Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!

Introducció. La tercera edició del Programa CiMs-CELLEX

Potser trobareu que no ve massa a tomb, i que aquesta introducció no lliga amb el títol de l'article, però començaré parlant del Programa CiMs-CELLEX. Aquest Programa ofereix la possibilitat de cursar un Batxillerat Internacional científic a l'alumnat de Catalunya. Enguany es convoca la 3a edició del procés per accedir a les beques d'aquests estudis i, per als interessats, cal dir que el període d'inscripció a les proves de selecció va del 23 de gener al 23 de febrer (trobareu la informació de primera mà en el web www.cims-cellex.cat). El curs passat ja vaig escriure un parell d'entrades on explicava aquest projecte i proposava algun problema per als nois i noies que vulguin prendre-hi part (vegeu Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial  i CiMs-CELLEX: un problema de quadrats; però, de moment, no llegiu els comentaris que apareixen al peu del segon article perquè hi desvetllo algunes pistes d'un parell de problemes que us proposaré tot seguit).

Per descomptat que em sembla un projecte digne d'elogis i necessari, però l'organització ofereix una infomació molt minsa i poc concreta del temari de les proves. Podeu accedir al document original fent clic aquí; però, com que suposo que, en algun moment, la seva aparença i contingut vergonyant farà que se'n corregeixi el format i es detallin degudament el conceptes, n'he fet una captura de pantalla:

El temari de les proves de selecció de les Beques CiMs-CELLEX

A tall d'exemple, ¿algú em pot contestar si el Teorema de Bayes i la probabilitat condicionada entren en l'apartat "Nocions bàsiques de probabilitat i estadística"? En la secundària obligatòria no s'acostuma a treballar de forma sistemàtica aquest contingut, la probabilitat condicionada, però l'any passat sí que va caure un problema, cal dir que bastant clàssic, d'aquest tipus. Clar que això ho sé gràcies a les informacions que m'han fet arribar alguns participants. Desconec si es publiquen les proves ja realitzades, però estaria bé que fossin públiques!

Un temari més detallat i algun manual d'entrenament (com el que es disposa, per exemple, per a la preparació de l'Olímpiada Matemàtica), orientaria els participants i serviria per a fomentar la cultura matemàtica, fins i tot, d'aquells que no acabin participant en el projecte. Mentrestant, molts joves interessats van donant pals de cec i una prova és que, quan reviso quines paraules clau de cerca porten als internautes a aquest blog, em trobo amb molts "CiMs-CELLEX". Una altra prova de càrrec són els comentaris que podeu llegir en els articles que he dedicat a aquesta iniciativa de la Fundació CELLEX: la majoria, d'estudiants de secundària, però, també, d'alguna mare raonablement angoixada. En l'entrada CiMs-CELLEX: un problema de quadrats (ep! recordeu de no llegir-ne la part dels comentaris), un dels interlocutors, en Jofre, estudiant de secundària que vol preparar l'accés a les beques, ens proposava un problema interessant.


Un problema de cabres, gallines i coloms (versió 1)

El problema del qual n'ignoro la font escrita, fa el pes per a proposar-lo en les proves de selecció. Diu així: 

Un home va anar a vendre al mercat cabres, gallines i coloms que en total feien 100 animals venuts. Si les cabres les venia a 25 €; les gallines, a 5 € i els coloms, a 0,20 €, i en total va fer 500 €, ¿quants animals va vendre de cada tipus?

Com la majoria de vegades que presento un problema, us recomano que l'intenteu resoldre abans de clicar la solució. No sigueu gallines i intenteu-ho!

Té raó l'autor del blog Mateolivares quan qualifica aquesta gallina de quasimatemàtica

---

Solució del problema de cabres, gallines i coloms (versió 1) (+/- Mostra/Oculta)

Si x és el nombre de cabres; y, el de les gallines i z, el dels coloms, podem expressar l'enunciat en dues equacions:

\(\begin{cases}x + y + z = 100\\25x + 5y + 0,20z = 500\end{cases}\)

La primera equació expressa el nombre total d'animals i la segona, el seu preu.

