Més enllà de la tercera dimensió: l'hipercub (I)

Introducció

En l'entrada immediatament anterior a aquesta (Més enllà de la tercera dimensió: notes inicials) vaig avançar que, en la següent, parlaria de l'hipercub. Només començar a escriure ja se'm presenten problemes terminològics: per a alguns un hipercub és només un cub de quatre dimensions; d'altres, generalitzen el concepte i parlen d'hipercubs n-dimensionals o n-cubs (així l'hipercub de quatre dimensions és el 4-cub). Com que, ara per ara, els articles de les viquipèdies peninsulars fan tentines en aquest tema, us dono l'enllaç a la Wikipedia anglesa: Hypercube.

La confusió no acaba aquí, alguns anomenen tesseractis (teseracto, en castellà; o tesseract, en anglès) al 4-cub, per a d'altres, el tesseractis només és el desenvolupament tridimensional del cub (l'anàleg al desenvolupament pla d'un cub o 3-cub). El desenvolupament pla d'un cub està format per sis quadrats que doblegats en l'espai formen un cub; el desenvolupament del 4-cub consta de vuit cubs que plegats en un espai de quatre dimensions formen un hipercub.

Desenvolupament d'un 3-cub i d'un 4 cub (extret de Matemáticas en el instituto)

Una mica d'història i d'art

El matemàtic i escriptor anglès Charles Howard Hington (1853-1907) sembla ser el responsable d'anomenar tesseractis (tesseract) a l'hipercub. Va crear un mètode per tal que la gent aconseguís visualitzar la quarta dimensió i van córrer rumors que algú va embogir intentant-ho (espero que els meus escrits no provoquin els mateixos efectes). Posats a llegir sobre dimensions, prefereixo l'imprescindible Flatland: A Romance of Many Dimensions  d'Edwin Abbott Abbot (1838-1926). Però no comento res més del llibre d'Abbot que es mereix una entrada sencera.

Més recentment,el  pintor Salvador Dalí (1904-1989), intel·ligent i llest com era (va arribar a declarar per televisió: "Si fuera menos inteligente, pintaría mucho mejor"), fa una clara referència a un hipercub en una de les seves obres. Com que, a més, és un quadre molt adient per a un Divendres Sant, no me n'estic d'inserir-ne la imatge:

Cruxifixion o Corpus Hypercubus (Salvador Dalí, 1954)

Aquest quadre de Dalí, datat el 1954, es troba actualment en el Metropolitan Museum of Art (Nova York). En el sorprenent blog Turisme matemàtic en podreu trobar una referència (Hipercub dalinià a NY). Lògicament, l'artista no pinta un hipercub, sinó una representació bidimensional del desenvolupament tridimensional d'aquest cos! Per cert, la semblança d'aquesta creu amb la creu gaudiniana de quatre braços (coneguda també com a creu tridimensional) no sé si només és fruit de la casualitat.
  
I com a darrera referència artística podríem citar una pel·lícula: Cube 2: Hypercube (Sekula, 2002), però no l'he vista i en desconec la qualitat.


Proper lliurament de la sèrie

El meu propòsit inicial era incloure en aquest escrit una aproximació matemàtica a l'hipercub (euclidiana, cartesiana...); però, com que és tard i vol ploure (i això s'allargaria massa), ho deixo per a una propera entrada.

Més enllà de la tercera dimensió: notes inicials

Introducció

En un comentari a l'article I les altres geometries?, un lector habitual del blog reconeixia la seva perplexitat quan s'havia d'enfrontar amb el concepte de dimensió: "(...) per a mi, la 4a dimensió ve a ser com la 3a Persona ST." Això de comparar una dimensió suplementària amb una de les persones de la Santíssima Trinitat (hi poso un enllaç per a aquells jovencells que poden confondre el dogma catòlic amb una illa del Carib), em va semblar ben trobat i vaig prometre que dedicaria una entrada al concepte de dimensió. Ai, no sabia pas què deia! Han passat els mesos, hi he anat pensant, una cosa porta a l'altra... i tinc idees i material per dedicar-hi, no unes quantes entrades, sinó un blog sencer o una obra enciclopèdica d'un estil semblant a aquella que Edward Gibbon va dedicar a la caiguda de l'Imperi Romà.

