L'Home de Vitruvi

Marc Vitruvi Pol·lió va ser un arquitecte i enginyer romà del segle I aC. Va escriure un tractat d'arquitectura (De Architectura Libri) que va ser reeditat a Roma cap el 1486 i més tard a d'altres ciutats, ara italianes, quan els renaixentistes es van interessar i inspirar en l'art clàssic de Grècia i Roma. Leonardo da Vinci va fer, cap el 1492, un famós i difós dibuix que es coneix com L'Home de Vitruvi. El dibuix es titula Estudi de les proporcions humanes segons Vitruvi.

Si en voleu veure una reproducció en metall, només cal que agafeu una moneda d'un euro encunyada a Itàlia.

Portem ja uns quants articles dedicats al nombre auri i ja hem parlat de la secció àuria en l'obra de Leonardo da Vinci (vegeu La Gioconda, enigmàtica?).  En el cas de la Gioconda, la presència volguda del nombre auri és més que dubtosa: aquesta setmana, quan en una classe de primer de batxillerat, mostrava una reproducció d'aquest quadre amb els suposats rectangles auris de la composició, més d'un alumne va notar que els rectangles s'havien dibuixat d'una manera totalment subjectiva i sense criteris rigorosos (podeu donar una ullada a El mite del nombre d'or). La defensa de la presència del nombre auri en aquest dibuix de Leonardo que ara ens ocupa, també és aferrissada. Per exemple, el matemàtic Manuel Sada, que té uns excel·lents videotutorials sobre el programa de geometria dinàmica GeoGebra, en dedica un a trobar la secció àuria en aquesta obra (vegeu-lo: El Hombre de Vitrubio).

Com el Quixot, una mica fart de "desfazer entuertos", l'autor d'aquest bloc, sense massa temps i aclaparat per la repetició de tesis sense fonaments, us proposa una recerca:

• En quin dels deu llibres del tractat de Vitruvi es parla de les proporcions anatòmiques?

• Un romà com Vitruvi és poc sospitós d'utilitzar els nombres irracionals en els seus cànons. Curiosament, si llegiu els articles de Viquipèdia en llengües diferents, veureu que en alguns parlen de la secció àuria i en d'altres, no:

         L'Home de Vitruvi (en català)

         El Hombre de Vitruvio (en castellà)

         Vitruvian Man (en anglès)

         L'Homme de Vitruve (en francès)

        En què quedem? Vitruvi parla del nombre auri o no?

• En l'obra de Vitruvi ja apareix la secció àuria? No apareix, però Leonardo la incorpora en el seu dibuix? Si és així, Leonardo és conscient que la incorpora o ho fa inconscientment al treballar amb un quadrat i una circumferència?

Us pot servir llegir un post del bloc Screen Circles (L'Homme de Vitruve).

Tot  i que els educadors (mestres, professors i afins) som els únics que ens dediquem a fer preguntes de les quals ja coneixem la resposta, us asseguro que, en aquest cas, no és així.

John F. Nash: la biografia de Sylvia Nasar

En general, els matemàtics més brillants no gaudeixen de gaire popularitat —per no dir gens— i, segurament, si demanéssim a la gent pel carrer que ens digués el nom d'alguns matemàtics destacats, la llista que obtindríem no contindria cap persona que no porti més de dos mil anys morta. El cas del matemàtic nord-americà John Forbes Nash Jr. (Bluefield, 1928) en podria ser una excepció (paradoxal, si voleu, perquè molta gent sap detalls de la seva vida, però són incapaços de recordar-ne el nom). La vida de John Nash és coneguda perquè:

• Va obtenir el premi Nobel d'Economia el 1994. De fet, Alfred Nobel no va crear cap premi d'economia ni de matemàtiques. L'anomenat Nobel d'Economia va ser atorgat per primera vegada el 1968 per iniciativa de l'Sveriges Riksbank (un banc suec, valgui la redundància de la traducció) i les matemàtiques no tenen cap premi Nobel específic (hi ha llegendes urbanes que n'expliquen els motius i que ja comentarem en una altra ocasió). Aquest Nobel d'Economia el va compartir amb l'hongarès, nacionalitzat nord-americà, John Harsanyi i l'alemany Reinhard Selten. Si no heu sentit parlar d'ells ni són tan coneguts, es deu, probablement, a que la seva biografia no presenta els detalls morbosos de la de John Nash. El premi els va ser atorgat per l'anàlisi pionera d'equilibris en la teoria de jocs no cooperatius. Si us penseu que aquesta teoria té a veure amb l'educació física, el món infantil o el pòquer on line, consulteu Teoria de Jocs. Cal dir que, segons els entesos, les aportacions més brillants de Nash s'han produït en d'altres camps de la matemàtica aliens a l'economia, però no han tingut tant ressò.