El sistema d'equacions pot ser una mica sorprenent per als estudiants de l'ESO: té tres incògnites i només dues equacions A més, les solucions només poden ser nombres naturals (el nombre de cabres, gallines o coloms no pot ser negatiu, fraccionari o irracional).

Per començar a solucionar el problema aïllem una incògnita de la primera equació:

\(z = 100 - x -y\)

Passem aquest valor a la segona equació i operem:

\(25x + 5y + 0,20 (100 - x - y) = 500\)

\(25x + 5y + 20 - 0,20x - 0,20 y =500\)

\(24,80x + 4,80y  = 480\)

No és necessari —però entenc que té un cert valor pedagògic i permet entendre millor el problema—, el fet d'escriure aquesta darrera equació amb coeficients enters; multipliquem per 10 i després dividim pel mínim comú múltiple 8:

\(248x + 48y  = 4800\)

\(31x + 6y  = 600\)

En aquesta darrera expressió aïllem y:

\(y  = \dfrac { 600 - 31 x }{ 6 } = \dfrac{600}{6} - \dfrac{31x}{6} = 100 - \dfrac{31x}{6}\)

I aquesta darrera equació és la clau per a resoldre el problema! Si la relació entre y i x és

\(y = 100 - \dfrac{31x}{6}\)

i ambdues incògnites només poden prendre valors enters, els valors de x han de ser múltiples de 6.

Descartant x = 0 que significaria que hi ha 100 gallines, sense cabres ni coloms; només hi ha tres solucions amb els tres nombres enters positius (el nombre de coloms es calcula sabent que la suma total d'animals ha de ser 100):

Per a x = 6 cabres, tenim 69 gallines i 25 coloms.

Per a x = 12 cabres, tenim 38 gallines i 50 coloms.

Per a x = 18 cabres, tenim 7 gallines i 75 coloms.

A partir de 24 cabres, sortirien 24 gallines negatives, les solucions deixen de tenir sentit per a aquest enunciat!
 

---

Un problema de cabres, gallines i coloms (versió 2)

Quan tot cofoi vaig comunicar la solució al proposant del problema, aquest em va escriure "ui, perdó, m'he equivocat, el preu dels coloms no era 0,20 €, sinó 0,25 €". No passa res, ara tenia dos problemes pel preu d'un! Mantenint la resta de dades, ¿com afecta l'encariment del preu dels coloms al problema?

---

Solució del problema de cabres, gallines i coloms (versió 2) (+/- Mostra/Oculta)

El canvi de preu pot incomodar als compradors, però modifica ben poc el procés per a solucionar el problema. El sistema d'equacions és ara:

\(\begin{cases}x + y + z = 100\\25x + 5y + 0,25z = 500\end{cases}\)

Us estalvio els passos a seguir que són idèntics als de la primera versió. Arribaríem ara a l'equació:

\(99x + 19y  = 1900\)

Com en el cas anterior, aïllem la  y i tenim:

\(y = 100 - \dfrac{99x}{19}\)

i si x i y han de ser nombres naturals, els valors de x han de ser múltiples de 19.

Tornant a descartar x = 0 que significaria que hi ha 100 gallines, sense cabres ni coloms; només hi ha una solució amb els tres nombres enters positius (una altra vegada, el nombre de coloms es calcula sabent que la suma total d'animals ha de ser 100):

Per a x = 19 cabres, tenim 1 solitària gallina i 80 caganers coloms.

Per a x = 38 cabres, sortirien 98 gallines negatives, les solucions deixen de tenir coherència en el context del problema.

Suposo que l'existència d'una única solució deixa més tranquils a la majoria d'estudiants, però trobo més interessant i didàctica la primera versió de l'exercici.
 

---

Hem resolt equacions diofàntiques!

