Miscel·lània: de la Prova CiMs al Cangur, passant per Pi

Pròleg. A manera de disculpa

Els lectors, més o menys habituals, deveu pensar que tinc el blog abandonat! Enguany, m'havia plantejat ser més regular en la publicació d'entrades, però no me'n surto de fer compatible el dia a dia amb la redacció d'articles. I no serà per falta d'idees! L'anumèrica premsa d'aquest país ja dóna per redactar, si més no, un comentari setmanal: per exemple, tinc previst escriure quatre cosetes sobre probabilitat condicionada i proves de detecció de malalties o sobre les aplicacions de les matemàtiques i la física en la recerca d'avions perduts (un parell de diaris nacionals ho troben extraordinari i, a més, apunten que l'ús pràctic de l'efecte Doppler és innovador!). Per no parlar de temes que he anat apuntant i que resten pendents... Però hi ha molts escrits que requereixen una certa calma, són de cocció lenta i els descarto en certs moments del curs escolar.

Em sabria greu —i això ho recalco — que algunes persones que s'han adreçat al blog amb els seus comentaris, sempre benvinguts, o que s'han deixat caure per aquí a la recerca d'alguna informació, es trobessin amb una patètica falta d'activitat. L'estructura d'aquesta bitàcola digital fa, malauradament, que algunes intervencions recents i valuoses quedin amagades en entrades passades.

Per posar remei a tot plegat, i perquè hi ha més activitat matemàtica que no ens sembla, se m'ha acudit redactar aquesta miscel·lània —espero que no us sembli una macedònia per sortir del pas— al voltant de tres dates d'aquest mes de març.


8 de març. Proves de selecció de les beques CiMs-CELLEX

El segon dissabte del mes, els alumnes aspirants van efectuar les proves de selecció del programa CiMs-CELLEX. Ja he parlat diverses vegades d'aquest projecte (podeu clicar en la categoria corresponent en la columna de la dreta del blog per llegir-ne els articles). Com en anteriors edicions, alguns participants —suposo que, en part, per una certa opacitat informativa dels convocants— s'han passat per aquestes pàgines i ens han fet arribar preguntes i comentaris. Una de les participants, Lenok, ha tingut la gentilesa d'enviar-nos allò que recordava i li semblava rellevant dels continguts de les proves (ho podeu llegir en els comentaris de Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!). Transcric i m'esplaio en un parell dels problemes que ens ha fet arribar Lenok. El primer és de mol fàcil solució; el segon... és una altra cosa!

---

Problema 1

Troba tots els valors naturals possibles per a i b si a·b = 22

Solució del problema 1 (+/- Mostra/Oculta)

La solució és tan evident que l'enunciat sembla pensat com un escalfament per al següent problema.

Descomponem 22:

  22 = 1·2·11.

Tenim quatre solucions per a (a, b): (1, 22), (22, 1), (2, 11) i (11, 2).

---

---

Problema 2

Lenok, després de enunciar-nos l'exercici que hem anomenat Problema 1, ens escriu: "el mateix" (entenc que les solucions han de ser naturals) per a:

\(\begin{cases}x · y + z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}\)

Solució (més aviat comentari) del problema 2 (+/- Mostra/Oculta)

Tempus fugit! He atacat el problema tal com ho faria un informàtic! I deixo per a més endavant una solució més raonada.

Si el sistema d'equacions és diofàntic, cal fixar-se en què 161 = 7·23 i que, si escrivim la segona equació traient factor comú:
\[z·(x -y) = 7\]
podem deduir que els únics valors naturals possibles per a z són 1 i 7; i, per tant, entre x i y la diferència ha de ser, respectivament, de set o una unitats. Amb això, un full de càlcul i amb un senzill i curt atac per força bruta diria que he descartat l'existència de nombre naturals que siguin solució del sistema. Cal dir que la ciència matemàtica optaria per demostrar la inexistència de solucions naturals per mètodes més rigorosos. Pot ajudar en alguna cosa el fet que el producte x·y ha de valdre o bé 160 o bé 112.