En la meva resposta al comentari, em vaig atrevir a insinuar que al meu interlocutor li podia dirigir aquelles mateixes paraules que, en la immortal obra de Shakespeare, Hamlet dirigeix a Horaci: "There are more things in heaven and earth, Horatio, than are dreamt of in your philosophy." I aquí, a més i des del punt de vista de les ciències exactes, que "una cosa" tingui existència terrenal o celestial no és una condició necessària perquè la puguem estudiar i estructurar matemàticament. Une altre assumpte, és que un sigui capaç de visualitzar el concepte. I ara demanaré el testimoni de Stephen Hawking! En el seu llibre Història del temps. del Big Bang als forats negres, traduït magníficament al català pel físic i escriptor David Jou, escriu:

Sovint resulta útil imaginar les quatre coordenades d'un esdeveniment com si especifiquéssim la seva posició en un espai quadridimensional denominat espai-temps. És impossible imaginar un espai quadridimensional anomenat espai-temps, o cap altre espai quadridimensional. Personalment, em resulta difícil fins i tot visualitzar espais tridimensionals!

Història del temps

Curiosament, un altre físic i matemàtic que ha treballat amb S. Hawking, Roger Penrose, ens sorprèn afirmant que ell si que ha pogut visualitzar la quarta dimensió (almenys així ho escriuen aquí, si hi feu clic no us perdeu els comentaris).


La paraula dimensió és polisèmica!

Si hem de moblar una habitació i parlem de les dimensions que ha de tenir l'armari, no hi ha polisèmia que valgui! Tothom entén que donant tres nombres i on el posarem, ja ens podem fer una idea de com quedarà aquest moble en l'habitatge i si disposarem de gaire espai lliure per fer acrobàcies. Ah! però quan utilitzem aquesta paraula em matemàtiques o física, o el context ens dóna una pista o hem d'especificar molt bé de què estem parlant (vegeu, per exemple, l'entrada dimensió a Viquipèdia). Estem acostumats a parlar de les tres dimensions de l'espai físic, però les dimensions d'aquest "espai" són discutilbles i discutides. Hi ha algunes teories físiques actuals que parlen d'un univers hologràfic de dues dimensions (i nosaltres ens il·lusionem amb la tercera!), hi ha l'espai més clàssic de tres dimensions que a Kant (a priori) l'encantava, tenim les quatre dimensions de l'espai-temps relativístic, i ens meravellem de les 10 o les 26 dimensions de la teoria de cordes. Però no cal preocupar-se, en les versions més habituals d'aquesta darrera teoria, les dimensions suplementàries estan "cargolades" i per això no les detectem! Us deixo amb el primer vídeo de la sèrie 10 Dimensions Universe (Explanation) per tal que comenceu a fer bullir l'olla:

Si deixem els conills que els físics teòrics es treuen del barret,  dit això amb tot el respecte, i tornem a les matemàtiques, aquí no cal ni que les dimensions siguin enteres! (vegeu dimensió fractal). A més, per exemple, en anàlisi matemàtica, en càlcul vectorial, o en general  en àlgebra lineal, és habitual anar més enllà de les tres dimensions. De fet,  no cal imaginar-se les dimensions com quelcom físic: quan intento, generalment de forma poc reeixida, que els meus alumnes deixin de relacionar els vectors amb el pla o amb l'espai, els proposo que construeixin un vector amb les seves qualificacions i així obtenen un vector d'uns deu o onze components (un per a cada assignatura).

Sento que algú em diu "Alto! Estàs fent trampes! Nosaltres volíem que ens  parlessis de quatre o més dimensions geomètriques i ens surts amb tirallongues d'onze nombres i dimensions recargolades que no podem veure!" No patiu que en la propera entrada parlaré de la quarta dimensió "geomètrica" i intentarem acostar-nos a la visualització d'un hipercub (el cos equivalent a un cub, però en quatre dimensions!)

Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013

1. El dia de Pi

El passat dijous m'hagués agradat dedicar algun breu escrit al Dia de Pi, però a la feina estàvem acabant el trimestre i els tancaments d'avaluació de secundària no són els millors moments per a la creativitat ni per a la lírica. Per als llecs en els calendaris cerimonials matemàtics, comentaré que el 14 de març —mig en broma— se celebra el Dia de Pi perquè, tal com s'indiquen les dates als Estats Units (mes/dia/any), 3/14 coincideix amb els tres primers dígits de Pi. El Senyor Pi em sabrà perdonar si té a bé considerar els molts escrits que ja li he dedicat (vegeu, per exemple, El dia de Pi (III). Posem-hi música).

D'altres, més destres, li van fer els honors que es mereix. Em permeto recomanar-vos tres enllaços:

L'algorisme de Chudnovsky

A Gaussianos, el meu web de capçalera, ens van parlar de l'algorisme dels germans Chudnovsky per calcular decimals del nombre Pi (El algoritmo de Chudnovsky, o cómo se calculan los decimales de Pi en el siglo XXI). Aquest impressionant algorisme permet calcular catorze decimals exactes d'aquest nombre irracional en cada "iteració" (sóc conscient que aquí utilitzo "iteració" en un sentit no massa rigorós). Ja havia explicat alguns mètodes de càlcul dels decimals de Pi en Com es poden calcular els decimals de Pi? i en El dia de Pi (II). El determinisme de l'atzar, però la potència del mètode dels Chudnovsky deixa enrera la majoria dels mètodes dels quals he parlat (que d'altra banda, són més fàcils de justificar teòricament).

Algunes propostes per al dia de Pi

A microsiervos adopten un to més festiu i, després de proposar algunes boges activitats per al dia de Pi (¡Feliz día de pi!), ens indiquen com podem aproximar Pi amb bales (de les de jugar! d'aquelles que en castellà en diuen "canicas" i a La Garriga, "caliues").

I que no falti la música!

Sense demanar perdó als melòmans, El espejo lúdico ens proposa una cançó a Feliz día de PI.

Per acabar aquest apartat, jo sí que demano perdó, si els he ofès en alguna cosa, als creients en Tau (The Tau Manifesto) que els heretges, corrent majoritari, coneixem com 'dosPi'.  


2. La Prova Cangur 2013

I fent un saltet, de cangur i de set dies, anem del Dia de Pi al dijous 21 de març que celebrarem a casa nostra la Prova Cangur. Com que d'aquesta  festa de les matemàtiques  n'he escrit a bastament en aquest bloc (o blog), us emplaço a que, si la desconeixeu, cliqueu en la categoria Cangur  per informar-vos, si us plau.

Cartell del Cangur 2013

Ah! i deixeu-me dir als milers d'alumnes de 2n cicle d'ESO i de Batxillerat de Catalunya que hi participaran: passeu-vos-ho bé! I si encara voleu fer una mica d'entrenament per a la prova, recordeu que en el web del Cangur hi ha, a part de les preguntes i solucions d'altres edicions, unes variades Propostes diverses per tal de practicar el raonament matemàtic. 

Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial

Des del curs passat, la fundació privada CELLEX, presidida pel químic i empresari Pere Mir (si en desconeixeu l'obra, podeu llegir "Mecenas en el hospital" i Mecenes per a la Ciència), ofereix el Programa CiMs-CELLEX que atorga una beca a 24 alumnes de secundària de Catalunya que els permet cursar un Batxillerat Internacional en Ciències i Tecnologia en el centre Aula Escola Europea (Barcelona) o en l'Institut Jaume Vicens Vives (Girona). Em sembla un projecte interessant ja que, a part d'oferir un batxillerat 'avançat' en ciències i matemàtiques per a estudiants que el poden, i volen, aprofitar, inclou estades d'estiu en centres de recerca. El diari La Vanguardia va publicar, el 13 de gener d'enguany, la notícia "Aventureros matemáticos" on es parlava del lliurament de les beques als alumnes del curs actual i de la convocatòria del procés de selecció per al curs vinent. TV3 també es va fer ressó de la notícia, ho podeu comprovar en el vídeo Beques a l'excel·lència.