En l'àmbit amtemàtic s'anomenen equacions diofàntiques aquelles equacions les solucions de les quals només poden ser nombres enters. Les equacions diofàntiques pràcticament no estan presents en l'ensenyament secundari i és més habitual trobar-se equacions on les solucions fraccionàries o irracionals són benvingudes. Les dues versions del problema que acabem de resoldre ens portava a un sistema d'equacions diofàntiques. Ja heu pogut comprovar que, en aquest cas, no calia gaire coneixement dels algorismes per a solucionar aquest tipus d'equacions, però si teniu ganes de saber-ne més, us proposo alguns enllaços:

• Cómo resolver ecuaciones diofánticas. Com no, en el web Gaussianos!

• Ecuaciones diofánticas. Equacions diofàntiques lineals explicades pel professor F. J. González de la Universitat de Cádiz

• Métodos de resolución de ecuaciones diofánticas. L'autor és el professor Christam Huertas i tracta d'equacions diofàntiques no lineals (només per a aprenents valents)

Notes finals

Com que malgrat la crítica feta, que espero que s'entengui com a constructiva, desitjo que el projecte CiMs-CELLEX duri molts anys, he afegit l'etiqueta CiMs-CELLEX en l'índex de categories del blog que podeu llegir en la columna de la dreta. Ja hi anirem afegint entrades!

M'ompliria de satisfacció ("de honda satisfacción") el fet que alguns estudiants de secundària —no cal que siguin majoria—  hagin entès l'acudit de la gallina quasimatemàtica. Per què no és una gallina matemàtica del tot?

Felicitacions matemàtiques. Bons anys esfènics!

Ja donava l'activitat anual d'aquest blog per tancada, quan he comprovat que en els seus quatre anys d'existència (sí, sí, l'I ara! Matemàtiques? ja va a P-4!) mai ha faltat una entrada de felicitació de les festes nadalenques o de l'entrada d'any (ja en van tres, la darrera va ser Felicitacions problemàtiques). Enguany m'he estalviat de desitjar-vos un Bon Nadal,  com un Ebenezer Scrooge qualsevol —amb els anys vaig trobant més tendre i humà aquest personatge de Dickens— , enfeinat com estava esborrant felicitacions digitals. Les llistes de contactes, els reenviaments i la gratuïtat han fet molt de mal i m'han arribat els millors desitjos de centres, associacions, grups, grupuscles i individus dels quals, de vegades, en desconeixia l'existència. Disculpeu-me la paradoxa; però, des d'aquí, reivindico aquells cartonets, amb dibuixos sovint carrinclons i escrits a mà, que rebíem a les bústies i que tenien prou entitat per moure's en un espai de tres dimensions.

Mandrós com sóc per a aquestes coses, en d'altres ocasions he utilitzat (sense autorització expressa, que Déu em perdoni) els problemes ideats per Ignasi del Blanco i divulgats pel Creamat. Com que, en aquest país, la reincidència rep un bon tracte, hi torno (tot i que d'altres anys he trobat l'exercici més elaborat i amb menys graus de llibertat):

La "felicitació problemàtica" d'Ignasi del Blanco d'enguany
(Cliqueu al damunt per fer-la més gran)

En dates com aquestes, un altre recurs que tenen els aficionats a les matemàtiques és analitzar les propietats numèriques del nombre que indica l'any entrant. Rafael Parra Machío, analista d'inversions jubilat (vegeu la seva autobiografia), ens en fa estudis exhaustius i aprofita, a més, per divulgar continguts matemàtics fonamentals, us en dono tres mostres:

• Propiedades del 2012: Un paseo a través de la matemática recreativa  

• Propiedades del 2013: Cronología y tiempo

• Propiedades del 2014: Un paseo a través de los cálculos aritméticos

Si parlem de propietats numèriques, molts "nombreferits" ja van identificar el 2013 com a "any esfènic" (sí, esfènic i no pas esfèric!). S'anomena nombre esfènic aquell que és el producte de tres nombres primers diferents (vegeu número esfénico o sphenic number). Compte, però, amb la definició que cal interpretar de manera estricta: 2020 (el producte de 2² · 5 · 101) no és esfènic ja que el dos apareix dues vegades en la seva descomposició factorial; 2022 (2 · 3 · 337), sí que ho és.