Per si encara no em mereixia la meva expulsió del paradís matemàtic, he utilitzat la calculadora Wiris i un simpàtic programa rus que parla (us en dono més referències després) que coincideixen en assenyalar per al problema dues solucions en el conjunt dels nombres reals:
\[x= \dfrac{\sqrt{161}}{23};  y = 0;  z = \sqrt{161}\\  x = -\dfrac{\sqrt{161}}{23};  y = 0;   z = -\sqrt{161}\]
No sé si Lenok ha comés alguna errada en la transcripció del problema o si els organitzadors s'han permès la llicència, tan matemàtica, de proposar un problema que no té solució, almenys en el conjunt dels nombres naturals.

---

Us comento breument, el programari que he citat en la solució del segon problema:

• De la calculadora Wiris, ja n'he parlat (aquí). M'ha sorprès favorablement que donés ràpidament les solucions.
• Desconeixia umsolver (el simpàtic programa matemàtic de procedència russa que parla i determina les solucions pas a pas). La versió completa és de pagament, però us podeu descarregar de franc la part del programa que soluciona equacions i sistemes d'equacions (aquí). L'he provat amb el sistema anterior i amb un sistema d'equacions lineals amb infinites solucions (compatible indeterminat). Funciona prou bé i és força curiós.

Aquests darrers dies de març i el 5 d'abril els alumnes preseleccionats per la Fundació CELLEX estan sent entrevistats per decidir quins seran admesos en el programa.

Nota del 19 d'abril respecte aquest Problema 2: En l'entrada posterior a aquesta Més CiMs: tema amb variacions, podreu llegir informació actualitzada entorn d'aquest enunciat


14 de març. Pi Day

D'altres anys havia dedicat alguna entrada a l'anglosaxó, i una mica nerd, Dia del nombre Pi (vegeu, per exemple El dia de Pi (I). Una invitació). Enguany la celebració m'hauria passat per alt si no hagués estat pels comentaris que un bloguer menorquí, el Capità Tiranya, va escriure en l'entrada que us acabo d'enllaçar. El Capità Tiranya és autor d'un bloc molt recomanable (Kbòries matineres) i va dedicar una enginyosa entrada (Oh hapπ day!) per tal de commemorar aquesta diada. Resto en deute amb el Capità perquè el seu escrit em va servir per posar una nota simpàtica, amb música inclosa, en algunes de les meves classes de secundària del dia 14.


20 de març. Proves Cangur

Potser no ho he sabut trobar, però diria que, aquest curs, els mitjans de comunicació han passat de puntetes i han dedicat molt poca atenció a aquesta festa de les matemàtiques que compta amb la participació de milers d'alumnes de Secundària. Deu ser que els de matemàtiques no ens sabem vendre!

La darrera entrada que vaig dedicar al Cangur va ser Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013. Pensava acabar aquest març, marçot proposant algun dels magnífics problemes d'aquesta edició del Cangur, però la Comissió organitzadora no farà públics els enunciats fins el dia 25 d'abril i trobo que no cal avançar-se. Els qui hi vau participar ja podeu, però, consultar les solucions en el web del Cangur.

I acabo amb una aglomeració de participants en les proves (la fotografia va aparèixer en El Diario de Mallorca i correspon a la convocatòria que es va efectuar a Palma):

Una gentada solucionant problemes de matemàtiques

De l'òpera matemàtica a la cantarella

Introducció (no va de música... i algunes coses que no venen a tomb!)

Haig de començar aclarint l'enjogassat títol d'aquesta entrada, abans que algun amant de les melodies senzilles i sincopades no es faci enrere i deixi de llegir tan aviat lletregi la paraula ò-pe-ra. Avui no penso parlar de música i quan escric òpera, ja em perdonareu la metàfora, vull fer referència al plural opera (nominatiu, acusatiu o vocatiu) del mot llatí opus que significa treball o obra. Així que aquest article va de la feina que fan els matemàtics? No, va de com l'escriuen! Diguem que va de l'estil de comunicació escrita dels investigadors d'aquest àmbit de la ciència. Per cert, estil ve de stilus, un dels instruments que utilitzaven els antics romans per escriure. Amb aquesta introducció, no voldria ser pedant; però ara que, després de carregar-se d'altres coses, ja van per les Humanitats; deixeu-me posar un granet de sorra en favor de l'educació que no entén de la separació de Lletres i Ciències. I amb una mica de sort que el granet vagi a parar a l'ull del ministre! (aquell que primer volia treure l'obligatorietat de cursar matemàtiques en el Batxillerat social, en favor del llatí, i s'acabarà portant per endavant, a envestides, la filosofia i d'altres assignatures perdedores; tot sigui per adoctrinar i amansir els futurs operaris obedients).


