La simbologia i la notació matemàtica: una virtut i algunes servituds

Si doneu una ullada a les entrades anteriors d'aquest blog, comprovareu que tenen un aspecte que podríem qualificar de "poc matemàtic": en general, el contingut que s'hi tracta no requereix massa simbologia o notació matemàtica i això fa que no hi apareguin massa expressions o equacions aparatoses. Tampoc no he parlat gaire dels aspectes més formals del llenguatge matemàtic i, quan ho he fet, ha estat a partir de l'anècdota (vegeu, per exemple, John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (II) on podreu llegir alguns comentaris sobre la notació matemàtica que apareix en aquest film i el doble del protagonista que van haver de contractar per escriure-la i donar versemblança a les escenes).

He estat temptat de parlar en aquest escrit de les virtuts —així, en plural— de la simbologia i la notació de la matemàtica contemporània; però quan he entrat en matèria, m'he adonat que, fer un llistat enciclopèdic d'avantatges i comentar-los, seria massa extens i podria avorrir, fins i tot, el lector més voluntariós.


Una virtut: la universalitat

Donant-li voltes, triant i remenant a la xarxa i a la meva biblioteca, deixarem les virtuts més evidents per a futures entrades i ens fixarem en la universalitat de la notació matemàtica. Vegeu sinó, la següent imatge:

  
Qualsevol persona que tingui un nivell preuniversitari de matemàtiques, independentment de les llengües que parli, podria seguir les operacions que apareixen en la pissarra completa, identificar com a equació d'una el·lipse l'expressió que apareix tallada en la part superior de la fotografia \(\dfrac {x^{2}} {a^{2}}+\dfrac {y^{2}} {b^{2}}=1\) i apuntar que, en l'exercici que està resolent el jove de mirada desafiant, hi intervé una integral definida (Leibniz és el culpable que indiquem aquestes integrals com  \(\int _{a}^{b}f\left( x\right)\ dx\)). No tots els símbols que s'utilitzen en matemàtiques són universals i n'existeixen variants, però si hi ha una "llengua" que pràcticament abasti tot el món, després de la solfa musical, deu ser aquesta. Ara que parlem d'integrals i de la universalitat dels símbols, els àrabs poden escriure el signe integral a l'inrevès i procedir de dreta a esquerra (no sé, però, si aquest ús és gaire comú i en l'article de la wikipedia àrab que correspon a integració només hi fan una breu referència).

I per jugar una mica amb això de les variants simbòliques, us proposo un petit enigma: analitzant el contingut de la pissarra no és possible deduir en quin lloc geogràfic es desenvolupa l'escena; però, amb una probabilitat alta, podem descartar algunes regions del planeta. Per exemple, podem pràcticament assegurar que el nostre protagonista no es troba en l'altiplà castellà, però sí que es podria trobar a Catalunya (si no tenim en compte, alguns detalls tipogràfics o el lloc on s'ha escrit límit inferior d'integració, el zero, en el símbol integral). Per què? 

---

Solució a l'enigma geogràfic (+/- Mostra/Oculta)

En la línia immediatament inferior a la integral hi veiem escrita l'expressió ab sin2θ. L'abreviatura de la raó trigonomètrica sinus és "sin" en la majoria d'idiomes, però en castellà, italià o portuguès, que l'anomenen "seno", escriurien, preferentment ab sen2θ ja que s'acostuma a utilitzar la notació "sen". Per cert en anglès també s'indica "sin", però la paraula sencera és sine, pronunciada ['sain].

 

---

Rushmore, la pel·lícula

L'estudiant  de les ulleres és de fet l'actor Jason Schwartzman i la imatge és un fotograma que correspon a la seqüència inicial de la pel·lícula Rushmore (Wes Anderson, 1998). Com que aquesta seqüència resulta interessant des del punt de vista matemàtic, us proposo un parell d'enllaços per tal que la pugueu gaudir sencera: seqüència inicial en anglès (si teniu problemes amb l'anglès, la teniu doblada al castellà aquí). Per cert, en el web de la Universitat de Harvard hi trobareu un interessant recull de Mathematics in Movies.

El problema que soluciona el nostre fantasiós protagonista, en somnis, no és un problema gaire complicat: si voleu un comentari matemàtic acurat us recomano que consulteu les pàgines 16 a 18 de l'article Algunos momentos matemáticos del cine d'Alfonso Jesús Población Sáez (ja havia citat aquest autor i aquest article en Les matemàtiques en el cinema).