Com a màxim podem tenir tres nombres esfènics consecutius: si agafem quatre nombres consecutius, un d'ells ha de ser divisible per 4 =  2² i ja no serà esfènic. Una sèrie de tres anys esfènics consecutius és més aviat estranya. 2013 ha estat un any esfènic ben particular perquè alhora era la suma de tres nombres esfènics (2013 = 665 + 670 + 678) tal com ens expliquen a Espejo Lúdico.  I 2014 i 2015 també seran esfènics! Tornant a l'obra de Dickens (A Christmas Carol) i en homenatge al Fantasma —que no Esperit— dels Nadals Presents, insereixo la següent imatge:

Els esfènics presents

Si ens preguntem per quina és la primera tríada esfènica, cal dir que està formada pels nombres 1309, 1310 i 1311. I la tríada esfènica anterior a l'actual?

Els esfènics passats més propers

I, ai las!, els propers tres esfènics ens trobaran en un estat bastant més inanimat que el del pobre Scrooge:

La molt llunyana tríada dels esfènics futurs

I acabo amb un desig i un consell: que pugueu somriure (i riure) molt l'any vinent i, si més no, preneu-vos la vida amb un somriure. Bon any!

Fotograma de A Christmas Carol  (Edward L. Marin, 1938)

Notes:

La imatge anterior ha estat extreta de l'article “Cuento de Navidad” y el Fantasma de los Amores Pasados de Cristina Jódar.

Per aquells que us agraden els llistats numèrics, tipus "guia telefònica", us recomano Descomposición de los diez mil primeros números en factores primos.

Sóc molt poc amant de les "taxonomies numèriques" (que si nombres perfectes, que si amics, que si defectuosos... i només faltaven els esfènics!), però què carai... un dia és un dia i tal dia farà un any!

Una coma letal! La importància de la posologia, de la bona lletra...

Una trista introducció

El to de l'entrada immediatament anterior a aquesta, Notació matemàtica: el punt, la coma i la ratlleta, era més aviat enjogassat i no em va semblar adequat incloure-hi una notícia luctuosa, ja llunyana en el temps, que està relacionada amb l'escriptura dels nombres decimals. Un nen de dos anys, Dariel Aldaz, va morir el 2007 com a conseqüència d'una dosificació equivocada d'un medicament que s'utilitza en quimioteràpia. L'any 2011, posant en evidència l'administració de justícia, el cas encara cuejava! Us transcric un fragment de la notícia Una coma letal, apareguda en La Vanguardia del 5 de febrer de 2011 (per cert, si cliqueu l'enllaç anterior i llegiu el text complet, comprovareu que el periodista s'equivoca i anomena al nen, Daniel i, més endavant, David!):

Según la versión del Ministerio Público, el oncólogo erró en la dosis de quimio que debían dar al pequeño, afectado por un tumor de Wilms: en lugar de 16,5 miligramos de doxorrubicina le suministraron 165. Se olvidaron de poner la coma entre los números 6 y 5. Lo peor es que, una vez consciente del error, el médico intentó alterar las pruebas para evitar la acusación, según el fiscal.

Després de cercar informació, no me'n puc estar de dir  que el tumor de Wilms és un càncer renal que acostuma a tenir un bon pronòstic, que els efectes secundaris de la doxorrubicina són més que coneguts (més informació sobre aquesta substància, ara en castellà, aquí) i que hi ha d'altres casos estranyament semblants (aquest, per exemple). Faig un apart, per advertir-vos que, en una primera lectura (si em feu el favor de lectures posteriors), no cal que aneu clicant tots els enllaços que proposo perquè perdreu el fil de tot plegat.

