Medalles Fields: ¿els premis Nobel de matemàtiques?

Introducció amb reflexió personal: 'Oh dear! Oh dear! I shall be late!'

Si anés a escriure un assaig, m'estalviaria aquesta reflexió; però, com que qualsevol blog ha de tenir quelcom de quadern de bitàcola personal, no me'n puc estar de començar per aquí. Tinc la impressió, segurament objectivable, que ens falten hores (permeteu-me la primera persona del plural, perquè hi ha més afectats) i que vaig tard i malament.

Quan el 13 d'agost d'enguany, en la cerimònia d'apertura de l'International Congress of Mathematicians,es van anunciar els guardonats amb les medalles Fields del 2014, vaig pensar que era el moment de parlar-ne. Passen els dies i no trobo temps per posar-m'hi (us asseguro que la causa no n'és la procastinació); comença el curs escolar, i encara pitjor! Si aquesta sensació, pròpia del conill amb armilla i rellotge de butxaca d'Alice's Adventures in Wonderland ('Oh dear! Oh dear! I shall be late!'), es restringís a l'àmbit del blog, no em preocuparia massa  –de blogs erms, n'hi ha molts–, però com que la teranyina angoixant s'estén a d'altres àmbits... 'Oh my ears and whiskers, how late it's getting!', que diria el conill que van imaginar Lewis Carroll i John Tenniel.

The White Rabbit (il·lustració de John Tenniel)

 Vaja que jo volia parlar, amb promptitud, de les Fields i ja s'han atorgat els Ig Nobel!


Precedents en el blog. Premis i guardons

Acostumo a dubtar de les casualitats, i també de les causalitats; per tant, em costa interpretar el fet que les medalles Fields apareguin només d'una manera secundària en les entrades anteriors d'aquest blog:

• En Gaussianos: només matemàtiques, i com! donava l'enllaç a un article que comentava les Fields del 2010 per posar un exemple d'escrit del web Gaussianos.


• En Falsos prodigis, credulitat i mal ofici demanava una medalla Fields –ironia a part, o no– per al pallasso Luis Raluy. Ara afegeixo que, de no poder ser, també se la mereix la periodista que l'entrevista i signa l'article que hi cito.

M'hi he resistit llargament, però he acabat sucumbint, i ara en el blog hi ha una etiqueta o categoria intitulada Premis i Guardons ¡Que Grigori Perelman, ell que ha renunciat a premis i distincions, em perdoni! Dedico la categoria a tots aquells que, quan s'anuncien concursos i proves matemàtiques, pregunten ¿i què em donen si guanyo?, sense la més mínima intenció de participar-hi.


Premi Nobel d'economia? Premi Nobel de matemàtiques?

En el seu testament, Alfred Nobel (1833-1896) va deixar força diners –els havia obtingut en el molt lucratiu negoci de la producció d'explosius– per a la creació i manteniment dels premis que porten el seu nom. Proposava cinc premis: Física, Química, Medicina (i Fisiologia), Literatura i aquest que ara coneixem com Premi Nobel de la Pau. El 1968 es va instituir un "altre Premi Nobel", el d'Economia, que va ser atorgat per primera vegada el 1969. Per a mi –i per a d'altra gent, incloent-hi els descendents d'Alfred Nobel– , aquest darrer premi, que concedeix el Sveriges Riksbank (el Banc de Suècia), és un fals Nobel (si feu clic aquí, podeu comprovar que, oficialment, s'anomena The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel) que traeix l'esperit que es manifesta en el testament del químic Nobel. És ben curiós el fet que el Premi d'Economia hagi servit per recompensar algun matemàtic com, per exemple, John F. Nash (vegeu l'entrada John F. Nash: la biografia de Sylvia Nasar). Enguany, el Premi d'Economia ha recaigut en Jean Tirole, enginyer de formació, i han estat majoritaris els comentaris i articles periodístics que han parlat, amb la falta de precisió habitual, de Premi Nobel d'Economia.