Algunes servituds

La notació matemàtica no és una sopa de lletres i símbols per impressionar i atemorir els profans, és imprescindible per practicar les matemàtiques i presenta molts avantatges. De vegades, trobar la notació adequada és el primer pas i la porta de la solució d'un problema. Una servitud és que l'aprenentatge de la simbologia requereix un cert esforç i un cert rigor. Si en una classe escric a la pissarra \(\forall a\in \mathbb{R} \ldots \) — i fins aquí només és per pura economia del llenguatge— sempre hi ha alumnes que, tot i conèixer els símbols, prefereixen apuntar "per a qualsevol nombre a que pertany al conjunt dels nombres reals...". Cal dir que tota aquesta simbologia, fins i tot la més bàsica que s'utilitza en l'aritmètica i l'àlgebra dels cursos de l'ensenyament obligatori, mal assolida, provoca errades greus que ja comentarem en una altra entrada.

A part d'aquests peatges pedagògics, aquells que ens dediquem a l'ensenyament i a la divulgació de les matemàtiques hem de patir per tal de portar als suports digitals o escrits tota aquesta faramalla simbòlica (serà per això que encara apreciem les pissarres, on el símbol més recargolat pot ser traçat de forma immediata). Si heu arribat fins aquí, potser no us heu adonat que en aquest article hi consten algunes expressions matemàtiques escrites en LaTeX (sent estrictes, hauríem de dir que en TeX): per exemple,  la trista equació de l'el·lipse del segon paràgraf, abans de ser interpretada, ve a ser alguna cosa com \dfrac {x^{2}} {a^{2}}+\dfrac {y^{2}} {b^{2}}=1. Continuament hem de treballar amb editors d'equacions, modificar les plantilles de Blogger de tant en tant, vigilar la compatibilitat de llenguatges i formats... I en el cas de la xarxa, no tenim la seguretat que tots els navegadors interpretin correctament les expressions. En aquest sentit us voldria demanar que, si llegint tot això a la pantalla, detecteu algun problema en la visualització de les expressions matemàtiques, feu-m'ho saber, si us plau.

Cal fer constar, però, que les "ja no tan noves tecnologies" han simplificat molt el fet d'escriure matemàtiques (us ho diu algú que havia fet algun treball universitari amb màquina d'escriure!), però a molts alumnes —són els altres damnificats— encara els costa defendre's amb els editors d'equacions més senzills.


I un parell d'exercicis (per a aquells que saben integrar a un nivell elemental)

Aprofito que he adaptat la plantilla del blog per tal de poder escriure en notació matemàtica, per proposar-vos la resolució de dues de les meves integrals preferides:

1. \( \int e^{x^{2}}dx\)


2. \(\int \frac{sin\,x}{x}dx\)

Per als més rigorosos i primmirats, cal dir que en la segona cal suposar \(x\neq 0\). Disculpeu, tots, que no m'hagi parat a respectar les molt estètiques normes de la tipografia en l'edició de les expressions, però de la tècnica i l'estètica de l'edició ja n'anirem parlant.

El Teorema (o axioma) del punt gros

 
He dedicat unes quantes entrades a les diferents geometries (vegeu, per exemple, I les altres geometries?) i, en algun escrit, he apuntat alguna cosa sobre les dimensions superiors a tres (Més enllà de la tercera dimensió: l'hipercub (I)) amb la promesa de tornar-hi. Haig de dir que, en general, les geometries no euclidianes i les dimensions extres no acostumen a ser ben rebudes per les persones alienes al món de la matemàtica. En canvi, la geometria euclidiana s'accepta de manera immediata com si, tanmateix, fos una creació de Déu o una realitat irrefutable del nostre univers. Tothom creu saber què és un punt, una recta o un pla i troba que aquests conceptes són d'allò "més naturals". Euclides comença els seus Elements de geometria (Els Elements d'Euclides) amb una sèrie de definicions (un punt és allò que no té parts, una línia és una longitud sense amplada, els extrems d´una línia són punts, una recta és una línia que esdevé igual respecte de tots els seus punts, una superfície és allò que només té longitud i amplada, etc.) que ens poden semblar evidents  o, fins i tot, podem opinar que el pobre Euclides se les podia haver estalviat. Si ens parem a pensar, el salt d'un concepte a l'altre, més que evident, és màgic i ens hauria de generar un cert rebuig: un punt no té dimensions, però un conjunt de punts poden generar una recta que té una dimensió? si posem moltes rectes juntetes, una al costat de l'altra, obtenim una superfície de dues dimensions? D'on surten aquestes dimensions extres? És clar que l'objectiu d'aquestes observacions no és que renegueu de la utílissima geometria euclidiana i, a més, avanço que us hauríeu d'agafar aquest escrit amb una actitud reflexiva, però no massa seriosament.


