
2. No sé d'on vaig treure la demostració, no és meva. En tinc una versió escrita en castellà de fa uns quants anys que vaig afegir com a peu en un examen. Infructuosament, n'he cercat la procedència.
3. Quan l'enuncio a classe veig cares de sorpresa o persones que diuen indignades que els gats invisibles no existeixen. Ningú mai m'ha replicat fent-me notar l'errada en el raonament lògic.

Les matemàtiques en el cinema

Després de tornar-me a empassar la pel·lícula i cercant informació per redactar el segon article dedicat a A Beautiful Mind de Ron Howard (John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (II)), em vaig trobar —avantatges de navegar sense rumb— amb diferents escrits del professor Alfonso Jesús Población Sáez dedicats a analitzar la presència de les matemàtiques en els guions cinematogràfics. Ja vaig comentar que em semblava que la seva obra es mereixia una entrada i aquí la teniu.

Començo amb un llibre que encara no he llegit; però, els extractes i ressenyes que he consultat em permeten intuir que és interessant per a tots els aficionats a les matemàtiques (si feu clic a la imatge de la portada, en podeu veure una crítica i  també podeu donar una ullada a una ressenya de la RSME).

 Títol: Las matemáticas en el Cine
 Autor: Alfonso Jesús Población Sáez
 Editorial: Proyecto Sur de Ediciones
 Granada, 2006
 ISBN: 84 - 8254 - 367 - 9
 24 x 17 cm. 318 pàgines.
 




I com que un descobriment ens porta a un altre, em vaig assabentar que aquest mateix autor va publicar, en la revista MATerials MATemàtics de la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB), un excel·lent article d'una vintena de pàgines: Algunos momentos matemáticos del cine. Feu clic en l'enllaç anterior perquè no us podeu perdre l'estudi minuciós que hi fa d'algunes escenes cinematogràfiques relacionades amb les matemàtiques. Només la feinada que li ha portat aquesta anàlisi ja és digna d'elogi.

Ho he dit de passada, però deixeu-me insistir en aquesta revista electrònica de la UAB (així puc posar l'etiqueta Matemàtiques a Catalunya a l'entrada, que falta ens fa).

Aquest article és volgudament breu: em sembla que aquests darrers enllaços es mereixen més atenció que els comentaris que en pugui fer. Si us ve de gust, ja me'n direu alguna cosa.

John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (II)

Evidentment i aritmèticament, aquest escrit és la continuació de John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (I). Ja vaig comentar en aquell article que A Beautiful Mind no destaca pel seu contingut matemàtic, tampoc no aporta gaire cosa a la divulgació de les matemàtiques ni fa un bon retrat de la feina dels investigadors matemàtics —de fet, no és ni un bon retrat de Nash. Per entendre'ns, seria com si un film sobre el compositor Beethoven se centrés en l'evolució de la seva sordesa i que la música hi jugués un paper més que secundari. Vull deixar clar que no em carrego la pel·lícula com a història de ficció, sinó com a intent volgudament infructuós —per tal d'obtenir l'èxit comercial— de reflectir la vida d'un matemàtic real.

Les matemàtiques hi són pràcticament absents, però la seva simbologia gràfica —aparatosa, màgica i incomprensible per als llecs— acompanya moltes escenes. Les expressions i els símbols matemàtics omplen papers, vidres i pissarres.

El responsable d'aquest desplegament que ambienta les escenes, però hi fa un paper més aviat d'atrezzo, va ser el matemàtic nord-americà Dave Bayer que va fer d'assessor (Math consultant) de la pel·lícula. Bayer sembla que es va prendre seriosament la feina i va procurar que les expressions matemàtiques que anaven apareixent tinguessin sentit. El mateix Nash comenta, però, que alguns dels problemes que planteja el seu alter ego de ficció a classe, ell no els va proposar mai. Sembla que Bayer va haver d'omplir pissarres i vidres i que la seva mà és la mà de Nash en diverses escenes. Dave Bayer va estudiar al Swarthmore College i en un número del butlletí d'aquest college (juny de 2002) hi apareix un breu article de Dana Mackenzie dedicat a la seva col·laboració en la pel·lícula (si hi voleu accedir feu clic a Beautiful Math).

En castellà, podeu consultar Las matemáticas de "Una mente brillante", aquest va ser el títol en castellà més enllà de la Península, o una breu ressenya de les pàgines que el llibre "Las matemáticas en el Cine" d'Alfonso Jesús Población Sáez dedica a aquesta obra. Per cert, la cerca per la xarxa m'ha portat a descobrir les publicacions sobre cinema i matemàtiques de Población Sáez, professor de la Universidad de Valladolid, i us en parlaré properament.