No cal dir que, si hom repassa el llistat dels premiats de les diferents "disciplines Nobel" ens podem trobar, a banda de molts guardonats egregis, amb alguna sorpresa (per exemple, Winston Churchill va aconseguir el Nobel de Literatura el 1953) que, fins i tot, pot resultar una sorpresa indignant (la concessió a Henry Kissinger del Nobel de la Pau el 1973 és un dels casos més flagrants).

Hi ha qui s'estranya del fet que no hi hagi Premi Nobel de matemàtiques i, clar, les "ments racionals" han de cercar-hi explicacions, algunes classificables en el rang de la fantasia històrica:

• Una justificació recurrent és que, com la senyora Nobel enganyava al seu marit i tenia un amant matemàtic, Magnus Gösta Mittag-Leffler, el pobre Alfred es va venjar negant a les Ciències Exactes un premi específic. Aquesta història té un caire morbós i atraient! La llàstima és que Nobel no es va casar mai! Una altra versió, sense tragèdia sentimental, consisteix en enemistar en Gösta i l'Alfred per motius menys personals, però tampoc té massa credibilitat. No us vull cansar amb enllaços i fonts prolixes, però si voleu seguir el fil per desacreditar aquesta historieta, trobareu pistes a Why Isn't There a Nobel Prize in Mathematics? En castellà, podeu consultar ¿Por què no se concede el Premio Nobel en Matemáticas? en la revista Números.


• L'explicació que més agrada a aquells que pateixen fòbia per les matemàtiques –parlo de "patir" perquè aquest rebuig és detectable per neuroimatge–, assegura que Nobel va pensar en premiar només activitats i descobriments útils per a la humanitat i, com que la matemàtica es caracteritza per la seva inutilitat... No crec que el científic Nobel, compartís aquest criteri, però com que tampoc hi ha premi en d'altres ciències, és possible que no considerés les matemàtiques al redactar el seu llistat de guardons.


• Una tercera opció que he llegit –sembla plausible, però no l'he pogut acabar de contrastar– afirma que en l'època de la creació dels Nobel ja existia algun premi important de matemàtiques (el Premi Escandinau de Matemàtiques?) i que no tenia sentit establir un altre premi semblant.

Sigui com sigui,que els mitjans insisteixin en presentar les Medalles Fields com els Nobel de matemàtiques no té cap més justificació que "fer entenedora i senzilla la notícia" per als que, els redactors i periodistes, deuen suposar persones ignorants i dures d'enteniment. De vegades, ho endolceixen dient "les medalles Fields considerades el premi Nobel de Matemàtiques". Però són ells, els comunicadors i no els matemàtics, que fan aquesta consideració!


Les Medalles Fields

A diferència dels Nobel, que es concedeixen cada any i tenen una dotació econòmica important, les Medalles Fields s'atorguen cada quatre anys i no resulten tan esplèndides. Són dels guardons que tenen més prestigi en el món de les matemàtiques, però hi ha d'altres premis importants. Deixeu-me dir-vos que aquell que té més semblança amb els Nobel (geogràficament, monetàriament, etc.) és el Premi Abel.

John Charles Fields (1863-1932) va ser un matemàtic canadenc que, procedint de manera semblant a la d'Alfred Nobel, va idear i va dotar econòmicament uns premis a l'excel·lència en matemàtiques. Els primers guardonats ho van ser el 1936. A l'inici eren dues les persones premiades i, més tard, van ser quatre, com a màxim. Una de les particularitats que sovint se citen de les Medalles és el fet que els premiats han de tenir menys de quaranta anys. I la limitació d'edat es guarda de manera escrupolosa! Un dels matemàtics actuals més il·lustres, Andrew Wiles, no va poder rebre la Medalla Fields, però si una placa de plata "de consolació", perquè va demostrar la Conjectura de Fermat amb més de 40 anys: va néixer el 1953 i va demostrar el Teorema el 1994 (la demostració definitiva va ser publicada el 1995). Aquest límit d'edat tan estricte no estava en el projecte original de Fields, tot i que la seva intenció sembla que era premiar els joves talents i incentivar la seva feina.