L'òpera. Comunicació matemàtica?

Si ja, en general, els articles especialitzats de qualsevol ciència poden ser força críptics, els de matemàtiques guanyen per golejada: la simbologia, la terminologia i el grau d'abstracció —tot per mor del rigor i l'eficiència— fan que, de vegades, el cercle d'especialistes que poden copsar amb profunditat el contingut d'un article, sigui realment reduït. Això sí, només mirant de reüll, la majoria podem reconèixer si un escrit "sembla de matemàtiques"... I amb això hi jugarem, avui!

Terence Tao és un dels matemàtics destacats de l'actualitat. Em perdonareu que citi el seu nom en va, però, ara, allò que m'interessa és l'estil dels seus escrits. Una mica a l'atzar, he triat l'inici d'un dels seus papers, una mica llunyà en el temps (Multi-linear Operators Given by Singular Multipliers, amb la coautoria de Camil Muscalu i Christoph Thiele):

L'inici d'un article de Terence Tao (podeu accedir a la versió completa clicant aquí)

Si comparem l'estil i la tipografia de l'exemple anterior  amb un de més nostrat, un article de Josep M. Burgués per al Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, comprovare'm que són germans bessons:

Un fragment d'un article de Josep M. Burgués (podeu accedir a la versió completa clicant aquí)

Cal dir que aquesta uniformitat en l'estil s'ha de valorar de forma positiva: per descomptat, calen unes normes que, a més, estalvien temps, faciliten la lectura i la interpretació. Podem dir que els autors, i els editors!, es guarden la creativitat per al fons i són molt conservadors i primmirats en la forma.


La cantarella. Se li veu el llautó?

I passo a presentar-vos una primícia! Els escrits de Tao i Burgués no han estat escollits a l'atzar com podreu comprovar si llegiu l'autoria i el contingut del paper següent:

Espero que, si heu fullejat l'anterior Scribd , us haureu adonat que el redactat és una cantarella sense sentit i que els suposats autors —uns fantasmagòrics T. Tao, J. Burgues i jo mateix (el més fantasma de tots)— no en som responsables. L'article s'ha generat automàticament i l'única aportació meva ha estat triar els autors. Encara que hi ha qui diu que per Carnaval tot s'hi val, m'ha semblat prudent no barrejar-hi Terence Tao (hi diu T. Tao) ni Josep M. Burgués (en l'article hi figura un tal J. Burgues).

Generar un pseudoarticle matemàtic com l'anterior és molt fàcil amb Mathgen que podreu trobar en el blog That's Mathematics!. Si aneu a Mathgen,  accedireu a una pantalla com aquesta:

Captura de pantalla de Mathgen

Només haureu d'escriure el nom dels "articulistes", clicar a Generate! i tindreu un article d'investigació matemàtica amb tots els ets i uts (només des d'un punt de vista formal, és clar!). Per a mi, la part més divertida de llegir és la bibliografia que figura al final de cada paper.


Les matemàtiques ja tenen el seu escàndol Sokal?

Tot això no seria res més que un entreteniment, si no fos perquè algun d'aquests articles generats de forma aleatòria sembla que han passat el filtre inicial d'alguna editorial (ho podeu comprovar en el mateix That's Mathematics! (Another Mathgen paper accepted, la darrera "relliscada" de moment)  o en l'entrada de Gaussianos titulada “El artículo” de MathGen: la historia de cómo se la han colado a una publicación científica.

Si analitzeu els detalls, veureu que el cas dista bastant de la gravetat de l'anomenat escàndol Sokal que el 1996 va afectar la revista Social Text. Els articles no han estat publicats i el sistema de revisió que tenen les publicacions matemàtiques serioses —no les que intenten fer negoci a costa de l'afany de publicar d'alguns— funciona prou bé. Fins i tot, els responsables de Mathgen neguen la semblança amb el cas Sokal (vegeu Why Marcie Rathke is not Alan Sokal). De totes maneres, cal ser prudent, però no m'imagino blufs del tipus fusió freda o memòria de l'aigua  afectant el món de la recerca matemàtica. Una altra cosa és que a algun matemàtic espanyol se li'n vagi l'olla,  suposadament demostri matemàticament l'existència de Déu i, a més, li publiquin. Però, això ja serà el nostre tema d'un altre dia!

Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!

Introducció. La tercera edició del Programa CiMs-CELLEX

Potser trobareu que no ve massa a tomb, i que aquesta introducció no lliga amb el títol de l'article, però començaré parlant del Programa CiMs-CELLEX. Aquest Programa ofereix la possibilitat de cursar un Batxillerat Internacional científic a l'alumnat de Catalunya. Enguany es convoca la 3a edició del procés per accedir a les beques d'aquests estudis i, per als interessats, cal dir que el període d'inscripció a les proves de selecció va del 23 de gener al 23 de febrer (trobareu la informació de primera mà en el web www.cims-cellex.cat). El curs passat ja vaig escriure un parell d'entrades on explicava aquest projecte i proposava algun problema per als nois i noies que vulguin prendre-hi part (vegeu Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial  i CiMs-CELLEX: un problema de quadrats; però, de moment, no llegiu els comentaris que apareixen al peu del segon article perquè hi desvetllo algunes pistes d'un parell de problemes que us proposaré tot seguit).

Per descomptat que em sembla un projecte digne d'elogis i necessari, però l'organització ofereix una infomació molt minsa i poc concreta del temari de les proves. Podeu accedir al document original fent clic aquí; però, com que suposo que, en algun moment, la seva aparença i contingut vergonyant farà que se'n corregeixi el format i es detallin degudament el conceptes, n'he fet una captura de pantalla:

El temari de les proves de selecció de les Beques CiMs-CELLEX

A tall d'exemple, ¿algú em pot contestar si el Teorema de Bayes i la probabilitat condicionada entren en l'apartat "Nocions bàsiques de probabilitat i estadística"? En la secundària obligatòria no s'acostuma a treballar de forma sistemàtica aquest contingut, la probabilitat condicionada, però l'any passat sí que va caure un problema, cal dir que bastant clàssic, d'aquest tipus. Clar que això ho sé gràcies a les informacions que m'han fet arribar alguns participants. Desconec si es publiquen les proves ja realitzades, però estaria bé que fossin públiques!

Un temari més detallat i algun manual d'entrenament (com el que es disposa, per exemple, per a la preparació de l'Olímpiada Matemàtica), orientaria els participants i serviria per a fomentar la cultura matemàtica, fins i tot, d'aquells que no acabin participant en el projecte. Mentrestant, molts joves interessats van donant pals de cec i una prova és que, quan reviso quines paraules clau de cerca porten als internautes a aquest blog, em trobo amb molts "CiMs-CELLEX". Una altra prova de càrrec són els comentaris que podeu llegir en els articles que he dedicat a aquesta iniciativa de la Fundació CELLEX: la majoria, d'estudiants de secundària, però, també, d'alguna mare raonablement angoixada. En l'entrada CiMs-CELLEX: un problema de quadrats (ep! recordeu de no llegir-ne la part dels comentaris), un dels interlocutors, en Jofre, estudiant de secundària que vol preparar l'accés a les beques, ens proposava un problema interessant.


Un problema de cabres, gallines i coloms (versió 1)

El problema del qual n'ignoro la font escrita, fa el pes per a proposar-lo en les proves de selecció. Diu així: 

Un home va anar a vendre al mercat cabres, gallines i coloms que en total feien 100 animals venuts. Si les cabres les venia a 25 €; les gallines, a 5 € i els coloms, a 0,20 €, i en total va fer 500 €, ¿quants animals va vendre de cada tipus?

Com la majoria de vegades que presento un problema, us recomano que l'intenteu resoldre abans de clicar la solució. No sigueu gallines i intenteu-ho!

Té raó l'autor del blog Mateolivares quan qualifica aquesta gallina de quasimatemàtica

---

Solució del problema de cabres, gallines i coloms (versió 1) (+/- Mostra/Oculta)

Si x és el nombre de cabres; y, el de les gallines i z, el dels coloms, podem expressar l'enunciat en dues equacions:

\(\begin{cases}x + y + z = 100\\25x + 5y + 0,20z = 500\end{cases}\)

La primera equació expressa el nombre total d'animals i la segona, el seu preu.

