Recolzeu bé l'escala! Solució (1)

La majoria de les entrades d'aquest blog en les quals hi proposo un problema, ja incorporen la solució raonada –de vegades, oculta i a l'abast d'un clic–, de manera que els lectors impacients no han d'esperar  per comprovar-ne la resposta. Excepcionalment, quan la resolució es mereix un comentari detallat i té un alt "contingut matemàtic", cal dedicar-li tota una entrada, o més! Aquest és el cas del problema inclòs en l'entrada del passat 30 de juliol: Recolzeu bé l'escala!


Recordant l'enunciat

Encara sou a temps d'intentar resoldre el problema, però penseu que aquí en desvetllaré la solució i no s'hi val llegir l'article fins al final si voleu posar la vostra ment a prova.

Torno a inserir l'enunciat (els que vau llegir l'entrada anterior, perdoneu-me la repetició):

---

Tenim una escala de tres metres recolzada en una paret. En contacte amb el terra i la paret, tenim un cub d'un metre d'aresta que toca l'escala, tal com mostra la següent figura:

Un problema de recolzaments

Com ja heu pogut llegir, es tracta de calcular el punt de contacte de l'escala amb la paret i el punt de contacte amb el terra. És a dir, la longitud del segment OA i la longitud del segment OB.

---

Primers passos per a una solució analítica

El fet de voler obtenir uns resultats exactes, i no pas aproximats, ens condiciona el mètode a seguir. Un bon dibuix i una bona notació sempre ajuden. El primer que farem es situar tots els elements del problema en uns eixos cartesians (gràcies Monsieur Descartes per la vostra gran idea!):

Si situem el punt O en l'origen de coordenades, el punt A es pot indicar com (x, 0) i el punt B, com (0, y).
En el triangle "gran" (OAB) podem aplicar el Teorema de Pitàgores ja que és un triangle rectangle:

OA² + OB² = 3² que també podem escriure com x² + y² = 3² (1)

El triangle blau ((BQR) i el triangle vermell (APQ) són triangles semblants, per tant han de ser proporcionals (o, si voleu, podem dir que hi aplicarem ell Teorema de Tales). La base del blau mesura 1 i la seva altura és el segment BR, que mesura y – 1; la base del vermell és el segment AP que val x –1 i la seva altura és 1. Aplicant la raó de proporcionalitat tenim que:

( x –1)/1 = 1/(y – 1) que equival a l'equació ( x –1)·(y – 1) = 1 (2)

I ja tenim les dues equacions, (1) i (2), que ens permeten resoldre el problema:

Només ens resta solucionar el sistema d'equacions anterior que té un aspecte ben innocent!


I ara arriba el moment de posar deures!

En quan a la resolució, ho deixarem aquí (I will stop here, tal com va dir Andrew Wiles, ja l'he citat d'altres vegades en va!); no m'agradaria privar-vos del plaer d'avançar en aquest repte. Deures, per a qui en tingui ganes:

• Podeu solucionar el sistema? Arribareu a una equació completa de 4t grau (no cal que us escarrésseu per solucionar-la a mà, tenim mitjans informàtics que s'adapten a les "manies" dels matemàtics, allò de les solucions exactes)

• Hi ha algun plantejament que ens eviti el tràngol d'aquesta equació amb tots els coeficients diferents de zero? Només una pista: una equació biquadrada ens aportaria una certa comoditat.

•  Podem mirar-nos el problema des d'una òptica geomètrica? Els antics grecs, en lloc d'escriure les equacions, les haurien dibuixat.

  No patiu que, com que l'exercici s'ho val, en continuarem parlant en propers articles.


Plantejaments alternatius i un agraïment!

Lenok, una de les comentaristes habituals d'aquest bloc, ja ens va indicar en l'entrada anterior que, en el procés de resolució, havia arribat a una equació de 4t grau. Més tard, em va enviar el seu plantejament comentat a l'adreça iaramatematiques@gmail.com (si m'heu de fer arribar documents escrits a mà o amb editor d'equacions és la millor opció, els comentaris del blog no ens permeten subtileses en les notacions).