Anvers de la Medalla Fields (Font: Fields Institute)

Com que tinc el projecte de continuar dedicant la següent entrada a les Fields (amb alguna precisió més i una atenció especial als guardonats d'aquesta edició) i aquest text es va allargant i espessint, us deixo amb alguns enllaços per si voleu contrastar o aprofundir:

• The Fields Medal en el web del Fields Institute de Toronto. Podem dir que és una de les fonts "oficials".


• Historia de las medallas Fields en la pàgina del professor Enrique R. Aznar de la Universidad de Granada.


• ¿Premios Nobel? ¡¡No!! Medallas Fields. Un poquito de historia en el web El Paraíso de las Matemáticas.

Revers de la Medalla Fields (Font: Fields Institute)

Problema

Els problemes que proposo en aquest espai són, majoritàriament, de matemàtiques. En aquesta ocasió dedico una pregunta a les també rara avis que saben llatí (si feu clic en les imatges anteriors, veureu millor quins texts estan gravats en les dues cares de la daurada medalla):

En l'anvers de la Medalla Fields hi figura la inscripció: Transire suum pectus mundoque potiri.

En el revers, s'hi pot llegir: Congregati ex toto orbe mathematici ob scrita insignia tribuere.

En podeu fer la traducció? A l'antiga, és clar, amb el diccionari! I deixeu en pau, per un dia, els cercadors!

El retorn dels "Desafíos matemáticos"

El retorn

L'any 2011, per tal de commemorar el centenari de la Real Sociedad Matemática Española (RSME), el diari El País va endegar la publicació d'una sèrie de problemes matemàtics, amb l'acompanyament d'un vídeo i periodicitat setmanal, que van batejar amb el nom de Desafíos matemàticos. Des d'aquest blog en vam parlar un parell de vegades: podeu comprovar-ho llegint  Els desafiaments matemàtics d'El País. Comencem pels grafs i Els diaris i les matemàtiques per passar la tarda (II). Aquesta iniciativa semblava que no tindria continuïtat, però els Nadals de 2012 i 2013 ens van proposar sengles Desafíos extraordinarios (no vaig estar massa al cas i només vaig citar el del 2012 en L'hem feta grossa! L'anumerisme en probabilitat). Podeu consultar tots els reptes apareguts des del 2011, i les solucions corresponents, clicant a

Desafíos matemáticos

Números a la parrilla

Aquest mes d'agost els Desafíos han tornat: aquí podeu veure el primer desafiament i informar-vos de com participar en el sorteig d'un lot de llibres si us engresqueu a enviar la solució d'algun dels problemes proposats. L'enunciat que va inaugurar la nova sèrie de Desafíos, aquest Números a la parrilla proposat pel professor Adolfo Quirós, és alliçonador perquè per solucionar-lo cal utilitzar metodologia d'ús bastant comú per a problemes semblants. Com que sovint vaig tard, la resposta ja ha estat publicada (Una solució a la parrilla) i el premi, adjudicat. Deixeu-me apuntar que algun comentari de l'edició digital del diari ens hauria de sorprendre:

  No me enterado de nada. Ni entendí el objetivo ni las reglas del juego, ni entiendo la solución ahora. Haced ejercicios no más fáciles de resolver sino de entender. Más inteligible a los no matemáticos, así podremos participar el resto de la población. Saludos

No sé si el comentarista és un troll o un d'aquests defensors igualataris de la mediocritat i de la ignorància característics d'aquest trist país; però, per desmentir-lo i com a nota optimista, us remeto a la solució del problema explicada per tres nens (amb l'ajuda del papa i de l'Scracht, és clar!):

  

I els desafiaments continuen!

A hores d'ara, ja s'acosta el tancament del plaç per a respondre el segon problema (El desafío de Dido de Tiro) del qual m'agrada la prohibició de l'ús del càlcul diferencial (és per allò de no matar mosques a canonades).

Encara que no us animeu a participar en el concurs, us recomano que, quan pugueu, doneu una ullada als enunciats dels Desafíos i, si us costen d'entendre o heu d'anar a parar a la solució perquè no us en sortiu, tant de bo!