Si heu fet clic en el darrer enllaç i heu vist el vídeo, permeteu-me una digressió. Quan he passat aquestes imatges en alguna de les meves classes, passant diverses vegades per l'entrada del professor a l'aula (només per provocar), alguns alumnes m'han dit "Que vols que ens aixequem quan entris?". Evidentment, no crec que aquesta qüestió formal sigui important, però el rerefons és un altre. Tal com va indicar un professor de secundària en una carta al director —crec que en La Vanguàrdia (en una polèmica, a propòsit del tractament de vostè, l'aixecar-se al començament de les sessions de classe, etc.), però no he pogut trobar la referència—, és impossible que els alumnes es posin dempeus perquè per fer-ho, haurien d'estar asseguts i atents a l'entrada d'algú, i això no acostuma a passar.

Tornem al tema principal! Si sou alumnes de 4t d'ESO i voleu optar a alguna d'aquestes escasses beques, encara hi sou a temps! Us podeu inscriure, de fet ho han de fer els vostres pares, fins el 24 de febrer. Compte, però, que sembla que les proves són exigents —no podria ser d'una altra manera. Una alumna de batxillerat que va partipar en el procés de l'any passat, recordava que li van demanar la següent demostració:

---

Els nombres imparells i els múltiples de vuit

Demostreu que, si al quadrat de qualsevol nombre imparell li restem 1, el nombre resultant és múltiple de vuit.

Demostració (28 de febrer de 2013) (+/- Mostra/Oculta)

Com que ja han passat deu dies des de la publicació de l'entrada, procedeixo a donar la demostració.

Els nombres imparells es poden indicar, algèbricament, de la següent manera: 2n + 1, amb n = 0, 1, 2, 3...

Els múltiples de 8 prenen la forma 8k, amb k = 0, 1, 2, 3...

(1) Volem demostrar que (2n + 1)² – 1 =  8k

(2) Desenvolupem el quadrat: 4n² + 4n + 1 – 1 = 8k

(3) Dividim l'expressió resultant per 4: n² + n  = 2k

(4) Traiem n factor comú, en el primer membre: n · (n + 1) = 2k

La majoria d'alumnes de secundària es queden "enganxats" en aquest darrer pas i, de fet, no cal fer cap més operació! Només hem de raonar!

Si la igualtat (4) és una identitat (és a dir, és certa per a qualsevol valor de n), com que totes les igualtats són equivalents (un matemàtic les podria enllaçar amb el símbol ⇔), podem tornar cap amunt, anar de (4) a (1), i, per tant, (1) també serà certa per a tot valor de n.

I és evident que (4) és una identitat! n · (n + 1) és el producte de dos nombres consecutius (el primer ha de ser parell i l'altre senar o a l'inrevés) i 2k és un nombre parell. L'expressió (4) ens indica, ni més ni menys, que el producte de dos nombres consecutius és un nombre parell. Com que això és cert sempre, (1) també ha de ser-ho, quod erat demonstrandum
.

Una altra demostració (29 de juliol de 2013) (+/- Mostra/Oculta)

Podeu llegir una altra demostració en un dels comentaris d'aquesta entrada. Me l'ha enviat un tal Ferdinand, amb data 29 de juliol, i la trobo senzilla i elegant. Com que és possible que en l'apartat de comentaris us passi desapercebuda, la incloc, amb data 3 d'octubre de 2013, en el cos de l'article.