Lenok arriba a un sistema d'equacions semblant, però no idèntic, per raonaments de geometria clàssica (Teorema de Pitàgores i semblança de triangles) i també incorpora mètodes de càlcul vectorial en el seu escrit. El sistema que proposa és el següent:

Més que correcte, ni millor ni pitjor! En el meu plantejament em queda una segona equació "lletja", amb els uns restant, i el plantejament de Lenok té una primera equació "incòmoda" amb dues identitats notables.

Gràcies Lenok i felicitats per haver trobat les solucions! A més el teu document ens donarà joc en les properes entrades dedicades a aquest enunciat.

Per a la resta de lectors: a veure si fem bullir l'olla! Espero els vostres comentaris...
 

Recolzeu bé l'escala!

Si cada vegada és menys freqüent que t'assabentis dels acudits per la via boca-orella –deu ser pel predomini dels mitjans digitals o pel superàvit de monologuistes i graciosos professionals–, que et proposin oralment un problema o una qüestió matemàtica, encara és un fenomen més rar. Com que em dedico a la docència de les matemàtiques, i aquest és un vici difícil d'amagar, la probabilitat que em reptin amb algun problema o endevinalla d'aquesta matèria augmenta una mica; però, sovint, ja conec l'enunciat i la resposta. Aleshores, puc fer veure que me'l penso i l'encerto ràpidament, cosa que em permet mantenir la meva minsa reputació de saberut de ment àgil.

Quan la qüestió proposada –gràcies, Tere i Josep!– em ve de nou i, a més, resulta que és substanciosa, bé es mereix una entrada en el blog.  


Escales problemàtiques

Us podria presentar directament l'enunciat, però com que ens diuen que és imprescindible posar-ho tot en un context; i, si pot ser, en el context d'això que anomenen la vida quotidiana (vegeu-ne un exemple, de vida quotidiana), em faré pregar una mica. Us avanço que el nostre problema va d'una escala de mà. D'altres llengües distingeixen diferents tipus d'escala amb un sol mot (stairs, ladder... );  les pobres llengües romàniques hi tenen més dificultats i, fins i tot, cal que els intel·lectuals redactin precisos textos instructius per poder-les utilitzar: vegeu, per exemple,  les Instrucciones para subir una escalera  de Julio Cortázar (escric aquest text des de dalt de tot de l'escala, còmodament assegut en el replà, esperant que es publiquin les instruccions per tal de poder-ne baixar).

Des que Isaac Newton va inventar la gravetat, les escales, de qualsevol tipus, han esdevingut ginys perillosos i cal prendre curoses mesures de seguretat a l'hora d'utilitzar-les.

Mesures de seguretat laboral

En el món escolar, les escales repenjades en una paret són habituals en els problemes introductoris a la trigonometria i no poden faltar en qualsevol llistat d'exercicis de 2n cicle de l'ESO, tal com les escales no falten en les nostres cases (ja se sap que els mediterranis som baixets i amb abundosos deutes i no arribem a tot arreu).

Apa, calculeu l'angle α i l'alçada x! (Font)

Tot i les aparences formals, el problema que us proposaré no és, ni de lluny, tan trivial com aquest que apareix en la imatge anterior.


Uf, ara cerca-li un títol i classifica'l!

Sense entrar en controvèrsies nominalistes,  ja podem anar dient que el nom no fa la cosa! Per exemple, estic convençut que el problema de l'aniversari de la Cheryl no s'hagués difós tan ràpidament per la xarxa sense un títol identificatiu o amb un nom menys modern i exòtic (Cheryl).

De moment, el nostre repte està en pecat i sense batejar, i l'imperatiu Recolzeu bé l'escala! és un recurs fàcil que ja he utilitzar en d'altres ocasions (Problema: No us enfileu a la taula!).