Per a aquells que vulgueu treure més suc dels problemes (ja sabeu, generalització i abstracció), us podeu donar una volta per Gaussianos on trobareu comentaristes que espremen els enunciats, veieu a tall d'exemple:

• Números a la parrilla 

• El desafío de Dido de Tiro

María J. Wonenburger Planells (1927-2014)

La invisibilitat, tornem-hi!

En una de les primeres entrades d'aquest blog, Qui és el personatge del quadre? La invisibilitat dels matemàtics, ja parlava de la poca presència, social i en els mitjans de comunicació, dels científics i matemàtics. De fet, aquest article del 2010 era un breu exercici de classe que vaig realitzar en un curs d'iniciació als blogs i ja m'hi perdonareu la brevetat maldestra. No em desdic de la forma —els enigmes i els problemes em continuen despertant l'interès— ni del fons — em continua indignant la invisibilitat de moltes persones; no només dels científics i matemàtics, és clar.

Quan una persona és dona, neix a Galícia (o en qualsevol lloc "de provincias") i es vol dedicar a la investigació matemàtica en ple franquisme, està agafant una opció que vindrà acompanyada de dificultats i incomprensions, en el millor dels casos. Allò que és força sorprenent és que, en ple segle XXI, un s'hagi d'assabentar de la mort d'una de les matemàtiques més importants d'aquesta trista península a través d'un butlletí matemàtic que només té difusió entre gent de l'ofici. Gràcies a l'ABEAMNews, publicació periòdica digital de l'associació ABEAM, del 18 de juny d'enguany vaig poder conèixer la mort de María Josefa Wonenburger (cal dir que part de l'informació que citaré ve d'enllaços que figuren en aquest butlletí ABEAMNews num367). Sóc, en bona part, culpable de la meva ignorància: si en lloc de consultar la premsa nostrada (un diari d'àmplia difusió que, des del canvi de director, s'assembla molt a l'Hola,  un altre "tebeo" que ja regala revistes del cor, etc.) hagués fullejat El País, sempre amatent a la informació del món de la ciència, m'hauria estalviat la desinformació.


María Wonenburger, gran dama de las Ciencias Exactas
La primera española en obtener una beca Fulbright tuvo que repetir el doctorado que había obtenido en Yale a su regreso a España

Els titulars dels diaris sempre han de tenir un punt d'artifici i de voler cridar l'atenció, però el titular d'El País, fins i tot amb l'anacrònic "gran dama de las Ciencias Exactas", em sembla assenyat i digne (podeu consultar l'article sencer aquí). L'afirmació dubtosa de "repetir el doctorat" —els doctorats s'atorguen i s'obtenen, no es repeteixen, i en realitat en va aconseguir més d'un— queda explicat en el cos de l'article.

Em limitaré a fer algunes pinzellades de la biografia de la "gran dama". María Josefa Wonenburger Planells va néixer a Montrove (Oleiros, A Coruña) el 1927. El seu primer cognom és herència d'un rebesavi alsacià i el Planells ve de la línia materna valenciana. Que la seva família no responia als estàndards de l'època ho reflecteix molt bé el fet que el seu pare no volia que es dediqués a les matemàtiques, però perquè hauria preferit una filla enginyera!

María J. Wonenburger (fotografia del 2008 que acompanya un article del diari La Opinión)

Wonenburger obté el títol de Llicenciada en matemàtiques per la Universidad Central de Madrid el 1950. El 1953 se li concedeix una beca Fulbright que li permet traslladar-se als Estats Units i aconseguir, el 1957, el doctorat per la Yale University. El títol de Yale no se li va reconèixer a Espanya, segurament per qüestions administratives, i cursa un altre doctorat a la península. La seva segona tesi doctoral es publica el 1960; però, pel que he pogut esbrinar, aquest segon doctorat mai va tenir efectes oficials. La biografia més completa que he consultat, us la recomano, així ho expressa (vegeu María Josefa Wonenburger Planells. Mujer y matemática en La Gaceta de la RSME Vol. 9.2 (2006)).