El sistema d'equacions pot ser una mica sorprenent per als estudiants de l'ESO: té tres incògnites i només dues equacions A més, les solucions només poden ser nombres naturals (el nombre de cabres, gallines o coloms no pot ser negatiu, fraccionari o irracional).

Per començar a solucionar el problema aïllem una incògnita de la primera equació:

\(z = 100 - x -y\)

Passem aquest valor a la segona equació i operem:

\(25x + 5y + 0,20 (100 - x - y) = 500\)

\(25x + 5y + 20 - 0,20x - 0,20 y =500\)

\(24,80x + 4,80y  = 480\)

No és necessari —però entenc que té un cert valor pedagògic i permet entendre millor el problema—, el fet d'escriure aquesta darrera equació amb coeficients enters; multipliquem per 10 i després dividim pel mínim comú múltiple 8:

\(248x + 48y  = 4800\)

\(31x + 6y  = 600\)

En aquesta darrera expressió aïllem y:

\(y  = \dfrac { 600 - 31 x }{ 6 } = \dfrac{600}{6} - \dfrac{31x}{6} = 100 - \dfrac{31x}{6}\)

I aquesta darrera equació és la clau per a resoldre el problema! Si la relació entre y i x és

\(y = 100 - \dfrac{31x}{6}\)

i ambdues incògnites només poden prendre valors enters, els valors de x han de ser múltiples de 6.

Descartant x = 0 que significaria que hi ha 100 gallines, sense cabres ni coloms; només hi ha tres solucions amb els tres nombres enters positius (el nombre de coloms es calcula sabent que la suma total d'animals ha de ser 100):

Per a x = 6 cabres, tenim 69 gallines i 25 coloms.

Per a x = 12 cabres, tenim 38 gallines i 50 coloms.

Per a x = 18 cabres, tenim 7 gallines i 75 coloms.

A partir de 24 cabres, sortirien 24 gallines negatives, les solucions deixen de tenir sentit per a aquest enunciat!
 

---

Un problema de cabres, gallines i coloms (versió 2)

Quan tot cofoi vaig comunicar la solució al proposant del problema, aquest em va escriure "ui, perdó, m'he equivocat, el preu dels coloms no era 0,20 €, sinó 0,25 €". No passa res, ara tenia dos problemes pel preu d'un! Mantenint la resta de dades, ¿com afecta l'encariment del preu dels coloms al problema?

---

Solució del problema de cabres, gallines i coloms (versió 2) (+/- Mostra/Oculta)

El canvi de preu pot incomodar als compradors, però modifica ben poc el procés per a solucionar el problema. El sistema d'equacions és ara:

\(\begin{cases}x + y + z = 100\\25x + 5y + 0,25z = 500\end{cases}\)

Us estalvio els passos a seguir que són idèntics als de la primera versió. Arribaríem ara a l'equació:

\(99x + 19y  = 1900\)

Com en el cas anterior, aïllem la  y i tenim:

\(y = 100 - \dfrac{99x}{19}\)

i si x i y han de ser nombres naturals, els valors de x han de ser múltiples de 19.

Tornant a descartar x = 0 que significaria que hi ha 100 gallines, sense cabres ni coloms; només hi ha una solució amb els tres nombres enters positius (una altra vegada, el nombre de coloms es calcula sabent que la suma total d'animals ha de ser 100):

Per a x = 19 cabres, tenim 1 solitària gallina i 80 caganers coloms.

Per a x = 38 cabres, sortirien 98 gallines negatives, les solucions deixen de tenir coherència en el context del problema.

Suposo que l'existència d'una única solució deixa més tranquils a la majoria d'estudiants, però trobo més interessant i didàctica la primera versió de l'exercici.
 

---

Hem resolt equacions diofàntiques!

En l'àmbit amtemàtic s'anomenen equacions diofàntiques aquelles equacions les solucions de les quals només poden ser nombres enters. Les equacions diofàntiques pràcticament no estan presents en l'ensenyament secundari i és més habitual trobar-se equacions on les solucions fraccionàries o irracionals són benvingudes. Les dues versions del problema que acabem de resoldre ens portava a un sistema d'equacions diofàntiques. Ja heu pogut comprovar que, en aquest cas, no calia gaire coneixement dels algorismes per a solucionar aquest tipus d'equacions, però si teniu ganes de saber-ne més, us proposo alguns enllaços:

• Cómo resolver ecuaciones diofánticas. Com no, en el web Gaussianos!