(1) Desenvolupem l'expressió (2n + 1)² – 1:

(2n + 1)² – 1 = 4n² + 4n + 1 – 1  =  4n² + 4n = 4n · (n + 1)

(2) Tal com explica Ferdinand, procedim a la distinció de casos:

• Si n és parell, 4n · (n + 1) és múltiple de 8 (4n ho és).
• Si n és imparell, 4n · (n + 1) és múltiple de 8 (4 (n + 1) ho és).

I de nou, quod erat demonstrandum!
   

---

A mi, la demostració em sembla senzilla, quasi trivial. Però, quan em vaig parar a pensar amb més deteniment, em vaig adonar d'una mena d'estafa continuada de l'educació matemàtica a secundària: la majoria dels nostres adolescents no s'han hagut d'enfrontar a classe amb una pregunta semblant. Fem matemàtiques, però no els deixem gaudir del mètode matemàtic, ni en el seu nivell més senzill. He proposat aquesta qüestió a alumnes de 4t d'ESO i la primera reacció és de sorpresa. Ho hem de demostrar per a TOTS els nombres imparells! Després alguns són çapaços d'avançar-hi força, utilitzant el llenguatge algèbric, però incapaços d'arribar al final perquè se'ls escapa una evidència que tenen davant del nas.

Com que no us vull privar, almenys, de l'intent, deixaré passar uns dies abans de donar-vos una demostració. M'agradaria rebre comentaris d'aquells que ho aconsegueixen o es troben en un atzucac. Si us plau, no sigueu massa explícits i no expliqueu detalls importants del vostre mètode.

Nota bene: El temari d'enguany en la prova de selecció d'aquestes beques sembla que es restringeix al temari oficial de l'ESO (ho podeu veure en el web CiMs- CELLEX en l'apartat temari). Segurament això voldria indicar que quedarien descartades qüestions semblants a aquesta que us he proposat.

Hem pintat la façana!

Fa uns anys, el filòsof José Pablo Feinmann va provocar una certa polèmica a l'Argentina quan va afirmar que "cualquier pelotudo tiene un blog" (podeu veure Feinmann fent aquesta declaració en el vídeo Feinmann ataca). Molts blocaires se li van llençar a la jugular i no els faltava part de raó: podia haver dit "boludo" o "huevón", però es va decantar —amb la precisió terminològica típica de filòsofs i matemàtics— pel més agressiu "pelotudo". La meva intenció no és iniciar un curs de dialectologia, però si voleu escatir les subtileses de l'ús d'aquests tres mots feu clic aquí.

Deixem-nos de bromes i anem al gra: no sé dins de quina tipologia blocaire em classificaríeu, però aquest pobre bloc pateix un cert abandó. I no serà per falta d'idees! Però la feina diària, i que les entrades em surten cada vegada més recargolades, fan que els escrits vagin degotant — permeteu-me el castellanisme— de Pasqües a Rams. A més, l'aparença del I ara! Matemàtiques? no ha canviat des dels seus inicis. El nen se'ns ha fet gran, però encara porta el mateix vestidet!

Així el vèiem des del 2010

Com que el Sr. Google ens facilita molt el canvi d'aspecte (de plantilla, dirien els tècnics), he decidit que d'avui no passa i m'he posat a pintar la façana del bloc. Ja em direu si això fa que l'edifici sembli nou. És una petita renovació formal que hauria d'anar acompanyada d'altres millores que, al pas que vaig, cauran poc a poquet. Comprovareu que he fugit de fons de pantalla cridaners i de colors llampants, i he optat per una estètica austera i freda... Escrivint aquestes darreres paraules he recordat aquella frase, sempre trossejada i sovint mal traduïda, de Bertrand Russell: "Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpture..." Però d'això ja en parlarem un altre dia, que ara no toca!

Posats a netejar-li la cara al bloc, m'he carregat la presentació que, omnipresent, ens acompanyava en la lectura dels articles i que insereixo aquí per a la posteritat:

Presentació primigènia del bloc

N'haig de redactar una altra i posar-la en un lloc més discret, però no facis avui allò que puguis fer demà! Comentar alguna cosa més de Russell, per exemple.