Per la simplicitat del plantejament i el profund rerefons matemàtic que amaga, el Recolzeu bé l'escala! em recorda el problema de l'ovella en un prat circular (vegeu Ovelles, rigor i matemàtiques i L'ovella esgarriada... i retrobada). Així podríem dir que els dos problemes es poden resoldre per mètodes geomètrics, que entendre'ls no requereix grans coneixements de matemàtiques...


Recolzeu bé l'escala! L'enunciat

I després de donar algunes voltes, com els gossos abans d'estirar-se, anem al gra!

---

Tenim una escala de tres metres recolzada en una paret. En contacte amb el terra i la paret, tenim un cub d'un metre d'aresta que toca l'escala, tal com mostra la següent figura:

Un problema de recolzaments

Com ja heu pogut llegir, es tracta de calcular el punt de contacte de l'escala amb la paret i el punt de contacte amb el terra. És a dir, la longitud del segment OA i la longitud del segment OB.

---

Advertiments. ¿I la solució?

La qüestió es pot solucionar de forma aproximada, ja sigui utilitzant mètodes de dibuix tècnic o fent provatures amb programes com GeoGebra (o comprant una escala de tres metres i construint un cub d'un metre cúbic). Si voleu anar una mica més enllà, com bons matemàtics, cal trobar la solució exacta: això vol dir de manera analítica i amb radicals.

I com que aquesta solució (jo ja la tinc, però no sé si és única o la més elegant) bé val una nova entrada , no la donaré ara. Si us animeu a fer-me arribar els vostres dubtes, comentaris o solucions, seran benvinguts. Ho podeu fer via comentari en el blog o, com que és difícil d'implementar notació matemàtica en Blogger, també em podeu enviar qualsevol tipus de documents (de text, escanejats...) en el correu iaramatematiques@gmail.com. Si utilitzeu la mateixa notació per als punts clau que apareixen en el gràfic anterior, serà més fàcil compartir idees. Gràcies i poseu-vos a la fresca si el voleu solucionar!

Metaproblemes: Com que (no) ho saps, ho sé... (II). L'aniversari de la Cheryl

Aquesta entrada és la continuació de Metaproblemes: Com que (no) ho saps, ho sé... (I). Si no la vau llegir, us hi adreço per tal que pugueu consultar què és un metaproblema i en veieu un exemple (el problema L'edat de les tres filles).


Quan és l'aniversari de la Cheryl? La qüestió, el fenomen viral, la notícia...

Si esteu al dia de les notícies, aparegudes en la premsa o que es difonen pels mitjans digitals, que estan relacionades amb les matemàtiques, segur que coneixeu el problema que comentarem. El vaig descobrir a través de la premsa escrita quan ja era un fenomen viral que despertava controvèrsies en les anomenades xarxes socials. Si no el coneixeu i us hi voleu enfrontar, us recomano que en una primera lectura no cliqueu en els enllaços i aneu directament a l'enunciat (en anglès o en català) que donem més avall.

El problema que ens ocupa va ser proposat, com a qüestió número 24, en les proves SASMO (Singapore and Asian Schools Math Olympiad) del vuit d'abril d'enguany, en el nivell corresponent als estudiants de secundària de 14 a 16 anys (correspondria als nostres alumnes de 3r i 4t d'ESO). A hores d'ara, el web oficial de l'organització no és operatiu, però podeu accedir a la pàgina del Facebook de l'organització (aquí) o, com que és una prova que es desenvolupa en diferents països, podeu consultar alguna web local (per exemple, aquí teniu la de Malàisia).

Sembla que l'extensió viral del repte va començar per la publicació de la qüestió en el Facebook d'un conegut periodista de Singapur (aquí)

Per la xarxa i els mitjans han circulat majoritàriament fotografies maldestres de la pàgina de la prova que contenia la pregunta. Si en voleu una versió més llegívola de l'enunciat original (text i format) en la seva versió anglesa, només heu de llegir el text que conté la següent imatge (amplieu-la si cal):