Wonenburger va centrar les seves investigacions en el camp de l'àlgebra (àlgebres de Clifford, de Kac-Moody i de Lie) i va desenvolupar el gruix de la seva activitat matemàtica al Canadà i als Estats Units. Va treballar sis anys al Canadà, però la seva etapa més fructífera va tenir lloc a Indiana (del 1967 al 1983). El 1983 torna definitivament a Espanya, es fa càrrec de la seva mare malalta i pràcticament abandona la recerca matemàtica.


La descendència matemàtica de María J. Wonenburger

És complicat avaluar la qualitat d'un investigador: que si publicacions, que si citacions... En el cas de la nostra gran dama, n'hi ha prou amb comprovar les tesis que va dirigir i el currículum posterior dels seus deixebles. A la Xarxa podeu consultar una iniciativa interessant, Mathematics Genealogy Project, que presenta "arbres genealògics" dels matemàtics: els fills són els doctorands dirigits;  els néts, els doctorands que han dirigit els fills, etc. Consulteu-hi la genealogia de María (aquí)!

Alguns dels membres de la  família matemàtica de Wonenburger
(podeu consultar els noms si accediu a la font)

La fotografia anterior em va cridar molt l'atenció quan vaig descobrir l'existència de Wonenburger, tot preparant una entrada sobre el matemàtic Puig i Adam (Puig i Adam: les matemàtiques i la seva didàctica). Tot i que no vingués a tomb, no me'n vaig poder estar de citar-la. A diferència del seu contemporani Sunyer i Balaguer,  amb qui coincideix en el poc reconeixement dels seus conciutadans, Wonenburger va tenir força deixebles. Una anàlisi superficial ho atribuiria a la discapacitat de Sunyer i Balaguer, però la diferència fonamental està en el fet que María va fer estudis reglats i va tenir la sort de poder sortir del país (m'estalvio els paral·lelismes amb l'actualitat). De fet, Sunyer i Balaguer va rebre peticions d'estudiants indis per tal de dirigir les seves tesis, però el "Ministerio" de torn no hi va posar cap facilitat.


A mode de conclusió

María Josefa Wonenburger va morir el passat 14 de juny. El reconeixement a la seva tasca i els homenatges (que aquí solen anunciar la mort de l'homenatjat) van arribar tard i van quedar bastant circumscrits a la seva Galícia natal. Sóc bastant refractari a les frases solemnes, i sovint buides, que inclouen la paraula felicitat, però Wonenburger en repetia una que, tot i que no sé si volia ser una descripció del seu caràcter o una declaració d'intencions, podria ser un epitafi intel·ligent: "Tengo tendencia a ser feliz".



També podeu consultar:

Fallecimiento de la Profesora María J. Wonenburger Planells. Article de la Real Sociedad Matemática Española

María Josefa  Wonenburger Planells. Unha figura mundial das matemáticas. En el portal culturagalega.org

María Wonenburger, menuda gigante. El País (31 de juliol de 2011)

María Josefa Wonenburger Planells, na creación de coñecemento. Recull de les intervencions de la jornada que li va dedicar el Consello da Cultura Galega el 28 d'octubre de 2010

 

Un problema de la Prova Cangur 2014: sumem!

Quan vaig redactar una de les darreres entrades (Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi), ja tenia al cap convidar-vos a solucionar algun dels problemes de l'edició del Cangur d'enguany. Si no ho he fet fins ara, ha estat perquè en el web de l'organització de la fase catalana, www.cangur.org, on ja fa dies que es poden consultar les solucions i les puntuacions dels concursants, encara es pot llegir: Els enunciats del Cangur 2014 no es poden publicar a la web fins el dia 25 d'abril. Suposo que aquest secretisme respon al fet, però no ho sé del cert , que els enunciats dels problemes s'utilitzen en les edicions d'altres països. Tot plegat és una mica absurd ja que, des del dia 20 de març en el qual es va celebrar la Prova en més d'un territori, els concursants han pogut fer públics els enunciats per la via que els hi hagi semblat més adient. Suposo que no cometo cap indiscreció si aquí us presento un problema del darrer Cangur. Estem a 4 de maig i els enunciats encara no s'han publicat en el web!