• La periodista i economista nord-americana Sylvia Nasar en va escriure una biografia que va assolir força èxit. Ho deixem aquí, de moment, perquè aquesta entrada va dedicada principalment a aquest llibre.

• I sobretot... perquè Ron Howard va portar la vida de Nash, o una cosa semblant, al cinema amb la pel·lícula A Beautiful Mind (2001) que va obtenir quatre Oscar. A Espanya, en castellà, el títol es va traduir com Una mente maravillosa. En el film, l'actor Russell Crowe fa de Nash, però ja ens esplaiarem amb l'obra de Howard en un altre escrit.

• I sobretot, sobretot.... perquè als tres punts anteriors, podem afegir que John Nash pateix d'esquizofrènia i ja sabem que la malaltia, sumada a la genialitat, augmenta la popularitat de qualsevol personatge. 

 La biografia que de Nash va fer Sylvia Nasar es va publicar originalment en anglès el 1998. El títol original és A Beautiful Mind amb el llarg afegitó A Biography of John Forbes Nash Jr., Winner of de Nobel Prize in Economics, 1994. Va ser un èxit de vendes i va rebre algun premi (National Book Critics Circle Award) en la modalitat de biografies. A Espanya, el va publicar l'editorial Mondadori amb el títol Una mente prodigiosa. El diari ABC  i la revista Fotogramas també en van fer una edició especial, dins de la col·lecció Libros de cine,  que es venia amb els seus exemplars juntament amb l'oscaritzada pel·lícula. En català ha estat publicat per l'editorial Columna amb el títol Una ment meravellosa.

La metodologia de Sylvia Nasar és exemplar: no he llegit cap altra biografia "de divulgació" que justifiqui amb tanta cura la narració.  Al final de cada capítol hi consten unes quantes pàgines de notes breus que especifiquen les fonts (documents, entrevistes, etc.) de cada detall que hi apareix. A més, la lectura del llibre no es veu entorpida per aquest fet perquè aquestes notes acostumen a ser una referència de les fonts d'informació i les podem obviar si volem fer una lectura més planera. Sylvia Nasar explica la vida i l'obra de Nash i no n'omet cap aspecte rellevant, ni personal ni professional. En aquest sentit. la pel·lícula de Howard només és un esboç fantasiós i desdibuixat. No és sorprenent que Nash estigui més molest amb el llibre que amb la pel·lícula: reconeix que Nasar ha recopilat molta informació, però diu que, en part, és falsa. I és possible que sigui així —els coneguts de Nash han explicat allò que recorden i això porta implícita la seva interpretació—; però que Nash no es reconegui sempre en el llibre, suposo que no està d'acord amb l'explicació dels  fets més íntims de la seva vida, no vol dir que estiguem davant d'un text poc fonamentat. La memòria humana és selectiva i reinterpreta els fets, a més Nash ha patit greus i llargs episodis on els símptomes de la seva malaltia s'han manifestat amb força. Nash es queixa que Nasar no li mostrés el llibre que havia escrit i l'escriptora es justifica dient que l'editor va voler agilitar-ne la publicació. Sigui com sigui, i encara que ens trobem davant d'una biografia desautoritzada, el llibre és del tot recomanable.

A MITWorld trobareu una conferència de Sylvia Nasar sobre aquesta biografia. Per accedir-hi, feu clic a:

 A Beautiful Mind: Genius, Madness, Reawakening (Dr. Sylvia Nasar; October 28, 2002)

La Gioconda, enigmàtica?

Aquest article continua la sèrie d'escrits que vam encetar amb El mite del nombre d'or. En tots ells tractem d'esbrinar si el nombre auri és tan present en la natura i en les activitats humanes com molts creuen o aquesta afirmació no té fonament científic. Avui li toca el torn a una de les obres, junt amb les "mutilades" Venus de Milo i Victòria de Samotràcia, que omplen el parisenc Museu del Louvre de turistes que veuen el món a través del visor o de la pantalleta de les seves càmeres i mòbils. Dan Brown ha tingut el dubtós honor d'afegir, a les tres populars obres de visita "ineludible" i fotografia "inexcusable",  la Piràmide, i la seva germaneta invertida, inaugurada pel president Miterrand el 1989.