• Ecuaciones diofánticas. Equacions diofàntiques lineals explicades pel professor F. J. González de la Universitat de Cádiz

• Métodos de resolución de ecuaciones diofánticas. L'autor és el professor Christam Huertas i tracta d'equacions diofàntiques no lineals (només per a aprenents valents)

Notes finals

Com que malgrat la crítica feta, que espero que s'entengui com a constructiva, desitjo que el projecte CiMs-CELLEX duri molts anys, he afegit l'etiqueta CiMs-CELLEX en l'índex de categories del blog que podeu llegir en la columna de la dreta. Ja hi anirem afegint entrades!

M'ompliria de satisfacció ("de honda satisfacción") el fet que alguns estudiants de secundària —no cal que siguin majoria—  hagin entès l'acudit de la gallina quasimatemàtica. Per què no és una gallina matemàtica del tot?

Felicitacions matemàtiques. Bons anys esfènics!

Ja donava l'activitat anual d'aquest blog per tancada, quan he comprovat que en els seus quatre anys d'existència (sí, sí, l'I ara! Matemàtiques? ja va a P-4!) mai ha faltat una entrada de felicitació de les festes nadalenques o de l'entrada d'any (ja en van tres, la darrera va ser Felicitacions problemàtiques). Enguany m'he estalviat de desitjar-vos un Bon Nadal,  com un Ebenezer Scrooge qualsevol —amb els anys vaig trobant més tendre i humà aquest personatge de Dickens— , enfeinat com estava esborrant felicitacions digitals. Les llistes de contactes, els reenviaments i la gratuïtat han fet molt de mal i m'han arribat els millors desitjos de centres, associacions, grups, grupuscles i individus dels quals, de vegades, en desconeixia l'existència. Disculpeu-me la paradoxa; però, des d'aquí, reivindico aquells cartonets, amb dibuixos sovint carrinclons i escrits a mà, que rebíem a les bústies i que tenien prou entitat per moure's en un espai de tres dimensions.

Mandrós com sóc per a aquestes coses, en d'altres ocasions he utilitzat (sense autorització expressa, que Déu em perdoni) els problemes ideats per Ignasi del Blanco i divulgats pel Creamat. Com que, en aquest país, la reincidència rep un bon tracte, hi torno (tot i que d'altres anys he trobat l'exercici més elaborat i amb menys graus de llibertat):

La "felicitació problemàtica" d'Ignasi del Blanco d'enguany
(Cliqueu al damunt per fer-la més gran)

En dates com aquestes, un altre recurs que tenen els aficionats a les matemàtiques és analitzar les propietats numèriques del nombre que indica l'any entrant. Rafael Parra Machío, analista d'inversions jubilat (vegeu la seva autobiografia), ens en fa estudis exhaustius i aprofita, a més, per divulgar continguts matemàtics fonamentals, us en dono tres mostres:

• Propiedades del 2012: Un paseo a través de la matemática recreativa  

• Propiedades del 2013: Cronología y tiempo

• Propiedades del 2014: Un paseo a través de los cálculos aritméticos

Si parlem de propietats numèriques, molts "nombreferits" ja van identificar el 2013 com a "any esfènic" (sí, esfènic i no pas esfèric!). S'anomena nombre esfènic aquell que és el producte de tres nombres primers diferents (vegeu número esfénico o sphenic number). Compte, però, amb la definició que cal interpretar de manera estricta: 2020 (el producte de 2² · 5 · 101) no és esfènic ja que el dos apareix dues vegades en la seva descomposició factorial; 2022 (2 · 3 · 337), sí que ho és.

Com a màxim podem tenir tres nombres esfènics consecutius: si agafem quatre nombres consecutius, un d'ells ha de ser divisible per 4 =  2² i ja no serà esfènic. Una sèrie de tres anys esfènics consecutius és més aviat estranya. 2013 ha estat un any esfènic ben particular perquè alhora era la suma de tres nombres esfènics (2013 = 665 + 670 + 678) tal com ens expliquen a Espejo Lúdico.  I 2014 i 2015 també seran esfènics! Tornant a l'obra de Dickens (A Christmas Carol) i en homenatge al Fantasma —que no Esperit— dels Nadals Presents, insereixo la següent imatge:

Els esfènics presents

Si ens preguntem per quina és la primera tríada esfènica, cal dir que està formada pels nombres 1309, 1310 i 1311. I la tríada esfènica anterior a l'actual?