Ah, perdoneu! els que no enteneu de quina prova estic parlant (per cert, corre la llegenda urbana —jo me l'havia cregut— que Kangaroo vol dir "no t'entenc" en alguna llengua australiana i n'acabo de trobar més d'un desmentit, aquí per exemple), podeu llegir, si us abelleix, un dels primers escrits que va aparèixer en aquest blog: Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen en la Prova Cangur 2010. A propòsit dels 18.000, és curiós que, en aquesta era de la informació, la voluntariosa i eficient comissió organitzadora no hagi comunicat el nombre exacte de participants.


El problema triat

A casa nostra, el Cangur s'estructura en quatre nivells i en cadascun dels nivells hi ha 30 problemes. Disposo de 120 enunciats, la majoria molt ben pensats, per triar a quin li dedico l'entrada. Les preguntes més senzilles, valorades amb tres punts cadascuna, no acostumen a donar prou joc si les presentem per separat. Podríeu pensar que les qüestions més interessants estan en les preguntes de cinc punts del quadernet del 4t nivell (2n de Batxillerat)... A mi, en canvi em va semblar magnífic el darrer problema del 1r nivell (3r d'ESO).

---

Pregunta 30. Nivell 1 (Cangur 2014)

Les lletres de la paraula CANGUR tenen assignat un valor numèric cada una. Sabem que

\(\dfrac { 19 }{ C+1 } +\dfrac { 38 }{ A+2 } +\dfrac { 57 }{ N+3 } +\dfrac { 76 }{ G+4 } +\dfrac { 95 }{ U+5 } +\dfrac { 114 }{ R+6 } =2014\)

Digueu quin és el valor de la suma

\(\dfrac { C }{ C+1 } +\dfrac { A }{ A+2 } +\dfrac { N }{ N+3 } +\dfrac { G }{ G+4 } +\dfrac { U }{ U+5 } +\dfrac { R }{ R+6 }\) 

---

Aquesta pregunta té dificultat suficient per posar a prova, també, els alumnes de nivells superiors del Cangur. De fet, la vaig proposar a alguns alumnes de 2n de Batxillerat i vaig constatar, amb una relativa sorpresa, que alguns encertaven la resposta correcta pel mètode de descartar les altres, però sense trobar les operacions que hi portaven. Per aquest motiu no he deixat a la vista les cinc respostes possibles (la Prova té un format tipus test). És més interessant solucionar la qüestió sense conèixer les respostes que s'oferien; però, si teniu una vena més empírica o intuïtiva les podeu consultar tot seguit:

Respostes possibles (+/- Mostra/Oculta)

Des del curs passat, l'ordre amb el qual es presenten les possibles respostes varia d'un quadern a un altre per dificultar que els participants es passin els resultats. Cal dir que, almenys pel que jo he anat veient aquests anys, la conducta i la responsabilitat dels alumnes és exemplar i defugen "fer trampes". Us dono les respostes en l'ordre que figuren en el quadern que tinc al davant:

A) -100
B) -2013
C) 106
D) 1908
E) 100
  

Com a darrera pista, abans de desvetllar la solució, no caldria dir que allò que ens demanen és el valor de la suma i no pas que trobem els valors de cadascuna de les lletres!

I si no us en sortiu, feu clic per tal de mostrar la solució...

---

Solució (+/- Mostra/Oculta)

Hi ha diverses maneres de determinar el valor de la suma. Comento la que em sembla més elegant, però no és el primer mètode que se'm va acudir!
Els numeradors de la primera expressió són tots múltiples de 19. Si traiem 19 com a factor comú queda

\(19·\left(\dfrac { 1 }{ C+1 } +\dfrac { 2 }{ A+2 } +\dfrac { 2 }{ N+3 } +\dfrac { 4 }{ G+4 } +\dfrac { 5 }{ U+5 } +\dfrac { 6 }{ R+6 }\right)=2014\)

Dividim els dos membres de la igualtat per 19 (a la igualtat resultant l'anomenarem (1)):

\(\dfrac { 1 }{ C+1 } +\dfrac { 2 }{ A+2 } +\dfrac { 3 }{ N+3 } +\dfrac { 4 }{ G+4 } +\dfrac { 5 }{ U+5 } +\dfrac { 6 }{ R+6 } =106\)    (1)