La Gioconda o Mona Lisa és una de les obres més conegudes de l'artista florentí Leonardo da Vinci (1452-1519). Segurament és un  dels quadres que ha generat més "literatura", teories i comentaris (la majoria fantasiosos, truculents i sense base). S'ha dit que era un autoretrat del propi Leonardo, que l'obra oculta enigmàtics missatges... Aquí només ens ocuparem de dos dels comentaris més populars: la presència de la proporcionalitat àuria en el retrat i de si el somriure de la Gioconda és tan únic i enigmàtic com diuen. El segon assumpte no té res a veure amb les matemàtiques, però farts de sentir-ne parlar posarem punt final a l'entrada amb algunes preguntes al respecte (de vegades, les preguntes aclareixen més les coses que les afirmacions).

Quan es parla de la secció àuria en aquesta obra s'acostuma a acompanyar el text amb il·lustracions com la següent:

En aquest cas, l'autor almenys hi ha fet constar algunes longituds. En la majoria de casos però, es limiten a repetir que el rostre està enquadrat en un rectangle auri  —qui va ser el creador d'aquesta història?—  i que la resta de les faccions mostren també la divina proporció. Si ens fixem en el rectangle vermell de la imatge anterior, la hipòtesi àuria no s'aguanta per enlloc: per què els seus quatre vèrtexs s'han situat en aquests punts tan difícilment objectivables? Si els movem una mica, podem enquadrar la cara en un rectangle que ja no serà auri. L'única manera de defensar la hipòtesi seria demostrar que en els primers esboços, Leonardo es va dedicar a quadricular la taula per obtenir aquesta proporcionalitat o que el pintor coneixia i utilitzava Φ. Si algú en té alguna notícia i ens ho comunica, podrem matisar el notre escepticisme. Pensant en alguns comentaris previsibles, em permeto avançar que de l'Home de Vitruvi ja en parlarem en una altra ocasió.

Si passem al somriure, més aviat rictus,... no sé si cal començar pel somriure arcaic dels koúroi grecs. Ja tenim somriures enigmàtics, o no tan enigmàtics, en l'art grec (650 al 550 aC)! Per altra banda, tan enigmàtica és l'expressió de la Gioconda? En d'altres pintures del mateix Leonardo trobem expressions i cares semblants i se n'ha parlat molt menys:

Sant Joan Baptista
 (imatge extreta del web Gallery of Art)

La mare de Déu i l'infant amb Santa Anna
 (imatge extreta del web Gallery of Art)

Aquestes dues obres també es troben en el Louvre (si feu clic al damunt, podreu veure-les millor) i no han de suportar tantes aglomeracions al seu davant (posats a triar, els gustos són subjectius, m'agrada més La mare de Déu i l'infant amb Santa Anna que no pas La Gioconda). Els somriures s'assemblen i, fins i tot, ens podem preguntar: Santa Anna i la Gioconda no són la mateixa persona? Per cert, podreu trobar imatges d'altres obres de Leonardo, ¿amb el mateix somriure?, i de moltíssims pintors més en la magnífica i recomanable Web Gallery of Art d'on he tret aquestes dues darreres fotografies digitals.

Proporcions en l'art: racionals o irracionals?

En d'altres ocasions ja hem parlat de les dimensions i de les propocions, sobretot en relació al nombre auri, la secció àuria o com vulgueu anomenar al nombre Φ. No tractarem aquí d'una manera general el tema de les proporcions en l'art. Entre d'altres motius, perquè si consulteu algunes de les enciclopèdies més conegudes dedicades exclusivament a l'art, tot i que poden tenir un nombre considerable de volums, veureu com pràcticament no hi són presents qüestions com les proporcions, les mesures o les tècniques artístiques — com si el fet de parlar-ne, rebaixés el nivell "humanístic i espiritual" de les obres que hi consten. De fet, ja m'ha costat contrastar les quatre coses que explicarem aquí i cal dir que he trobat discrepàncies en algunes ocasions (és el cas, per exemple, del cànon de l'escultor grec Lisip, que comentarem més endavant, que tan aviat és de "vuit caps" com de "set caps i mig").

Comencem doncs per l'escultura de l'Àntiga Grècia. Per als amants de l'austera bellesa actual d'aquestes obres, hem de dir que la majoria d'elles estaven pintades total o parcialment: ¿de quin to rosa era la pell de la Venus de Milo? Sembla que els escultors grecs estaven molt interessats en la qüestió de la proporcionalitat anatòmica. Policlet (segle V aC) va escriure un tractat sobre aquest tema, però no se'n conserva cap còpia. Sí que es conserva una còpia, l'original en bronze no s'ha trobat, de l'escultura on posava a la pràctica el seu cànon estètic: el Dorífor (del grec δορυφόρος, doryforos, 'el que porta la llança'). Sembla que va ser realitzada entre el 450-440 aC. A través dels historiadors romans, ens ha arribat la notícia que el Dorífor o Cànon era utilitzat pels artistes aprenents i Plini deia de Policlet que era l'únic artista que havia incorporat tot l'art en una sola obra. El cànon de Policlet es coneix com de "set caps" perquè el cap del Dorífor és la setena part de la seva altura.