Els esfènics passats més propers

I, ai las!, els propers tres esfènics ens trobaran en un estat bastant més inanimat que el del pobre Scrooge:

La molt llunyana tríada dels esfènics futurs

I acabo amb un desig i un consell: que pugueu somriure (i riure) molt l'any vinent i, si més no, preneu-vos la vida amb un somriure. Bon any!

Fotograma de A Christmas Carol  (Edward L. Marin, 1938)

Notes:

La imatge anterior ha estat extreta de l'article “Cuento de Navidad” y el Fantasma de los Amores Pasados de Cristina Jódar.

Per aquells que us agraden els llistats numèrics, tipus "guia telefònica", us recomano Descomposición de los diez mil primeros números en factores primos.

Sóc molt poc amant de les "taxonomies numèriques" (que si nombres perfectes, que si amics, que si defectuosos... i només faltaven els esfènics!), però què carai... un dia és un dia i tal dia farà un any!

Una coma letal! La importància de la posologia, de la bona lletra...

Una trista introducció

El to de l'entrada immediatament anterior a aquesta, Notació matemàtica: el punt, la coma i la ratlleta, era més aviat enjogassat i no em va semblar adequat incloure-hi una notícia luctuosa, ja llunyana en el temps, que està relacionada amb l'escriptura dels nombres decimals. Un nen de dos anys, Dariel Aldaz, va morir el 2007 com a conseqüència d'una dosificació equivocada d'un medicament que s'utilitza en quimioteràpia. L'any 2011, posant en evidència l'administració de justícia, el cas encara cuejava! Us transcric un fragment de la notícia Una coma letal, apareguda en La Vanguardia del 5 de febrer de 2011 (per cert, si cliqueu l'enllaç anterior i llegiu el text complet, comprovareu que el periodista s'equivoca i anomena al nen, Daniel i, més endavant, David!):

Según la versión del Ministerio Público, el oncólogo erró en la dosis de quimio que debían dar al pequeño, afectado por un tumor de Wilms: en lugar de 16,5 miligramos de doxorrubicina le suministraron 165. Se olvidaron de poner la coma entre los números 6 y 5. Lo peor es que, una vez consciente del error, el médico intentó alterar las pruebas para evitar la acusación, según el fiscal.

Després de cercar informació, no me'n puc estar de dir  que el tumor de Wilms és un càncer renal que acostuma a tenir un bon pronòstic, que els efectes secundaris de la doxorrubicina són més que coneguts (més informació sobre aquesta substància, ara en castellà, aquí) i que hi ha d'altres casos estranyament semblants (aquest, per exemple). Faig un apart, per advertir-vos que, en una primera lectura (si em feu el favor de lectures posteriors), no cal que aneu clicant tots els enllaços que proposo perquè perdreu el fil de tot plegat.

En la sentència del cas per la mort de Dariel, la jutgessa assenyalava que “no estamos ante una prescripción de medicación efectuada en su totalidad de modo erróneo, sino ante un error de cálculo matemático” (vegeu Pena de un año a 2 médicos por la muerte de Dariel —de fet, un dels condemnats no era metge, sinó farmacèutic). No he pogut accedir a la sentència, però massa ben raonada no deu estar quan, almenys en la darrera notícia que he enllaçat, s'afirma que "La magistrada considera probado que el oncólogo prescribió correctamente la medicación a administrar al menor, teniendo en cuenta todos los datos antropométricos -peso, masa corporal-, aunque el resultado final, la dosis, fue errónea".Em quedo amb el dubte de quin significat té per a la justícia espanyola "error de cálculo matemàtico" si el metge va fer la prescripció correcta tenint en compte les dades del pacient. Segurament, l'encerta més el diari ABC (vegeu La vida se le fue a Dariel en una coma) quan parla de "cadena de errores". Sobre aquesta cadena d'errors i els aspectes de la pràctica mèdica que els poden generar, vull escriure. Per descomptat que la casuística va més enllà dels errors de càlcul (podeu llegir-ho a Errors de prescripció més freqüents , per exemple  i, amb més detall i en un context concret, en l'estudi Errores frecuentes en la administración de medicamentos intravenosos en pediatría).