Suposem que el valor de la suma de la segona expressió val S (indicarem aquesta igualtat com a (2)):

 \(\dfrac { C }{ C+1 } +\dfrac { A }{ A+2 } +\dfrac { N }{ N+3 } +\dfrac { G }{ G+4 } +\dfrac { U }{ U+5 } +\dfrac { R }{ R+6 } =S\)    (2)

Si efectuem la suma (1) + (2) membre a membre, obtenim

\(\dfrac { C+1 }{ C+1 } +\dfrac { A +2}{ A+2 } +\dfrac { N+3 }{ N+3 } +\dfrac { G+4 }{ G+4 } +\dfrac { U+5 }{ U+5 } +\dfrac { R+6 }{ R+6 }=106+S\)

Per tant:

\(6=106+S\)

i ja tenim que el valor de la suma és

\(S=6-106=-100\)

Crec que pocs alumnes de 3r d'ESO estan en disposició d'utilitzar aquest mètode ja que és més propi de demostracions formals que es fan es cursos més avançats, però col·locar aquesta pregunta com la darrera de les de més puntuació és un bon colofó. 
 

---

Espero que aquest problema us hagi agradat i que no us hagi semblat ni molt fàcil ni molt difícil...

Una vinyeta de Forges a propòsit d'un estudiant un pèl desorientat

Més CiMs: tema amb variacions

Dos problemes pel preu d'un

Una bona part de la humanitat — i m'hi incloc— és bastant més hàbil en l'ús d'expressions lingüístiques que en el d'expressions matemàtiques. El fet de recordar, o fins i tot copiar, una seqüència numèrica o una simple equació se'ns fa, de vegades, difícil i els errors ens passen inadvertits. En aquesta entrada parlaré de com una petita errada — diguem-ne variació—  en la transcripció d'un problema, més que un trasbals, és una oportunitat per fruir de les matemàtiques.

Abans d'entrar en matèria, haig d'agrair els missatges de tres participants de la Prova de selecció CiMs d'enguany (en Jofre, la Lenok i en Martí) que han inspirat aquesta entrada i les comunicacions dels quals acabaran donant lloc a més d'un article!

En Jofre va ser la primera persona que, sense voler-ho, ens va oferir dos problemes pel preu d'un (vegeu Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!). Un petit canvi en el preu de venda dels coloms, en l'enunciat que ens proposava i que s'havia de solucionar mitjançant un sistema d'equacions diofàntiques, feia que passés d'admetre tres solucions a tenir-ne només una.

En els comentaris que podeu llegir en la mateixa entrada abans citada, Lenok va fer l'esforç de fer-nos arribar alguns exercicis del CiMs, el mateix dia que havia efectuat la prova de selecció. En Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi us vaig presentar un parell d'aquests problemes. El segon, que en una mostra d'enginy vaig anomenar Problema 2, deia:

Determina els nombres naturals que són solució del següent sistema d'equacions:

\(\begin{cases}x · y + z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

I resulta que el sistema no té solucions en el conjunt dels nombres naturals! Des del punt de vista estrictament matemàtic, això no li restava atractiu al problema. Tan interessant és trobar solucions com demostrar que no existeixen (el Darrer Teorema de Fermat en seria un molt bon exemple). Lenok ens apuntava aquest disset d'abril, en un comentari en el blog, que potser no havia transcrit bé l'enunciat i que no va tenir temps d'acabar aquest exercici...


Problema 2 (variació 2)

Com que l'atenció i l'interès ens lliura de grans errades, Lenok recordava prou bé el sistema i, probablement, només havia canviat un signe en una de les equacions. En Martí, un altre dels aspirants a les Beques CiMs-CELLEX, m'ha enviat per correu electrònic una altra versió del sistema. Em diu que li sembla recordar que en la primera equació no hi havia una suma, sinó una resta, i que d'aquesta manera sí que existia una solució natural. Amb aquest canvi, l'enunciat seria:

Determina els nombres naturals que són solució del següent sistema d'equacions:

\(\begin{cases}x · y - z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

Si en teniu ganes, mans a l'obra i a solucionar-lo! Si us rendiu, us proposo un dels mètodes de resolució.