El segle IV aC, Lisip, un altre escultor grec, empetiteix els caps — s'ha dit que per donar més sensació de grandesa.El cànon de Lisip sembla ser de "vuit caps" (el cap és una vuitena part del cos) encara que no m'he entretingut a comprovar-ho i en alguna lloc es parla, com hem dit, de "set caps i mig". L'obra "canònica" de Lisip és l'Apoxiòmenos (cap el 330 aC) de la qual tampoc no en tenim l'original. Apoxiòmenos seria, traduït literalment al català, "aquell que es rasca": es tracta d'un atleta (pugilista?) que es treu les restes d'oli, els greco-romans s'untaven per fer esport, amb un aparell anomenat estrígil.

Evidentment els cànons eren més complexos i no feien referència nomes a la proporcionalitat del cap, sinó a la relació entre tots els punts importants de l'anatomia externa (veieu les il·lustracions del següent enllaç: Apoxiomenos). Sigui com sigui i tal com era d'esperar, aquest dos cànons i d'altres que es podrien citar i comentar són perfectament expressables en fraccions i han estat concebuts com a fraccions: no apareix cap irracional i, per tant, podem prescindir del nombre auri. En un enllaç que hem donat en un paràgraf anterior (cànon estètic) podeu llegir, per exemple, que la proporcionalitat que aplica l'italià Sandro Botticelli (1445-1510) en la seva coneguda pintura El naixement de Venus no té res a veure amb els irracionals.

¿I la Gioconda de Leonardo? Segons alguns d'enigmàtic somriure, plena de rectangles auris i portadora d'hermètics missatges... En parlarem en la propera entrada, però de moment aquí us la deixo (en blanc i negre i la cara feta un quadro):

Les arrels no europees de les matemàtiques

El llibre The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics de George Gheverghese Joseph va ser publicat, en l'anglès original, el 1991. L'autor va néixer a la ciutat índia de Kerala, però és va traslladar a Kènia amb la seva família de ben petit, més tard va rebre formació universitària en  l'anglesa ciutat de Leicester i va treballar a les universitats de Manchester i Toronto. A més, com comenta en el prefaci del llibre, entre els seus avantpassats hi ha cristians siris ortodoxos: aquesta herència i formació variada justifiquen, segons ell, la passió que l'impulsa a escriure aquesta obra que ara ens ocupa.

The Crest of the Peacock va ser publicat en castellà per Ediciones Pirámide, del grup Anaya, el 1996. Van respectar força el títol, el van traduir com La cresta del pavo real: Las matemáticas y sus raíces no europeas. L'estranya referència al  pavo real s'entèn perfectament quan es llegeix un text vèdic que apareix després de la dedicatòria en les pàgines inicials. Aquest text compara les matemàtiques amb la cresta d'aquest ocell.

El llibre ofereix una perspectiva alternativa a les històries de les matemàtiques que el autor anomena eurocèntriques. Amb les següents figures extretes del llibre, entendrem millor què vol dir "visions eurocèntriques" de la història de les matemàtiques:

Tant en una trajectòria com en l'altra, les matemàtiques neixen a l'Antiga Grècia. En la segona, ara la més habitual en molts textos, s'admeten les aportacions secundàries d'Egipte, de Mesopotàmia i dels àrabs. Cal aclarir que quan l'autor parla d'Europa o de la matemàtica europea no ho fa en un sentit estrictament geogràfic: així, per entendre'ns, els japonesos Goro Shimura (1930) i Yutaka Taniyama (1927-1958), autors del teorema que porta el seu nom (Teorema de Taniyama-Shimura), són matemàtics de tradició i mètode europeu.

La trajectòria que proposa George Gheverghese Joseph per a una de les etapes crucials és més rica i complexa:

El llibre, de 494 pàgines, és una joia, però no admet una lectura lineal i ràpida, comú en d'altres llibres de divulgació. És més una petita enciclopèdia amb capítols independents on es revisa la matemàtica de l'Amèrica precolombina, de l'antic Egipte i Babilònia, de l'Índia, de la Xina i del món àrab clàssic.

Que jo sàpiga no hi ha cap més obra d'aquest autor disponible en castellà. La Societat Catalana de Matemàtiques, però, va tenir el bon criteri de convidar-lo, el 2004, a la Setena Trobada Matemàtica que versava sobre Matemàtica: unitat i diversitat i vam poder assistir a una brillant ponència amb el títol de Medieval Kerala Calculus, its possible transmission to Europe and the Jesuit conduit (fent clic podreu veure els resums de les conferències d'aquesta Setena Trobada).