La "viral" qüestió 24 de la SASMO 2015

L'enunciat no té cap títol, però el problema circula amb l'unànime nom de Cheryl's Birthday Problem o  en la seva traducció a d'altres llengües (el problema de l'aniversari de la Cheryl). Deixarem, però, les matemàtiques (o, més aviat, la lògica) per a més tard i, abans, m'agradaria comentar el tractament periodístic que li ha donat part de la nostra estimada premsa autòctona. La Vanguardia, com sempre, ens permet una crítica molt fàcil i la publicació digital de la notícia del 14 d'abril (¿Sabes la respuesta a esta prueba de matemáticas? Los alumnos de Singapur de entre 14 y 15 años sí) conté totes les errades d'interpretació que hem pogut llegir en la resta de publicacions. En transcric els dos primers paràgrafs:

Singapur siempre sale entre los primeros puestos del informe PISA. Un país minúsculo en el que los esfuerzos en la educación que dan a sus jóvenes parecen dar resultado. Los ranking internacionales insisten una y otra vez en el mismo resultado. Pero, ¿cuáles son las pruebas que afrontan para que podamos decir que, son realmente mejores, por ejemplo, en matemáticas?

Hace pocos días, una de las pruebas que pasan los alumnos singapurenses de entre 14 y 15 años se colgó en Internet. Y la prueba no ha tardado en hacerse viral. ¿Es tan sencilla, difícil o imposible como parece en un primer vistazo?

Però, ai las!, el diari Ara no ho fa gaire millor, el mateix dia amb, quasi el mateix títol (Saps resoldre aquest problema de lògica matemàtica? Els alumnes de 14 anys a Singapur, sí) –Déu meu, la telepatia és possible!– comencen amb:

Una vegada més, el 2014 Singapur va encapçalar l'últim rànquing de l'informe PISA, amb 562 punts en l'apartat de resolució de problemes. En aquest mateix àmbit, Catalunya quedava amb 493 punts, un per sota de la mitjana de l'OCDE (494), i 9 punts per sobre de la mitjana espanyola (484)

L'Ara, si més no, situa, més endavant, la pregunta en el seu context d'olimpíada matemàtica; La Vanguardia ho ven com una prova més general. Tots dos menteixen en el fet que els alumnes de Singapur, tots?, saben solucionar la pregunta. No he vist dades de quants alumnes la van arribar a resoldre! L'únic que sabem es que els hi van proposar la qüestió (com si jo proposés als meus alumnes que demostressin la darrera conjectura de Fermat). Per cert, en les nostres proves Cangur hi he trobat reptes igual de complicats, però sense tant rebombori mediàtic (vegeu, per exemple, Un problema de la Prova Cangur 2014: sumem!).

No penso remenar gaire les referències constants a l'informe Pisa que en els periòdics locals, sense solta ni volta, tornen a sortir arran d'aquesta notícia. Algun dia n'haurem de parlar d'aquest Programa que està sota el paraigua, ben pedagògic, de l'OCDE i de la mala interpretació que se'n fa. Només vull apuntar que, per molt que cantem el magnífic nivell en matemàtiques (si les Pisa realment el detecten) de Singapur, Corea del Sud o el Japó; jo no vull, per als nostres nois i noies, un sistema educatiu i unes pràctiques pedagògiques semblants a les d'aquests països.


Quan és l'aniversari de la Cheryl? El problema

Deixem, ara, el context i anem al problema. En l'article que he citat de l'Ara en feien la traducció al català:

---

L'Albert i el Bernard s'han fet amics de la Cheryl i volen saber quan és el seu aniversari. La Cheryl els dóna una llista de 10 possibles dates. El 15 de maig, el 16 de maig, el 19 de maig, el 17 de juny, el 18 de juny, el 14 de juliol, el 16 de juliol, el 14 d'agost, el 15 d'agost i el 17 d'agost. La Cheryl diu a l'Albert i el Bernard, separadament, el mes i el dia del seu aniversari, respectivament.

Albert: No sé quan és l'aniversari de la Cheryl, però sé que el Bernard tampoc ho sap.
.
Bernard: Primer no sabia quan era l'aniversari de la Cheryl, però ara sí.