La lògica i el currículum (I)

Com a introducció d'aquest article, em permeto començar amb una pregunta de la Prova Cangur de 2009 (si ignoreu de quin tipus de prova estic parlant, feu clic a Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen a la prova Cangur 2010):

Problema dels mentiders (Cangur 2009)
En una illa remota unes quantes persones sempre diuen la veritat i les altres persones menteixen sempre. 25 persones d’aquesta illa estan col·locades en fila íındia. La primera persona de la cua diu que totes les altres són mentideres. Totes les altres persones de la cua diuen que la persona que tenen al davant és mentidera. Quantes persones mentideres hi ha a la cua?

A) 0     B) 12     C) 13     D) 24     E) És impossible saber-ho

Podeu veure que és un test de resposta múltiple i en tenim cinc de possibles. Abans de continuar i si esteu delerosos de saber la resposta cliqueu al "Mostra" que apareix més avall (només ho hauríeu de fer si heu intentat solucionar el problema i després d'uns minuts de reflexió):

Solució del problema dels mentiders

(+/- Mostra/Oculta)

La resposta correcta és la c. Hi ha tretze persones mentideres. És evident que la primera persona no diu la veritat perquè tota la resta no poden ser mentiders: un mentider no pot dir d'un altre mentider que ho és. Per tant, si la primera menteix, la segona diu la veritat i van alternant mentiders amb persones que diuen la veritat.

La mera presència d'aquesta pregunta en un examen de matemàtiques pot sorprendre a la majoria dels estudiants de secundària i del batxillerat actuals que identifiquen aquesta assignatura amb l'aritmètica, l'àlgebra, la geometria, l'anàlisi i un polsim de probabilitat i estadística. Encara que quatre de les respostes proposades són numèriques, el problema no és d'aritmètica, sinó de lògica (a més, de la més clàssica i aristotèlica lògica binària).

Tradicionalment la lògica s'ha considerat un camp d'estudi de la filosofia i, fins fa poc, el seu ensenyament als nostres joves ha estat en mans dels professors de filosofia de batxillerat (sense batxillerat, no hi havia continguts reglats de lògica). Hores d'ara i seguint el temari de Filosofia i Ciutadania (m'estalvio comentaris polèmics sobre el nom) de 1r de Batxillerat, el professorat d'aquesta matèria es pot estaviar els continguts més elementals de lògica formal. Com que a més els han castigat amb només dues hores de classe setmanals, ja us podeu pensar en quin estat tenim el raonament lògic. És clar que alguns ciutadans em poden replicar que en tenim prou amb el "sentit comú". Com que aquesta no serà la única entrada dedicada a Lògica i Metodologia — no se m'ha acudit cap altra etiqueta per tractar de la lògica i de la metodologia matemàtica— els deixarem, momentàniament, fruir de la perillosa inòpia intel·lectual en la qual viuen.

La lògica, no cal dir-ho, fonamenta també el coneixement científic i matemàtic. D'això i d'algunes anècdotes significatives a les aules, en parlarem més endavant.

John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (I)

Segurament seria més adient i de més actualitat, parlar de l'innovador matemàtic Benoît Mandelbrot  (1924-2010) que va morir recentment i al qual dubto que se li dediqui cap biografia, escrita o filmada. Però deixarem els fractals, els conjunts de Julia — atenció, no estem parlant de roba de senyora—  i el conjunt de Mandelbrot per a una altra ocasió. Com que ja  fa dies que vaig publicar en aquest bloc un article sobre John F. Nash amb la idea que tingués continuació (John F. Nash: la biografia de Sylvia Nasar, doneu-li una ullada, si us plau, perquè m'estalviaré repeticions) i ja tenia el present escrit entre cella i cella, prefereixo deslliurar-me'n a cedir a l'impuls de parlar de fractals o coliflors.

En diverses classes de batxillerat, he fet la següent pregunta: algú sap qui és John Nash? En la meva època d'estudiant tampoc teníem gaire idea de res, però haguéssim contestat "un escriptor" al professor de Literatura o "un matemàtic", al de Matemàtiques. La reacció majoritària ha estat un gratificant silenci — cada vegada és més difícil d'aconseguir, i no només a les aules—, però alguns s'han atrevit a dir "un cantant" (no és el que m'esperava, però és veritat que hi ha un Johnny Nash, cantant pop ja granadet, i que un grupet espanyol també portava aquest nom). Hi havia més respostes si, a continuació , mostrava la caràtula de la pel·lícula A Beatiful Mind (2001) de Ron Howard.