El cinquè postulat

En el seu Llibre I, Euclides, després de 23 definicions, introdueix els seus cinc famosos postulats o axiomes (Postulats). De la negació del controvertit cinquè postulat, neixen les geometries no euclidianes. En el seu format original, degudament traduït al català, el cinquè postulat afirma que "Si una secant talla a dues rectes formant a un costat angles interiors la suma dels quals és menor que dos angles rectes; les dues rectes, suficientement allargades es tallen en el mateix costat".

El cinquè postulat d'Euclides expressat gràficament.
(La imatge ha estat extreta d'aquí )

En la imatge explicativa anterior, com que la suma dels angles m i n és menor de 180º (dos angles rectes), els segments AB i CD es tallen, si es prolonguen, per la dreta.

De fet, aquest postulat és més conegut en una versió diferent, però equivalent, a la que va donar Euclides: "Per un punt exterior a una recta es pot traçar una única recta paral·lela".

Versió artística i gràfica de l'enunciat alternatiu del 5è postulat.
(La fotografía és de Pepe E. Carretero i la podeu veure en el seu blog)

El Teorema del punt gros (TPG)

Hi ha una versió hispànica —només n'he trobat referències en castellà i algunes en català— que substitueix i contradiu aquest cinquè postulat, però és una proposició més intuïtiva i evident. Es coneix com el "Teorema del punto gordo", però seria més correcte dir-ne postulat o axioma. Com totes les grans veritats, admet més d'una formulació, a mi m'agrada aquesta:

Per un punt exterior a una recta passen diverses rectes paral·leles el nombre de les quals depèn del gruix del punt.

Teorema del punt gros. Pel punt P passen tres rectes paral·leles a la recta r... o més!

Alguns autors catalans, que prefereixen la traducció Teorema del punt gran, opten pel següent enunciat:

Dues rectes paral·leles es tallen en un punt, sempre que el punt sigui suficientment gran.

Aquesta imatge "provatòria" ha estat extreta d'aquí,
però la font original és Inciclopedia.

Fonemato, l'alter ego de Rafael Cabrejas, ha dedicat un imprescindible vídeo a aquest Teorema. Aprofito per recomanar-vos també la resta de vídeos d'aquest autor, aquests sí, útils i seriosos (però no tots gratuïts): vídeos de Fonemato.


Aplicacions del TPG en el Dibuix Tècnic

Com que sou lectors intel·ligents, ja fa estona que us haureu adonat de la presa de pèl: els punts grossos contradiuen la definició d'Euclides que afirma que els punts no tenen dimensions. El saberut Fonemato, al final del seu vídeo-broma, certifica la inexistència dels punt grossos. Però algú és capaç de dibuixar un punt sense dimensions? I si algú fos capaç de tal proesa, la resta de la humanitat, el podríem veure? Els físics que estan acostumats a simplificar les situacions i no s'immuten quan en un problema comencen amb "Suposant que la Terra és una massa puntual...", ho arreglarien ràpidament dient que les dimensions dels punts són negligibles..., però no ens enganyem, la física no és una ciència prou seriosa.

Sigui com sigui, els punts grossos tenen nombroses aplicacions: la majoria d'elles relacionades amb el dibuix tècnic. Els aprenents que comencen a practicar aquesta disciplina es troben sovint que, després d'una llarga construcció, després de traçar tangents, perpendiculars i paral·leles, el resultat no és el desitjat: una línia no passa, per poc, per un determinat punt perquè no han estat prou destres i acurats en els passos previs. Doncs bé, existeixen dues solucions per tal de no haver de repetir tot el procés: o fem el punt més gros o optem per una línia flàccida o peluda (algú s'atreveix a parlar de "rectes astutes"). Per la importància d'aquesta aplicació el gran Tito Eliatrón es refereix al TPG com a Teorema Fundamental del Dibujo Técnico. Consulteu també, si us plau, el Teorema del Punto Gordo y la Línea Flácida.

Cal dir que el TPG també s'ha aplicat en l'anàlisi d'algunes jugades de futbol, aquest esport pedestre, i que això ha donat lloc a algunes crítiques vehements (Riera, cuéntenos...).


Apunts lingüístics

Els traductors catalans es mostren dubitatius: cal traduir "gordo" com a gros, gran o gruixut? Si consultem l'autoritat pertinent, el DIEC, i anem a les definicions de gros,  gran i gruixut, ens pot semblar que "gros" no és la paraula adequada. Però "gordo", en castellà i en aquest cas, tampoc és lingüísticament escaient, si bé té un matís còmic que s'adiu al nostre teorema. Aquells que encara esteu per apreciar aquestes distincions i fugiu de comunicar-vos amb  rugits i brams fareu bé de consultar: Bricollengua o Racó Català. Jo m'he decidit per traduir "punt gros", però he estat temptat d'optar pel més càrnic i simpàtic "punt molsut".