En la sentència del cas per la mort de Dariel, la jutgessa assenyalava que “no estamos ante una prescripción de medicación efectuada en su totalidad de modo erróneo, sino ante un error de cálculo matemático” (vegeu Pena de un año a 2 médicos por la muerte de Dariel —de fet, un dels condemnats no era metge, sinó farmacèutic). No he pogut accedir a la sentència, però massa ben raonada no deu estar quan, almenys en la darrera notícia que he enllaçat, s'afirma que "La magistrada considera probado que el oncólogo prescribió correctamente la medicación a administrar al menor, teniendo en cuenta todos los datos antropométricos -peso, masa corporal-, aunque el resultado final, la dosis, fue errónea".Em quedo amb el dubte de quin significat té per a la justícia espanyola "error de cálculo matemàtico" si el metge va fer la prescripció correcta tenint en compte les dades del pacient. Segurament, l'encerta més el diari ABC (vegeu La vida se le fue a Dariel en una coma) quan parla de "cadena de errores". Sobre aquesta cadena d'errors i els aspectes de la pràctica mèdica que els poden generar, vull escriure. Per descomptat que la casuística va més enllà dels errors de càlcul (podeu llegir-ho a Errors de prescripció més freqüents , per exemple  i, amb més detall i en un context concret, en l'estudi Errores frecuentes en la administración de medicamentos intravenosos en pediatría).


La posologia: el càlcul de les dosis

Generalment, els càlculs que s'han de fer per tal d'esbrinar la dosi de medicament, d'acció coneguda, que li correspon a un pacient no requereixen grans coneixements matemàtics: n'hi ha prou amb unes nocions de proporcionalitat i en no menystenir les unitats de mesura. És cert que l'anàlisi detallada de l'acció de la subtància en el temps pot ser complicada i és objecte d'estudi de la farmacocinètica (vegeu també El objetivo es administrar la dosis óptima de un medicamento al niño), però la necessitat d'una formació matemàtica específica s'ha vist necessària, fins i tot, en els estudis d'infermeria (El cálculo de dosis y el razonamiento proporcional en estudiantes de Enfermería).

En el cas del nen Dariel, el fet que se li administressin 165 mg de medicació, en lloc de 16,5 mg, fa sospitar una possible deixadesa o un error en la conversió d'unitats (els dígits estan bé, però falta la coma).


Estimacions numèriques, atenció i responsabilitat

El metge es va deixar la coma, però ni el farmacèutic de l'hospital ni la persona que va administrar la doxorrubicina, per via intravenosa, van advertir l'error de magnitud en el càlcul (ja he escrit sobre estimacions numèriques, en un altre sentit, a Estimacions numèriques: prodigis atlètics, Fermi i els afinadors de piano). Segons ABC,  abans ja he donat l'enllaç a la notícia, els únics que van intuir l'errada van ser els pares: 

Tampoco el ATS responsable de su administración se percató de lo elevado de la dosis. «La bolsa de quimio que le dieron a Dariel era inmensa, anormal. Antes de conectársela, ya dije al personal de La Fe que me parecía rara. Estuvo desde las nueve de la mañana hasta la seis para que se la suministraran, mucho más tiempo que las otras veces», recuerdan Octavio y Mari Cruz. (...)

Por su parte, el otro especialista acusado, el responsable de comprobar la prescripción del fármaco realizada al menor fallecido, asegura que «fue un error y no lo vi». «No sé lo que pasó, pero no comprobé si era correcta la dosis con el paciente».

Una mort, una trista conseqüència d'allò que alguns anomenen "errades tontes" o "falta de concentració".


La proverbial "lletra de metge"

Abans de continuar  — no m'agradaria que això que explico en aquesta entrada s'agafés com una generalització—, deixeu-me dir que valoro moltíssim la feina dels soferts i malpagats professionals sanitaris del nostre país; però, si hi ha un tret que identifica a la majoria dels llicenciats en medicina, és la lletra difícilment intel·ligible (¿Por qué los médicos tienen mala letra?). Posats a quantificar, algunes dades semblen indicar que la mala lletra pot provocar morts, però no sabem quantes (Cause of Death: Sloppy Doctors, La mala letra de los médicos causa 1.500 muertes al año en EE UU  l'any 2000?, La mala escritura de los médicos mata a 7000 personas al año en EE.UU l'any 2007?). No hauria de passar, però de vegades la prescripció mèdica és illegible:

Sembla que aquí hauríem de llegir Digoxina! (la imatge ha estat extreta d'aquesta font)

I la lectura es complica més quan, en lloc del nom del medicament, hem d'intuir nombres i unitats!