La posologia: el càlcul de les dosis

Generalment, els càlculs que s'han de fer per tal d'esbrinar la dosi de medicament, d'acció coneguda, que li correspon a un pacient no requereixen grans coneixements matemàtics: n'hi ha prou amb unes nocions de proporcionalitat i en no menystenir les unitats de mesura. És cert que l'anàlisi detallada de l'acció de la subtància en el temps pot ser complicada i és objecte d'estudi de la farmacocinètica (vegeu també El objetivo es administrar la dosis óptima de un medicamento al niño), però la necessitat d'una formació matemàtica específica s'ha vist necessària, fins i tot, en els estudis d'infermeria (El cálculo de dosis y el razonamiento proporcional en estudiantes de Enfermería).

En el cas del nen Dariel, el fet que se li administressin 165 mg de medicació, en lloc de 16,5 mg, fa sospitar una possible deixadesa o un error en la conversió d'unitats (els dígits estan bé, però falta la coma).


Estimacions numèriques, atenció i responsabilitat

El metge es va deixar la coma, però ni el farmacèutic de l'hospital ni la persona que va administrar la doxorrubicina, per via intravenosa, van advertir l'error de magnitud en el càlcul (ja he escrit sobre estimacions numèriques, en un altre sentit, a Estimacions numèriques: prodigis atlètics, Fermi i els afinadors de piano). Segons ABC,  abans ja he donat l'enllaç a la notícia, els únics que van intuir l'errada van ser els pares: 

Tampoco el ATS responsable de su administración se percató de lo elevado de la dosis. «La bolsa de quimio que le dieron a Dariel era inmensa, anormal. Antes de conectársela, ya dije al personal de La Fe que me parecía rara. Estuvo desde las nueve de la mañana hasta la seis para que se la suministraran, mucho más tiempo que las otras veces», recuerdan Octavio y Mari Cruz. (...)

Por su parte, el otro especialista acusado, el responsable de comprobar la prescripción del fármaco realizada al menor fallecido, asegura que «fue un error y no lo vi». «No sé lo que pasó, pero no comprobé si era correcta la dosis con el paciente».

Una mort, una trista conseqüència d'allò que alguns anomenen "errades tontes" o "falta de concentració".


La proverbial "lletra de metge"

Abans de continuar  — no m'agradaria que això que explico en aquesta entrada s'agafés com una generalització—, deixeu-me dir que valoro moltíssim la feina dels soferts i malpagats professionals sanitaris del nostre país; però, si hi ha un tret que identifica a la majoria dels llicenciats en medicina, és la lletra difícilment intel·ligible (¿Por qué los médicos tienen mala letra?). Posats a quantificar, algunes dades semblen indicar que la mala lletra pot provocar morts, però no sabem quantes (Cause of Death: Sloppy Doctors, La mala letra de los médicos causa 1.500 muertes al año en EE UU  l'any 2000?, La mala escritura de los médicos mata a 7000 personas al año en EE.UU l'any 2007?). No hauria de passar, però de vegades la prescripció mèdica és illegible:

Sembla que aquí hauríem de llegir Digoxina! (la imatge ha estat extreta d'aquesta font)

I la lectura es complica més quan, en lloc del nom del medicament, hem d'intuir nombres i unitats!

Mil·ligrams? 5 mg o 0,5 mg? (trobareu comentada aquesta prescripció aquí)

Conclusió

No em vull allargar més i em deixo en el tinter els problemes que provoca el galimaties dels noms comercials dels productes farmacèutics: substàncies diferents amb noms semblants o noms que varien d'un país a un altre.
 
Tot i que les seves errades i mala lletra no sempre tenen conseqüències fatals, m'agradaria dedicar aquest article a tots aquells que no s'esforcen en fer una lletra mínimament intel·ligible, que no paren atenció a allò que fan, que escriuen els quatres com els nous, i els uns com els sets, a aquells que els és igual grams que quilograms i que  —i aquest és el pecat capital —  no es fan responsables dels seus actes i sempre troben alguna circumstància per excusar-se. Sempre hi sou a temps de rectificar. A poc a poc i bona lletra!