Espero que no acabeu pensant que avui us he venut gat per llebre o, en una versió més suau, que he fet passar bou per bèstia grossa. Per cert, a aquesta darrera frase feta no li acabo de trobar el sentit: vol denotar un cert tipus d'engany, però no té un punt de tautologia? Els bous no pertanyen al conjunt de les bèsties grosses?

Selectivitat 2013: l'errada i la gestió

De catàstrofes i tempestes

En l'entrada anterior, Selectivitat 2013: La comèdia dels errors?, ja avançava que tornaria a escriure sobre la Selectivitat d'enguany a Catalunya i, en particular, de la gestió que s'ha fet de la crisi provocada per una errada d'impressió —tot sigui dit, una "errada" que gestionada d'una altra manera només hagués afectat els correctors— en la prova de Matemàtiques. He estat temptat d'abusar de la vostra paciència i relacionar el cúmul de despropòsits que s'han produït —alguns inevitables — amb la Teoria de Catàstrofes (una teoria matemàtica de nom atractiu, citada en camps diversos i d'aplicabilitat i utilitat, dubtosa). De fet, en l'escrit anterior, ja jugava amb La Comèdia dels errors de Shakespeare i, ara, relacionar-ho tot amb tempestes o catàstrofes, podria ser excessiu.


La bola de neu comença a rodar

Desconec el detall de com es van produir els fets concrets i, per fer-nos una idea, hauríem de ser capaços d'imaginar-nos múltiples escenes paral·leles; però és plausible que anés de la següent manera:

Pels volts de dos quarts d'una del 12 de juny...

Els alumnes ja han ocupat el seu lloc en les aules i es comencen a repartir els exàmens de matemàtiques de les Proves d'Accés a la Universitat (PAU). També hi són els alumnes que s'examinen de Llatí o de Dibuix Artístic, però a aquests no els destorbàrem. En la prova hi ha sis preguntes i se n'han de contestar cinc. La primera és força ocurrent (de fet, bona part de l'examen és "ocurrent" i prou original per ser de matemàtiques)...

La primera pregunta tal com la van veure els alumnes examinats

Superada la sorpresa inicial davant la "sopa de lletres", molts alumnes se n'adonen que la resolució de l'exercici no presenta massa dificultats, substitueixen la x per 2; la y, per 1 i la z, per –1, i procedeixen a solucionar el sistema. Les solucions són fraccionàries: a  = –9/2, b = –1/2 i c = –5/2.

Cap a tres quarts d'una (o potser abans)...

Alguns alumnes i alguns correctors troben estrany el primer membre de la tercera equació (de fet, no és més "estrany" que tota la segona equació). cx – by + 2x? Aquest darrer 2x no serà un 2z? Alguns correctors, amb el zel propi de la seva funció, comproven que, en la plantilla de solucions que els han lliurat, el sistema que apareix solucionat no és el del full d'enunciats, sinó aquest:

La primera pregunta tal com s'havia pensat inicialment

És més usual trobar-se els sistemes escrits d'aquesta manera, amb només una x, una y i una z en cada equació; però la dificultat dels dos enunciats és la mateixa. Aquest segon enunciat tè solucions enteres (a = 3, b = 1 i c = 2), però això no en disminueix ni n'augmenta la dificultat per als alumnes de batxillerat.


S'inicia el guirigall

A Catalunya hi ha 151 tribunals de les PAU i, evidentment, és complicat que s'actuï alhora i de la mateixa manera. Si no s'hagués dit res, només calia canviar les plantilles de solucions; però molts correctors indiquen el canvi d'enunciat als alumnes: alguns els diuen que, si ja el tenen fet, el tornin a fer; d'altres, que donaran per bons els dos enunciats (fins i tot hi ha els més "legalistes" que diuen que ells donaran per bona qualsevol de les dues opcions, però si es demana una doble correcció no es fan càrrec de com actuarà el segon corrector). No a tots els examinands se'ls avisa en el mateix moment, en algunes aules s'interromp l'examen més d'una vegada per donar les orientacions... Per acabar-ho d'adobar, alguns tribunals allarguen el temps de la prova i d'altres, no.


La tàctica de Jack l'Esbudellador

Em permeto un comentari general amb una mica d'humor negre. Hi ha una tàctica, que s'ha utilitzat per enfrontar i comentar la repercusió d'aquests esdeveniments, que jo anomeno tàctica de Jack l'Esbudellador. Consisteix en cercar excuses analitzant els problemes "per parts", en lloc de veure'ls globalment. L'han utilitzat membres de l'Administració i alguns comentaristes que podreu trobar a la xarxa (alguns d'aquests darrers, no cal dir-ho, són trolls). Expliquen, de vegades de manera vehement i insultant, que, en qualsevol dels dos enunciats, l'exercici era molt senzill i que no hi ha motius per queixar-se. Obliden que els alumnes estaven ja en el segon dia d'examen (de fet, des de dos quarts de nou, s'estaven examinant i ja portaven dues proves), que alguns ja havien acabat aquest exercici (n'hi havia que estaven solucionant el bonic tercer enunciat), que en els tres dies que duren les proves els alumnes poden obtenir el 57% de la seva nota d'admissió a la Universitat i això provoca angoixa, etc.