Mil·ligrams? 5 mg o 0,5 mg? (trobareu comentada aquesta prescripció aquí)

Conclusió

No em vull allargar més i em deixo en el tinter els problemes que provoca el galimaties dels noms comercials dels productes farmacèutics: substàncies diferents amb noms semblants o noms que varien d'un país a un altre.
 
Tot i que les seves errades i mala lletra no sempre tenen conseqüències fatals, m'agradaria dedicar aquest article a tots aquells que no s'esforcen en fer una lletra mínimament intel·ligible, que no paren atenció a allò que fan, que escriuen els quatres com els nous, i els uns com els sets, a aquells que els és igual grams que quilograms i que  —i aquest és el pecat capital —  no es fan responsables dels seus actes i sempre troben alguna circumstància per excusar-se. Sempre hi sou a temps de rectificar. A poc a poc i bona lletra!

Notació matemàtica: el punt, la coma i la ratlleta

En l'entrada La simbologia i la notació matemàtica: una virtud i algunes servituds parlava de la (quasi) universalitat de l'escriptura matemàtica i us convidava a endevinar, a grans trets, la localització d'una escena a partir d'un fotograma d'una pel·lícula on hi apareixia una pissarra amb els passos de la resolució d'un problema. Si en aquella pissarra hi haguessin aparegut nombres decimals o algun dígit concret, com el set, hauríem disposat de més dades significatives per a solucionar l'endevinalla. Comproveu-ho en la fotografia següent on es mostra la resolució d'un exercici escolar de conversió d'unitats:

Aquesta imatge ha estat extreta d'aquí

Abans de continuar, us recomano que us passegeu una mica pel curiós web del qual he obtingut aquesta fotografia: Math Mistakes. L'autor n'és el professor nord-americà Michael Pershan i la seva idea de comentar les errades dels estudiants —mantenint l'anonimat d'aquests, és clar— em sembla interessant, pedagògica i exportable.

Tornem a la imatge! Evidentment, el fet que el text estigui escrit en anglès i la conversió de les unitats a polzades i peus (del sistema mètric a l'imperial!) ens indica la procedència anglosaxona de l'estudiant; però, la grafia del número set, sense ratlleta, i la utilització del punt com a separador decimal, ens donen, pràcticament, la mateixa informació. Per tal de ser rigorosos, cal dir que en el mateix lloc —i hem de suposar que de la mateixa procedència geogràfica— hi he trobat fotografies d'exercicis amb el set amb ratlleta o amb la coma decimal.

He intentat esbrinar, cal dir que sense posar-hi massa esforç, l'origen del set amb ratlleta o sense. Només he sabut trobar algun acudit bíblic (La raya del siete) i la repetició de l'acudit acompanyada d'una teoria inversemblant (¿Por què el siete tiene una rayita?). El fantàstic llibre Números pares, impares e idiotas de Juan José Millás i Antonio Fraguas "Forges" parla d'un matrimoni de sets passant de puntetes, i ometent, la ratlleta (vegeu  El caso del número discapacitado, no us perdeu aquesta presentació!). Se m'acut que la nostra grafia del set serveix per evitar confusions amb l'u "amb visera", però, com deia Sir Isaac Newton, Hypotheses non fingo.

Il·lustració de Forges i text de Juan José Millás
(del llibre Números pares, impares e idiotas)

En canvi, no cal esmerçar-s'hi massa per tal de trobar informació sobre l'ús del punt i la coma com a separadors numèrics. On nosaltres posem una coma per separar els decimals, d'altres hi posen un punt (vegeu separador decimal); on nosaltres escrivim un punt, d'altres, una coma (separador de millares). Davant la impossibilitat d'arribar a un acord internacional, cal respectar els usos locals: escriure, a casa nostra 3.5 i, a més, llegir-ho "tres punt cinc" ni denota més cultura ni més "cosmopolitisme". Per altra banda, hi ha qui utilitza la coma alçada com a separador decimal (3'45)! Si consulteu les normes de l'Institut d'Estudis Catalans (o de la Real Academia Española) o els documents d'estil d'universitats i institucions catalanes, comprovareu que desautoritzen aquest costum. Sembla que un dels precursors de la simbologia matemàtica, François Viète, ( 1540-1603) tampoc ho tenia gaire clar:

Imatge del blog Expresiones digitales on trobareu informació sobre els "dubtes" de Viète

Les qualificacions de les PAU: joc i paradoxes

En l'entrada Selectivitat 2013: l'errada i la gestió, acabava l'escrit amb el compromís de parlar en algun article de les matemàtiques de les PAU (Proves d'Accés a la Universitat). No em referia a l'examen de matemàtiques, que en la selectivitat del curs passat ens va regalar incidències històriques, sinó a l'intrincat i paradoxal sistema de qualificació que neix d'una estructura certament curiosa.

Les PAU actuals sorgeixen d'una reforma promoguda pel govern espanyol, en vigor des de l'any 2010 (podeu trobar la informació més imprescindible i abreujada en l'article de Wikipedia: Selectividad). No entraré en prolixos detalls, però el joc de paraules que ens deparen les PAU és magnífic: fase general,  fase específica (que no és gens específica i és "voluntària"; però, de fet, és obligatòria si volem optar a cursar estudis que tinguin una nota de tall alta), nota d'accés (que de vegades no ens deixa accedir als estudis triats) i nota d'admissió (aquí accés i admissió no són sinònims). Words, words, words que diria l'infortunat Hamlet! Tota aquesta retòrica amaga fets tan curiosos com que els alumnes es poden examinar de matèries que no han cursat, poden presentar-se a dues proves de matemàtiques (Matemàtiques i Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials) o, en el primer any d'aplicació de la Llei, els sortia més a compte examinar-se de Biologia, i no de Dibuix Tècnic, per fer... Arquitectura! Podria afegir-hi més aspectes sorprenents, però em centraré en les qüestions que admeten un raonament més matemàtic.


Quant "val" el Batxillerat?

Abans de la reforma del 2010, la nota amb la qual cada alumne optava a la "subhasta" de places universitàries s'obtenia d'una mitjana ponderada: 60 % de la nota de Batxillerat més un 40% de la nota de les PAU. Força alumnes que cursen actualment Batxillerat us diran que encara es manté aquesta proporció, però és fàcil de rebatre-ho.

Us poso l'exemple fictici de l'Alícia. L'Alícia és una alumna model, quantitativament parlant: ha tret un 10 en totes (sí, en totes!) les assignatures de Batxillerat i té per tant una nota mitjana de 10 en aquests estudis. Es presenta a les PAU i en la Fase General s'examina obligadament de cinc assignatures: Català, Castellà, una Llengua estrangera, Història o Filosofia (a triar) i una matèria de modalitat (posem que Matemàtiques) i obté un 10 en totes elles. D'aquesta manera se li atorga una nota d'accés de 10 punts. Com que l'Alícia vol fer Medicina, i sabia que segurament amb un 10 no entraria a cap Facultat d'aquesta carrera, s'ha presentat a la fase específica de dues matèries (es pot presentar de fins a tres assignatures, però només li ponderarien les dues millors notes per sobre de 5). Posem que ha fet la prova de Física i la de Química, que li ponderen un 0,2 per fer Medicina, i també a tret un 10 en les dues. La nota d'admissió de l'Alícia és:

0,6 x 10 (nota de Batx.) + 0,4 x 10 (nota de la Fase General) + 0,2 x 10 (nota de Física) + 0,2 x 10 (nota de Química) = 14 punts (hi ha alumnes obstinats a passar la nota sobre 14 a una proporció sobre 10, però m'agradaria que m'expliquessin quin sentit té això si les notes de tall poden arribar als 14 punts)

Dels 14 punts que ha tret l'Alícia, 6 són de Batxillerat i 8 els ha aconseguit en els tres dies de les proves PAU. Per tant, la qualificació del Batxillerat té un percentatge de 6/14 (aproximadament un 43%, i no un 60%!). Evidentment, l'Alícia no hagués obtingut aquesta nota sense fer un bon Batxillerat, però un pes important de la nota d'admissió correspon a les PAU.