Albert: Aleshores, jo també sé quan és l'aniversari de la Cheryl.

Així doncs, quan és l'aniversari de la Cheryl?

---

Com que he pogut comprovar, a través dels comentaris a la xarxa, que hi ha persones que no interpreten correctament l'enunciat i s'emboliquen; potser us ajudarà, substituir la primera frase de l'Albert (la que està subratllada) per No puc assegurar quan és l'Aniversari de la Cheryl, però tinc la seguretat que el Bernard tampoc ho sap. Ja sé que les dues frases són lògicament equivalents, però part de la dificultat de la resolució rau en la interpretació correcta d'aquesta afirmació de l'Albert.


Quan és l'aniversari de la Cheryl? La solució

Donarem la solució en dos passos "ocults" (heu de fer clic damunt +/- Mostra/Oculta per tal d'obrir cadascun dels passos) per tal que tots aquells que encara no us heu enfrontat amb el repte d'aquest enunciat ho pugueu fer sense interferències.

---

Solució a l'Aniversari de la Cheryl (1r pas) (+/- Mostra/Oculta)

El fet d'ordenar les dates possibles en una taula, ens facilitarà la feina:

Recordem que l'Albert només sap el mes de l'aniversari de la seva amiga i analitzem la seva primera frase:

 No sé quan és l'aniversari de la Cheryl, però sé que el Bernard tampoc ho sap.

Si l'Albert sabés que l'aniversari és el maig o el juny no podria fer aquesta afirmació perquè cap la possibilitat que l'aniversari sigui un 18 o un 19. Com que aquests nombres només apareixen una vegada a la taula, si la Cheryl li ha dit a en Bernard qualsevol dels dos, aquest ja sap el dia i el mes de l'aniversari Per tant, ja podem descartar totes les dates del maig i el juny.

En el debat que s'ha generat a la xarxa, moltes persones (en castellà, anglès, francès...) manifesten la seva dificultat a l'hora d'entendre que la primera frase de l'Albert descarti totes les dates dels dos mesos i no només el 18 i el 19. Si encara no ho heu copsat del tot, suposeu que l'Albert sap que l'aniversari és el maig o el juny. Com que no sap el dia però si coneix el llistat de dates possibles, no podria assegurar que en Bernard no sap la resposta. La clau de tot plegat està en pot "assegurar amb tota certesa" que és impossible que en Bernard la sàpiga...

Per als més tossuts que encara no ho veuen, dos consells: "Pareu-vos" a pensar i consulteu les dues entrades del blog (La lògica i el currículum (I) i La lògica i el currículum (II)). Cal dir, però, que el problema de l'Aniversari de la Cheryl, m'ha fet veure que els problemes amb la lògica no són exclusius dels habitants de les nostres contrades!.

---

Abans d'obrir el 2n pas, estaria bé que miréssiu de trobar la data tot solets!

---

Solució a l'Aniversari de la Cheryl (2n pas) (+/- Mostra/Oculta)

Ara només ens queden cinc dates possibles:

Necessitem la segona i la tercera frase per acabar de solucionar el problema::

Bernard: Primer no sabia quan era l'aniversari de la Cheryl, però ara sí.
Albert: Aleshores, jo també sé quan és l'aniversari de la Cheryl.

L'afirmació d'en Bernard descarta la possibilitat que l'aniversari sigui un dia 14 que apareix com a possibilitat tant al juliol com a l'agost.

Si l'aniversari fos a l'agost, l'Albert, que recordem que només coneix el mes, no podria saber si és el 15 o el 17. Però al juliol només ens queda una possibilitat, per tant l'aniversari és el 16 de juliol.

Aquí o aquí podeu consultar la "solució oficial".

---

Però això no és tot. Em sembla que des del problema de Monty Hall que no hi havia tanta gent entossudida en provar que la solució és una altra!