El més trist és que aquesta tàctica és d'ús comú quan es tracta de les PAU. Si goseu criticar qualsevol prova, us faran un puzzle amb cadascuna de les qüestions i us aniran justificant la bondat i l'adequació de cada peça.


Intervé l'Administració

L'endemà, 13 de juny, el Consell Interuniversitari de Catalunya (CIC) emet un primer comunicat. N'incloc un fragment perquè, quan vaig llegir els diaris, em va semblar que els periodistes no sabien de què parlaven... i llegint el comunicat, me n'adono que la culpa no era dels plumífers:

Fragment del comunicat del CIC del 13 de juny

No cal dir, que el sistema "tal com estava formulat" només tenia una solució (que un sistema es pot resoldre de moltes maneres ja fa segles que ho sabem). Suposo que en el CIC, quan es va redactar el text del 13 de juny, no hi havia cap matemàtic de guàrdia (i això que el secretari general és Claudi Alsina!).


Cullerada política i el CIC acota el cap

Amb aquest do que tenen els polítics nacionals per embolicar-ho tot —i més si es pensen que la seva actuació rebrà els aplaudiments dels públic— el govern va recomanar la repetició de l'examen "per tal de garantir la igualtat d'oportunitats" (El govern recomana que es pugui repetir l'examen de matemàtiques de la selectivitat). La Secretaria d'Universitats i Recerca en el seu comunicat del 20 de juny, on proposa aquesta repetició, parla ja d'error humà (comunicat del 20/06/2013). La repetició, però, l'única cosa que ha fet és afegir-hi desigualtats: n'han sortit beneficiats els alumnes que tenien les matemàtiques suspeses i que havien posat aquesta assignatura en la fase específica (els que la tenien en la fase comuna hi podien perdre molt tornant a fer la prova ja que no agafaven la millor nota dels dos exàmens). A més, paradoxalment, s'han pogut presentar a la repetició alumnes que havien descartat aquesta primera pregunta i havien fet les cinc restants. Si a això hi afegim que les PAU, a efectes pràctics, és una prova en la qual els alumnes competeixen entre si...

El 21 de juny el CIC desfà el seu enroc i anuncia la repetició de la prova per als alumnes que vulguin (comunicat del 21/06/2013). En aquest anunci fa una defensa de l'organització de les PAU i parla dels molts anys d'experiència. Us puc explicar que l'han vessat d'altres vegades; però en aquesta ocasió l'errada era molt objectivable i les xarxes socials tenen molt més pes que fa uns anys.


Coda. Però no s'ha acabat!

Ahir divendres, 5 de juliol, un terç dels alumnes es van tornar a presentar a l'examen de matemàtiques (El Govern destaca la "normalitat absoluta" del segon examen de Matemàtiques de les PAU). Un 80% d'aquests havia suspès el primer examen...

M'he centrat en l'anècdota, però em fa l'efecte que el primer examen era criticable globalment (per començar, era llarg) i que les PAU són criticables ja començant per la seva estructura: no he vist cap altra prova que contingui tantes paradoxes numèriques en la seva qualificació. Ja em parlarem, ja, de les matemàtiques de les PAU! 

Selectivitat 2013: La comèdia dels errors?

Segurament, ara que el ministre Wert es vol carregar les Proves d'Accés a la Universitat (PAU) en el seu format actual, faria bé d'alabar-ne les virtuts en lloc de comentar-ne els defectes i les anècdotes negatives; però, enguany, hem entrat en un procés d'embolica-que-fa-fort que em convida a escriure aquesta entrada (deixaré per a gent més assenyada la defensa de les bondats del sistema educatiu actual). De fet, quan he escrit sobre la Selectivitat, comentant perquè no m'agrada dir-ne PAU!, ho he fet sempre des del punt de vista més crític (podeu llegir Selectivitat 2011: I les solucions?) i, fins i tot, amb l'acompanyament d'una vuvuzela (o com deia, amb un cert enginy lingüístic, un dels meus alumnes de física: una bubusina).


Les solucions!

Com que molts dels amables lectors que han arribat fins aquí ho han fet, suposo, sense més interès que localitzar les solucions de les proves, començo per això. Ja no ens podem queixar del retard en la publicació de les plantilles de correcció, però estan un xic amagades: hores d'ara no les trobareu en l'apartat de models d'exàmens juny 2013 al costat dels fulls d'enunciats com hauria de ser, sinó en criteris específics de correcció i qualificació... Suposo que passats uns dies les reubicaran; però, de moment, si voleu consultar-les, feu clic en l'enllaç anterior o en AQUÍ LES SOLUCIONS! 