Quina assignatura trio com a matèria de modalitat i quines poso a la fase específica?

O, dit d'una altra manera, com jugo les meves cartes? La Fase General no és tancada: l'alumne pot escollir si s'examina de Filosofia o d'Història, pot triar la Llengua estrangera; evidentment, si en domina més d'una (Anglès, Francès, Alemany o Italià) i ha d'escollir una matèria de modalitat. En la Fase Específica, pot triar, i es pot examinar, de fins a tres assignatures. I ara comencen les paradoxes! En la Fase General, per fer mitjana amb el Batxillerat, s'ha de treure com a mínim un quatre; les assignatures de la Fase Específica només es comptabilitzen si s'aproven i es treu com a mínim un cinc en la nota d'accés. Doncs bé, es donen casos d'alumnes que suspenen i que, amb una altra distribució d'assignatures (canviant la matèria de modalitat per una de la Fase Específica que els hi ha anat millor) aprovarien.

Us poso l'exemple fictici d'en Benet. En Benet té un cinc de Batxillerat i treu un cinc de totes les matèries de la Fase General menys de la matèria de modalitat triada (la suspèn amb un dos). La nota d'accés és un 4,76 i no pot optar a entrar a la universitat. Suposem que en Benet ha tret un 5 en una matèria de la Fase Específica, si l'hagués posat en la Fase General, hauria aprovat. En Benet no ha jugat bé les seves fitxes de dòmino, però és difícil jugar-les quan t'obliguen a tirar-les abans de conèixer el seu valor! Una mateixa nota col·locada en una fase o altra, té un pes diferent! I no ho vull embolicar, ara, amb les ponderacions de la part específica.


De com un estudiant excel·lent pot quedar darrera d'un que ha tret pitjors notes!

D'aquesta paradoxa n'ha parlat, per exemple, un tal Carlos Sierra en els comentaris a una notícia de El Periódico (Els estudiants podran repetir l'examen de Matemàtiques de selectivitat).

Com que en Carlos no ho explica de manera massa clara, poso un exemple amb les notes de dos alumnes hipotètics:

L'Eva té un nou de batxillerat, un nou de les cinc matèries de la fase general, s'ha examinat de dues assignatures en la Fase Específica, i ha tret un 4,5 i un 9 (suposem que aquest nou li pondera un 0,2, el 4,5 no li compta).

En Bob té un vuit de batxillerat, un vuit de quatre de les matèries de la fase general i un 4,5 de la que resta (que com que està a la Fase General, li compta), s'ha examinat de dues assignatures a la Fase Específica i ha tret dos vuits (suposem que li ponderen un 0,2).

Qui té un rendiment millor? L'Eva per suposat! Però l'Eva, l'alumna dels nous amb una relliscada, té una nota d'admissió de 10,8 i en Bob, l'alumne dels vuits amb la mateixa relliscada, té un 10,92.


Epíleg

La meva intenció no és angoixar els alumnes que s'han d'examinar enguany o l'any vinent, que farien bé d'agafar-se els estudis seriosament i informar-se de com funciona el sistema (poden començar per dominar el llenguatge de les PAU; per exemple, cercant el significat de les paraules que apareixen en negreta a la introducció: fase general, fase específica...). Tampoc pretenc recolzar amb aquestes crítiques els canvis de la propera i enèsima llei d'educació que impulsa el filotaurí ministre Wert (que Déu ens ampari!). Les preguntes que acostumo a formular als estudiants que es sorprenen dels aspectes aquí explicats, són ¿com els estudiants s'han deixat colar aquest gol sense massa protestes? ¿per què, a hores d'ara, la majoria segueixen desconeixent totes aquestes paradoxes? I part de la resposta és: perquè la majoria de la població és incapaç d'analitzar les matemàtiques, senzilles!, que hi ha darrera d'algunes lleis (per no parlar de notícies i declaracions d'economistes i polítics).

Forges, com sempre, retratant el país