---

L'Aniversari de la Cheryl. Hi ha solucions alternatives? (+/- Mostra/Oculta)

Només com a petit exemple, si llegiu els comentaris dels lectors de Gaussianos a l'entrada Explicación del problema del cumpleaños de Cheryl, comprovareu que hi ha persones que intenten demostrar que la solució és el 17 de juny o el 17 d'agost. De fet, el fenomen ha estat tan general que l'organització que va proposar el problema, ha emès una rèplica per tal de rebatre la proposta de la solució alternativa del 17 d'agost (aquí)  i Jonathan Lim  se n'ha fet ressò (People are insisting Cheryl’s birthday is on 17 Aug, SASMO clarifies why it’s not) i hi ha afegit la següent imatge:
 

Sorry folks, her birthday is irrefutably on 16 Jul. That's what she said. (Font)

I és que amb la lògica i el sentit comú tothom s'hi atreveix! Si el problema hagués estat de geometria analítica o d'equacions diferencials, segur que ningú hauria presentat solucions alternatives amb tanta seguretat d'haver fet diana.

---

Per acabar, no està de més dir que el Cheryl's Birthday ja té la seva entrada a Wikipedia!

Nota: Tal com ja he comentat, el web de SASMO no estava operatiu mentre he anat redactant aquest text. Sembla que torna a estar disponible a http://mathsolympiads.org/.

John F. Nash (1928-2015)... i Louis Nirenberg

El passat 23 de maig, a l'edat de 86 anys i després de rebre el Premi Abel a Noruega, el matemàtic John Forbes Nash va morir en un accident de trànsit quan el taxi que el portava de retorn a casa va sortir de la carretera. En l'accident també va resultar morta la seva esposa Alicía.

Si en lloc d'un blog, això fos un diari, el retard en la publicació de la notícia seria imperdonable. Que les circumstàncies m'hagin impedit escriure aquesta entrada abans, m'ha permès, però, poder llegir els diferents tractaments periodístics que s'han donat a aquest fet luctuós i poder-los analitzar amb més perspectiva.


El tractament de la notícia

En el paràgraf anterior he escrit diferents tractaments, però no ha estat ben bé això. Suposo que com a conseqüència de la falta de coneixement i la manca d'imaginació, els mitjans més generalistes ens han regalat la seva cacofonia habitual i han coincidit en l'enfocament, i en les imprecisions. Podria fer una llista més extensa, però, per tal de fer-se'n una idea, n'hi haurà prou rellegint què en van dir, en les seves edicions digitals, l'Ara, l'Avui, El País, El Periódico i La Vanguardia (si cliqueu en el nom accedíreu als articles, però no cal que els llegiu tots, us avorrireu!).

Deixeu-me fer un petit resum de les coincidències periodístiques:

Són inevitables les referències al film A Beautiful Mind i al seu protagonista Russell Crowe –de fet, en aquest blog, hem dedicat dues entrades a aquesta pel·lícula de Ron Howard (I) i (II)–, però els periodistes n'abusen i, fins i tot, l'Ara i El País coincideixen en part del titular (espero que provocant vergonya aliena en els bons professors de les facultats de Periodisme): Mor en un accident John Nash, una ‘ment meravellosa’ i "Muere John Nash, una mente maravillosa".

Coincideixen també en l'atribució al finat d'un premi que no existeix, el Premi Nobel d'Economia. Accepto que hi ha un premi que popularment s'anomena així, però no hi ha Nobel d'Economia ni de Matemàtiques (vegeu Medalles Fields: ¿els premis Nobel de matemàtiques?).

Majoritàriament, es comenta la contribució de Nash a la Teoria de jocs i es negligeixen d'altres aportacions. I, és clar, no poden faltar les referències a la seva malaltia mental!

Algú aprofita per incidir en l'educació viària: Nash i la seva dona no portaven els cinturons de seguretat cordats. I els comentaris dels lectors del diaris digitals, com sempre, no tenen pèrdua (però aquí aplicaré aquella màxima de "dejad que los imbéciles lean lo que otros imbéciles escriben", us classificaré com a lectors intel·ligents i us estalviaré qualsevol referència a les frases que han deixat els trolls i d'altres bestioletes).