Després de demanar disculpes a Shakespeare, comencem l'anecdotari

Us haig de confesar que no estic gaire satisfet del títol d'aquest escrit i m'he permès posar un interrogant a La comèdia dels errors (The Comedy of Errors és una de les magnífiques obres teatrals de William Shakespeare,  demano perdó pel fet de manllevar-ne el títol) perquè, tot i que els mitjans de comunicació han posat molt èmfasi en les errades més formals de les PAU, els problemes més greus no han estat en la impressió dels fulls d'enunciats ni han començat aquest curs. Com que, de moment, no tinc massa ganes d'anar al fons de la qüestió, ja em perdonareu si us sembla que aquest escrit és un pèl superficial (potser en d'altres ocasions agafaré més altura; permeteu-me, avui, un vol gallinaci).


Les errades no-humanes i les impressions quàntiques

D'altres anys, els periodistes han fet acte de presència el primer dia de les PAU per informar bàsicament dels exàmens de llengua i han desaparegut en dies posteriors. Enguany el primer dia, 11 de juny, també va ser notícia l'examen de Matemàtiques aplicades a les ciències socials. Veieu-ne l'encapçalament:

M'he permès subratllar en vermell la flagrant errada ortogràfica (que ja no trobareu en el pdf que s'ha penjat posteriorment en el web de la Generalitat). Cal dir, per tal de posar l'escàndol en context, que tots els fulls i quadernets d'enunciats porten un peu de pàgina que diu: "L'Institut d'Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l'edició d'aquesta prova d'accés". Si ens oblidem de les errades ortogràfiques (com a exercici us proposo que compteu quantes faltes hi ha en els criteris de correcció d'Història de l'Art), allò que ha marcat les PAU d'enguany són les errades tipogràfiques o d'impressió: n'hi havia una en l'examen de Matemàtiques (les altres matemàtiques, les del nom curt) que sembla que provocarà la repetició de la prova per als alumnes que ho desitgin, n'hi havia una altra en un nombre d'una taula de dades en l'examen de Geografia... (llegiu-ne els detalls en El Govern investigará los errores en los exámenes de selectividad).

I patètiques i ridícules han estat les declaracions inicials d'alguns responsables de les proves! En un primer moment, ens van dir que no hi havia cap errada humana i que eren errades d'impressió. L'única explicació científica  que se m'acut per justificar aquesta excusa és l'existència d'efectes quàntics en l'impremta: l'article "les" (de "les" matemàtiques aplicades) tè una funció d'ona associada a la segona lletra que per efectes probabilístics va col·lapsar en una "a" en el moment que algú es va mirar el full (si sou físics newtonians i no compreneu això que dic, aneu a ¿Por qué colapsa la función de onda tras una medición?). L'excusa de les errades no-humanes, em va recordar aquella criatura mediàtica que, acusada de plagi, s'excusava en una errada informàtica (aquí en trobareu els detalls).


A grans mals, samarretes personalitzades

Quasi ningú n'ha parlat públicament, però em sembla que si ens fixem en les proves de matemàtiques, l'anàlisi no s'hauria de quedar en les errades de tipografia. Com a professor de la matèria em dol que alguns alumnes entrin a l'aula ja derrotats i amb esbufecs. Si després, a més, es troben amb rectificacions dels enunciats o amb exercicis, amb elements "distractors", com els de l'exercici de càlcul matricial de l'examen de les matemàtiques científico-tecnològiques, no m'estranyen algunes reaccions cap a l'assignatura de matemàtiques. Ja veureu, per la qualitat, que no sóc dissenyador, però què us sembla aquesta samarreta personalitzada amb la matriu més irracional que heu vist mai?

No sé on, vaig llegir que fa uns anys, i per financiar el viatge de final de curs, els  alumnes de la Facultat de Matemàtiques, em sembla que de la UAB, venien unes samarretes amb tot de nombres irracionals al davant i amb la llegenda "Som irracionals", al darrera (no ho he pogut comprovar, si algú en té proves i me les vol enviar...). Això que us proposo és una samarreta més "viscuda", potser no tan ocurrent com algunes que es comercialitzen (que consti que no tinc comissió per la següent imatge i que cedeixo els drets del disseny anterior):

Un disseny de Zazzle

En fi, ja tornaré a parlar de les PAU i de la gestió que s'ha fet de la "crisi"... Si us heu examinat aquest any, deixeu-me que us desitgi Molta sort amb les notes i benvinguts al país quàntic!