---

Solució del problema 2 (variació 2) (+/- Mostra/Oculta)

Començarem aïllant el producte de la primera equació (1) i traient factor comú de la segona (2):

\(\begin{cases}x · y = 161 + z^2\ (1)\\z·(x -y) = 7\ (2)\end{cases}\)

Si les solucions només poden ser nombres naturals, analitzant (2) és fàcil adonar-se que z només pot agafar dos valors: z = 1 o z  = 7.

Cas 1 (z = 1)

Si passem aquest valor de z a (1), resulta que el producte x·y ha de ser 162 i, per altra banda, la resta x - y ha de valdre 7. Descomponent 162 (162 = 2·3⁴) podem jugar amb els quatre factors, un dos i quatre tresos, per determinar x i y. Per a més claredat, us poso un parell d'exemples:
 
Si agrupem els factors així (2·3·3)·3·3, x = 18 i y = 9. El producte és 162, però, com que no difereixen en set unitats, no compleixen (2).

Si els agrupem (2·3·3·3)·3, ara  x = 54 i y = 3. Encara ens allunyem més del 7 desitjat.

Per a aquest cas, és evident que no tenim cap solució.

Cas 2 (z = 7)
 
Si passem aquest valor de z a (1), resulta que el producte x·y ha de ser 161 + 49 = 210 i la resta x - y ha de ser igual a 1. Descomponent 210 (210 = 2·3·5·7) podem jugar amb els quatre factors, ara tots diferents entre si, per determinar x i y. Ràpidament podem notar que només hi ha un agrupament de factors que compleix les condicions indicades en el sistema:
 
2·3·5·7 = (3·5)·(2·7) , x = 15 i y = 14.

La solució és x = 15,  y = 14 i z = 7.

Notes

És clar que el problema també es pot resoldre per altres mètodes, però em sembla que la manipulació algèbrica de les equacions, per exemple aïllant z de (2) i substituint en (1), només aporta complicacions innecessàries. Entenc, a més, que no cal utilitzar cap mètode sofisticat (vaja, que no cal matar mosques a canonades!).

Per descomptat que si algú, però, troba un altre mètode, més senzill i/o elegant que aquest i ens fa el favor de fer-nos-el arribar, li obrirem, agraïts i de bat a bat, les portes del blog.

Utilitzant aquesta mateixa metodologia es pot demostrar la inexistència de solucions naturals per a la primera versió del problema.

---

Programari amb poca vista!

I entrem en el capítol de curiositats! En l'entrada en la qual treballava amb la primera versió de l'enunciat, vaig indicar que dos programes-calculadora matemàtics, Wiris i umsolver, determinaven prou bé la solució de la variació 1 del sistema. Ho he provat amb el nou enunciat i umsolver no se'n surt, segurament perquè he utilitzat la seva versió gratuïta, i incompleta. El més sorprenent, o no, és que la calculadora Wiris no troba la solució si escric les equacions en l'ordre amb el qual us les he presentat. Com que vaig tenir la intuïció que aquest software era curt de vista, si em permeteu la metàfora, i atacava el problema donant més importància a la primera equació; vaig canviar l'ordre de les expressions i podeu observar què va passar en la següent captura de pantalla (he editat el format de sortida per encabir-ho tot en una imatge més presentable):

Wiris solucionant el Problema 2 (variació 2)

En el primer "resol", Wiris no troba la solució; després del segon "resol" (amb el canvi d'ordre de les equacions), ens dóna correctament les infinites solucions en el conjunt dels nombres reals entre les quals hi ha l'única solució natural. Allò que copsem fàcilment les persones, la clau per començar a resoldre el sistema és la segona equació, passa desapercebut per al programa. Pobres xips i pobres programadors, no progressen adequadament! Ho podia haver provat amb "paquets informàtics" de més prestigi, com Mathematica o Maxima, però tinc la impressió que estan molt enfocats al càlcul de solucions de sistemes complicats i, per tant, estan més indicats per trobar solucions aproximades que no pas exactes (els enginyers manen!).