John Nash i Louis Nirenberg. Premi Abel 2015

Allò que caldria destacar és que John Nash, juntament amb Louis Nirenberg, han estat guardonats amb el Premi Abel 2015 per les seves contribucions en el camp de les equacions no lineals en derivades parcials i les seves aplicacions a l'anàlisi geomètrica (o, si ho voleu en anglès i tal com consta en l'assignació del Prem, "for striking and seminal contributions to the theory of nonlinear partial differential equations and its applications to geometric analysis"). Cal fer notar que el Premi Abel només es concedeix a matemàtics que han fet aportacions importants en el coneixement matemàtic (vegeu, si no coneixeu aquest premi, El Premi Abel: jove, poc conegut i ben plantat).

Nash (dret a l'esquerra) i Nirenberg (en cadira de rodes) rebent el Premi Abel 2015

(Font: The Abel Prize)

El físic Anxo Sánchez va escriure una bona entrada, aquest sí que és un article de divulgació rigorós que no us podeu perdre!: John Nash, premio Abel de matemáticas 2015.

Un altre article seriós sobre l'Abel d'enguany, és l'entrada del matemàtic Miguel Ángel Morales en Gaussianos (aquí) o també podeu anar a les fonts originals de The Abel Prize (The Abel Prizes Laureates 2015). En la part dedicada a Media, en el web de l'Abel Prize, hi podeu veure algunes fotografies interessants. La de més amunt n'és una i, per gust, n'inseriria alguna més, però no vull abusar d'això de saltar-me els copyrights.


I Louis Nirenberg, eclipsat!

Quasi tothom coneix a Stephen Hawking, però qui coneix a Roger Penrose? Passa sovint que, per motius que no tenen res a veure amb les matemàtiques o les ciències, hi ha personalitats que són més conegudes que d'altres. Si parlem de popularitat, la terna Galileu, Newton, Hawking guanyaria, per golejada, a Kepler, Leibniz, Penrose! Vull ser una mica més objectiu i acabar aquesta entrada dedicant algunes línies a Louis Nirenberg. Les seves aportacions a les matemàtiques són del mateix nivell que Nash i és un gran desconegut. Algú ja n'ha parlat millor que no pas puc fer-ho jo:  Louis Nirenberg, el genio eclipsado por 'Una mente maravillosa', això sí no ha pogut evitar el lloc comú de "una mente maravillosa" en el titular!

El perfil de Nirenberg com a treballador de les matemàtiques és l'oposat a Nash: afable, col·laborador i ha sabut treballar en equip. I això de les tipologies dels matemàtics dóna per a molt: els més visuals enfront dels analítics, els freds i els romàntics, els intuïtius i els de picar pedra... però, per avui, ho haurem de deixar aquí!

Metaproblemes: Com que (no) ho saps, ho sé... (I)

Definició problemàtica

Ja em perdonareu el garbuix del títol – com que (no) ho saps, ho sé–; però és la millor aproximació que se m'ha acudit per tal d'incloure alguns metaproblemes en les entrades d'aquest blog.

Podem trobar una bona definició de metaproblema en el Diccionario Filosófico de Mario Bunge (aquí trobareu una biografia més extensa de l'autor i, si voleu consultar una de les seves obres, feu clic a La ciencia. Su método y su filosofía):

La definició de metaproblema segons Mario Bunge

Ja veieu que la definició abasta un camp molt més ampli que no pas l'estrictament matemàtic. En el més conegut Diccionario de Filosofía de Josep Ferrater i Mora –per acabar-ho d'adobar i complicar-nos la introducció– el metaproblema no té entrada pròpia i comparteix la glòria amb els problemes, enigmes i misteris.

Com que el nom no fa la cosa, el gran divulgador de la lògica que és Raymond Smullyan es permet dedicar parts senceres dels seus llibres als metaproblemes sense intentar-ne una definició (consulteu, per exemple,  Problemas y metaproblemas, la segona part del seu recomanable llibre Satán, Cantor y el infinito).