L'Excel de Reinhart i Rogoff: anumerisme, numeritis o numerosi? (II)

En l'entrada anterior a aquesta (vegeu L'Excel de Reinhart i Rogoff: anumerisme, numeritis o numerosi? (I)) vaig fer una introducció i uns primers comentaris entorn del polèmic estudi Growth in a Time of Debt de Carmen Reinhart i Kenneth Rogoff. Al revisar l'article d'aquests prestigiosos economistes, l'estudiant de doctorat Thomas Herndon es va trobar amb flagrants errades de càlcul i una dubtosa metodologia. En aquesta segona entrada, després de proposar-vos alguns enllaços, comentaré en què es basen les crítiques a aquest estudi, però no me'n podré estar de posar de manifest que la mala praxi que hi apareix és un mal estès i bastant generalitzat originat per una concepció de la macroeconomia que pateix de numeritis i numerosi (deixarem la mala fe i els interessos creats per a d'altres comentaristes).


La Xarxa en va plena

Per poc que cerqueu per internet, trobareu aquest cas analitzat des de les òptiques més diverses. Per exemple (i no cal que cliqueu en tots els enllaços, evitareu la saturació):

• A La mala praxis de Rogoff i Reinhart en el web Punto de vista económico hi trobareu una anàlisi bastant objectiva d'un economista. Les aportacions dels comentaristes són força interessants.
 
• El error de Reinhart i Rogoff  (Nada es gratis) és força breu i entenedor. Alguns comentaristes es pregunten què té de dolent utilitzar Excel en la investigació econòmica!?
 
• La tésis Reinhart-Rogoff o cómo joder a millones de personas con una hoja de Excel  (en El Cuaderno de Luis) és una visió més indignada de l'assumpte amb falta d'ortografia inclosa (tésis repetidament amb accent?). (1)
 
• En El caso Reinhart-Rogoff y porqué dejé de ser un economista del mainstream hi podeu llegir l'opinió d'un neoliberal (anònim?) amb crítiques de com ha portat la polèmica "la prensa de izquierdas".
 
• Finalment a Does High Public Debt Consistently Stifle Economic Growth? A Critique of Reinhart and Rogoff  hi podreu consultar les detallades explicacions del propi estudiant Herndon i dels economistes Ash i Pollin. I si sou uns fanàtics de l'economia i domineu l'anglès, vegeu aquí algunes crítiques de les crítiques.
 

En algun lloc he pogut llegir que si el nobel d'economia Joseph E. Stiglitz —que sempre ha defensat tesis oposades a les de Rogoff— no ha badat boca és perquè no n'hi per tant, però sembla que Mr. Stiglitz, si més no, piula.


De què se'ls acusa?

En alguns dels enllaços que he anat donant trobareu anàlisis força acurades de les errades de Reinhart i Rogoff; pero, en resum, les crítiques es basen en:

• Haver descartat dades de cinc països que curiosament contradiuen les seves conclusions i haver fet un ús gens acurat de les dades.
 
• Utilitzar un programa generalista com Excel i haver comès errades en la introducció de les fórmules en el full de càlcul. Hi ha paquets estadístics més adequats per a aquest tipus d'estudis, però hi afegiria que el tractament estadístic de les dades és elemental i matusser..
 
• Confondre la correlació (la relació estadística entre variables) amb la causalitat. Aquesta és una errada comuna d'aquells que fan un mal ús de l'estadística. Per posar-vos un exemple que de vegades he utilitzat a classe: la llargada dels peus d'un individu té una correlació negativa amb el nombre de faltes d'ortografia que fa. En un estudi estadístic, on podem agafar tots els habitants d'una ciutat, veuríem que a peu més gran, menys faltes. Jo he viscut aquest fenomen a nivell individual: quan calçava un 25 feia més errades ortogràfiques que ara que porto un 45! Aplicat a l'economia, que l'augment del deute correlacioni amb una baixada de creixement no justifica, per si sol, que hi hagi una relació causal. Reinhart es defensa dient que: "By the way, we are very careful in all our papers to speak of “association” and not “causality” since of course our 2009 book THIS TIME IS DIFFERENT..." Cal dir a Reinhart, i al seu col·lega, que l'"association", en un estudi suposadament científic, és només un primer pas i que, si ens hem de quedar en aquest graó, l'estudi no està acabat! Popper ens diria que la no-associació sí que és una dada científicament rellevant.

On estava l'àrbitre?