No obtenia un clamor popular, perquè  les pel·lícules tenen una data de caducitat cada vegada més curta i molts joves no l'han vista; però uns quants, a l'identificar, l'expressiva o forçadament inexpressiva, cara de l'actor Russell Crowe, s'atrevien a relacionar Nash amb la pel·lícula que tractava d'un matemàtic que "estava boig". L'especificatiu "estava boig" ens hauria d'animar perquè indica que:

1. no tots els matemàtics estan bojos,
2. no a tots, se'ls nota la bogeria,
3. es tracta d'un estat temporal.

Anem al gra (en aquest cas, al film)! A Beautiful Mind es va traduir com Una mente maravillosa a Espanya i  com Una mente brillante, a Hispanoamèrica. No sé si va ser doblada al català, però a Viquipèdia en parlen com d'Una ment prodigiosa. Va guanyar quatre Oscar: millor pel·lícula, millor director, millor actriu secundària (Jennifer Connelly) i millor guió adaptat (Akiva Goldsman). Russell Crowe amb una histriònica actuació, d'aquestes que tant agraden a Hollywood, va ser nominat, però no va obtenir el premi al millor actor. En els crèdits finals se'ns anuncia que aquesta obra està basada en fets reals i en la biografia de Sylvia Nasar, però, suposo que amb l'objectiu d'aconseguir un èxit comercial, molts aspectes de la ficció difereixen de l'autèntica vida de Nash, per exemple:

1.  Nash se'ns mostra com un fidel monògam. En realitat, abans de casar-se amb Alicia Lardé, ja havia tingut un fill amb Eleanor Stier (pobrets, ni un ni l'altra surten al guió) i diverses relacions homosexuals (amb una detenció policial que li va crear problemes professionals). Tampoc apareix el divorci d'Alicia ni els aspectes menys simpàtics de les seves difícils relacions socials.
2. El Nash de veritat no ha patit mai les al·lucinacions visuals que apareixen en el film (perdoneu que us espatlli l'entreteniment si no l'heu vist) . El guió fílmic es basa en la mateixa trampa que Los otros (2001) de Alejandro Amenábar o The Sixth Sense (1999) de M. Night Shyamalan: els personatges que no són el que aparenten (no hi ha res més efectiu que un fantasma que no ho sembla ). Aquí se'ns desvetlla a mitja pel·lícula, i no al final, que alguns dels personatges, principals fins aleshores, són només producte de la ment malalta del nostre heroi i, més que de sorpresa, té l'aire d'enganyifa (si sou observadors, però, alguns detalls subtils ja ho anunciaven).
3. Nash tenia una autèntica obsessió per renunciar a la nacionalitat nord-americana i refugiar-se a Europa. Això el va portar a viure al nostre continent algunes temporades i a intentar, infructuosament, la renúncia a la seva nacionalitat. Aquest fet, penso que per poc patriòtic, no el veiem per enlloc.
4. No podem parlar massa de matemàtiques, perquè hi apareixen només de forma anecdòtica i estereotipada, però pensar que l'equilibri de Nash va néixer en el moment que unes quantes noies maques entren en un bar, només se li pot acudir a un guionista que no coneix cap matemàtic (i menys encara, jove i carregat d'hormones). L'anècdota, però, és bona i ben aconseguida i supera de molt la de Sir Isaac Newton i la caiguda de la poma, ¿també fantasiosa?. "L'estranya teoria" que sorgeix a l'hora de decidir una estratègia per lligar és l'únic contingut "matemàtic" que han recordat alguns alumnes meus que han vist l'obra de Howard. 

Sense ser una obra d'art, A Beautiful Mind no és una mala pel·lícula: la direcció és bona; el guió, original; els actors més que correctes (una menció especial per a Ed Harris que, com sempre, sense fer res domina la pantalla i per a Jennifer Connelly, més continguda i millor que Crowe); la música, interessant, etc. Però torna a ser la típica història americana on la voluntat i l'afany de superació vencen l'adversitat més gran i, en el cas de l'esquizofrènia que pateix el protagonista, dubto que l'actitud de resistència de Nash sigui la causa de l'atenuació dels símptomes. Més que la frase "basada en fets reals", hi escauria més el "lliurement basada en...". Si algú pensa que és una biografia acceptable de Nash, va errat.

Com que m'estic passant dels estàndards habituals d'extensió dels textos blocaires i voldria comentar alguna cosa més, us convido a un proper lliurament sobre A Beautiful Mind (the film). Penseu que, per exemple, encara no he parlat de l'assessor matemàtic que va intervenir en el rodatge i, quan són més habituals els assessors d'esgrima que els de matemàtiques, és un fet digne de menció.