I si passegeu per boscos virtuals, us podeu trobar articles sobre metaproblemes que s'allunyen força dels que comentarem en aquestes pàgines (a tall d'exemple, li podeu donar una ullada al breu article Meta-problems in Mathematics).


Un exemple prou conegut de metaproblema matemàtic... I la gran toca el piano!

No sé si intentar definir metaproblema és un metametaproblema; però, i això no és propi de la metodologia matemàtica a l'ús, trobo que amb un exemple em podré explicar millor. De fet, només vull parlar d'un tipus bastant concret de metaproblemes que estan a cavall de la lògica i les matemàtiques.

L'exemple que posaré forma part del folklore matemàtic, que diria John Allen Paulos, i que a la pràctica vol dir que, si et compres cinc llibres de divulgació, apareix en tres. Alguns atribueixen l'enunciat del problema a Albert Einstein; però, com que també se li atribueix la dislèxia, la síndrome d'Asperger, un trastorn obsessiu-compulsiu, una certa dificultat per a les matemàtiques i un gran quocient d'intel·ligència... no n'hem de fer massa cas.

N'he llegit múltiples versions: diria que la primera devia ser en un dels calendaris matemàtics de la valenciana  Societat d'Educació Matemàtica Al-Kwharizmi, però no n'estic segur. La majoria de les versions coincideixen des del punt de vista matemàtic; un possible enunciat seria el següent:

---

Problema: L'edat de les tres filles

“Dos amics estan parlant de les respectives famílies:

–Per cert, quants anys tenen cada una de les teves tres filles? –preguntà un dels dos–.

– El producte de les seves edats és 36, i la seva suma, casualment, coincideix amb el número de casa teva.

Després de reflexionar una estona, el que ha formulat la pregunta diu:

–No puc saber les seves edats.

– Tens raó –diu l’altre–. Havia oblidat dir-te que la meva filla gran toca el piano.

–Ara ja et puc dir les seves edats!

Quines edats tenen les tres filles?”

---

Si no coneixíeu aquest problema i el voleu intentar solucionar sense pistes, haureu  de posposar la lectura de la resta de l'entrada.

***

Fa poc vaig proposar aquest problema a l'alumnat d'una classe de segon de batxillerat, i la resposta més immediata d'alguns va ser "I què hi té a veure que la gran toqui el piano!" I tenien raó, per solucionar el problema, també ens serviria que ens diguessin que a la gran li agraden les magdalenes. La clau rau en el fet que, amb el el número de la casa, no es pot saber la solució...

I si us rendiu, us dono la resposta tot seguit!

---

Solució a l'Edat de les tres filles (+/- Mostra/Oculta)

Sabem que el producte de les edats és 36. Per trobar les diferents possibilitats, el millor és descompondre 36 en factors primers, incloent-hi l'1 (36 = 1·2·2·3·3), i anar-los combinant per obtenir les tres edats. D'aquesta manera obtenim vuit possibles respostes:

Totes les possibilitats que donen un producte igual a 36

És evident que, qui ha de resoldre l'enigma, coneix el número de casa seva. El fet que, amb aquesta dada, no sàpiga encara la resposta, descarta totes les possibilitats que donen una única suma diferent i podem saber que viu en el número 13. Resten els dos casos marcats amb un asterisc –(1, 6, 6) i (2, 2, 9)– i ja podem saber que l'amic té bessonetes. Quan se'ns diu que la gran toca el piano, podem desestimar la possibilitat de dues filles grans de la mateixa edat (1, 6, 6) i sabem que les edats són 2, 2 i 9!

D'aquest problema m'encanta el fet següent: si amb el número de casa seva, l'amic interpel·lat en tingués prou per saber la resposta, i no hi hagués la informació addicional de la filla pianista, nosaltres no podríem determinar les tres edats.

 

---

Si heu llegit la solució, espero que ara s'entengui el "Com que (no) ho saps, ho sé" del títol. En properes entrades comentaré d'altres problemes d'aquesta mateixa tipologia (n'hi ha un que fa poques setmanes ha provocat un cert rebombori a la xarxa!).