Un aspecte d'aquest assumpte que ens ha sorprès a molts és la manca de revisió de l'article. Els articles que es publiquen en les revistes serioses de ciències o matemàtiques són prèviament revisats, com a mínim, per dos experts en la matèria (referees) que si hi detecten errades o incorreccions poden arribar a impedir-ne la publicació. Aquest ús, que s'anomena  peer review en anglès, es tradueix de diferents maneres en castellà o catalá: revisión por pares, avaluació d'experts... És una pràctica generalitzada, té els seus defectes (vegeu, per exemple, El sistema de revisión por expertos (peer review): muchos problemas y pocas soluciones del físic Juan Miguel Campanario), però és un sedàs previ imprescindible que impedeix que surtin a la llum la majoria de bunyols com aquest que ens ocupa.


Anem al fons (2)

Crec que un dels problemes de fons, està en un mal ús de les matemàtiques. No en podem dir, però, anumerisme (a propòsit d'aquest terme, vegeu No fa gràcia, fa por: l'anumerisme o L'analfabetisme matemàtic i les seves conseqüències en aquest mateix blog). Evidentment el mal ús hi és, entre d'altres coses, però no diria que la causa és la ignorància. Vaig estar a punt de batejar-lo numerisme (però aquesta paraula s'utiliza en francès, numerisme, per referir-se a l'auge de les tecnologies digitals i els seus usos). Cercant per internet vaig trobar, i em van agradar numeritis i numerosi. Karim F. Hirji, professor de bioestadística a Tanzània, els explica molt bé en Numerosis and Numeritis: Twin Pathologies of Contemporary Statistics. Si teniu dificultats amb l'anglès, podeu consultar l'interessant Numerosis tipo ONU on es pot llegir en castellà la següent explicació:

Hirji considera la numerosis como un padecimiento que consiste en la “tendencia creciente a cuantificar, enumerar, recoger, almacenar, procesar, utilizar y representar datos relacionados a todas las facetas de la sociedad y más”.  Para él, la patología de la numeritis se relaciona con “la calidad y acuracidad [nota de edición: exactitud] intrínseca de las estadísticas y con la naturaleza, validez y confiabilidad de las conclusiones o representaciones basadas en ellas”.  La numerosis es la aflicción de obsesión por la cuantificación, la cual concede carácter real a todo lo que pueda cuantificarse, a la vez que menosprecia el valor de lo no cuantificable.  La numerosis se hace patente en las palabras de Lord Kelvin quien expresó que “cuando puedes medir un asunto y expresarlo con números, sabes algo sobre ese asunto; pero si no puedes medirlo, si no lo puedes expresar con números, entonces tu conocimiento es pobre e insatisfactorio”.  Tal parece que la numerosis es una seria patología sumamente contagiosa.

I m'agradaria acabar amb una reflexió i una pregunta. Hi ha persones que pensen que els científics i els matemàtics són éssers freds i sense massa escrúpols que no es preocupen de l'aplicació i de l'abast ètic dels seus descobriments. I evidentment n'hi ha d'aquests, però es poden posar nombrosos exemples que ens demostrarien l'actitud contrària, per exemple: Robert Oppenheimer  i Albert Einstein en relació a l'ús militar de la física nuclear. Si coneixeu, però, algun macroeconomista de perfil neoliberal (tipus Milton Friedman per entendre'ns) que hagi demostrat la menor preocupació per les conseqüències socials del seu treball o que hagi rectificat alguna de les seves tesis principals, si us plau, comuniqueu-m'ho. Clar que, quan un és un gran expert, no s'equivoca mai!

Forges sempre tan agut (El País)

Addenda de l'1 de juny de 2013

(1) Si cliqueu en l'enllaç que us porta al blog de Luis Soravilla,  ja no podreu llegir la "tésis" amb accent: el seu autor ha corregit la falta. A més, Luis m'ha fet l'honor de ser el primer comentarista d'aquesta entrada.

(2) No n'estic segur d'haver anat massa al fons de la qüestió. Com més informació llegeixo, més inquietant ho trobo tot plegat. Aquells que defensen les idees de Reinhart i Rogoff, s'escuden en el fet que les errades de càlcul no afecten massa el resultat de l'estudi i que les conclusions, tanmateix, són certes (vegeu, per exemple, La verdad del debate Reinhart Rogoff). Potser no ens calen tants macroeconomistes, perquè si els fets són tan evidents, quin sentit tenen aquestes investigacions acientífiques de metodologia més que dubtosa. No m'imagino Andrew Wiles, quan es van trobar errades en la seva primera demostració de la conjectura de Fermat, replicant "el meu treball no està bé del tot, però és evident que la conjectura és certa".  L'esvalotament del galliner va in crescendo, el nobel d'economia Paul Krugman ha volgut participar en la polèmica i Reinhart i Rogoff contraataquen de manera "poc acadèmica" (Guerra de economistas: Reinhart y Rogoff llaman “incívico” a Krugman). Per cert, Carmen Reinhart ha estat aquests dies, per Catalunya, donant lliçons (Reinhart advierte de que los ajustes fiscales no son suficientes).