Notació matemàtica: el punt, la coma i la ratlleta

En l'entrada La simbologia i la notació matemàtica: una virtud i algunes servituds parlava de la (quasi) universalitat de l'escriptura matemàtica i us convidava a endevinar, a grans trets, la localització d'una escena a partir d'un fotograma d'una pel·lícula on hi apareixia una pissarra amb els passos de la resolució d'un problema. Si en aquella pissarra hi haguessin aparegut nombres decimals o algun dígit concret, com el set, hauríem disposat de més dades significatives per a solucionar l'endevinalla. Comproveu-ho en la fotografia següent on es mostra la resolució d'un exercici escolar de conversió d'unitats:

Aquesta imatge ha estat extreta d'aquí

Abans de continuar, us recomano que us passegeu una mica pel curiós web del qual he obtingut aquesta fotografia: Math Mistakes. L'autor n'és el professor nord-americà Michael Pershan i la seva idea de comentar les errades dels estudiants —mantenint l'anonimat d'aquests, és clar— em sembla interessant, pedagògica i exportable.

Tornem a la imatge! Evidentment, el fet que el text estigui escrit en anglès i la conversió de les unitats a polzades i peus (del sistema mètric a l'imperial!) ens indica la procedència anglosaxona de l'estudiant; però, la grafia del número set, sense ratlleta, i la utilització del punt com a separador decimal, ens donen, pràcticament, la mateixa informació. Per tal de ser rigorosos, cal dir que en el mateix lloc —i hem de suposar que de la mateixa procedència geogràfica— hi he trobat fotografies d'exercicis amb el set amb ratlleta o amb la coma decimal.

He intentat esbrinar, cal dir que sense posar-hi massa esforç, l'origen del set amb ratlleta o sense. Només he sabut trobar algun acudit bíblic (La raya del siete) i la repetició de l'acudit acompanyada d'una teoria inversemblant (¿Por què el siete tiene una rayita?). El fantàstic llibre Números pares, impares e idiotas de Juan José Millás i Antonio Fraguas "Forges" parla d'un matrimoni de sets passant de puntetes, i ometent, la ratlleta (vegeu  El caso del número discapacitado, no us perdeu aquesta presentació!). Se m'acut que la nostra grafia del set serveix per evitar confusions amb l'u "amb visera", però, com deia Sir Isaac Newton, Hypotheses non fingo.

Il·lustració de Forges i text de Juan José Millás
(del llibre Números pares, impares e idiotas)

En canvi, no cal esmerçar-s'hi massa per tal de trobar informació sobre l'ús del punt i la coma com a separadors numèrics. On nosaltres posem una coma per separar els decimals, d'altres hi posen un punt (vegeu separador decimal); on nosaltres escrivim un punt, d'altres, una coma (separador de millares). Davant la impossibilitat d'arribar a un acord internacional, cal respectar els usos locals: escriure, a casa nostra 3.5 i, a més, llegir-ho "tres punt cinc" ni denota més cultura ni més "cosmopolitisme". Per altra banda, hi ha qui utilitza la coma alçada com a separador decimal (3'45)! Si consulteu les normes de l'Institut d'Estudis Catalans (o de la Real Academia Española) o els documents d'estil d'universitats i institucions catalanes, comprovareu que desautoritzen aquest costum. Sembla que un dels precursors de la simbologia matemàtica, François Viète, ( 1540-1603) tampoc ho tenia gaire clar:

Imatge del blog Expresiones digitales on trobareu informació sobre els "dubtes" de Viète

Les qualificacions de les PAU: joc i paradoxes

En l'entrada Selectivitat 2013: l'errada i la gestió, acabava l'escrit amb el compromís de parlar en algun article de les matemàtiques de les PAU (Proves d'Accés a la Universitat). No em referia a l'examen de matemàtiques, que en la selectivitat del curs passat ens va regalar incidències històriques, sinó a l'intrincat i paradoxal sistema de qualificació que neix d'una estructura certament curiosa.

Les PAU actuals sorgeixen d'una reforma promoguda pel govern espanyol, en vigor des de l'any 2010 (podeu trobar la informació més imprescindible i abreujada en l'article de Wikipedia: Selectividad). No entraré en prolixos detalls, però el joc de paraules que ens deparen les PAU és magnífic: fase general,  fase específica (que no és gens específica i és "voluntària"; però, de fet, és obligatòria si volem optar a cursar estudis que tinguin una nota de tall alta), nota d'accés (que de vegades no ens deixa accedir als estudis triats) i nota d'admissió (aquí accés i admissió no són sinònims). Words, words, words que diria l'infortunat Hamlet! Tota aquesta retòrica amaga fets tan curiosos com que els alumnes es poden examinar de matèries que no han cursat, poden presentar-se a dues proves de matemàtiques (Matemàtiques i Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials) o, en el primer any d'aplicació de la Llei, els sortia més a compte examinar-se de Biologia, i no de Dibuix Tècnic, per fer... Arquitectura! Podria afegir-hi més aspectes sorprenents, però em centraré en les qüestions que admeten un raonament més matemàtic.


Quant "val" el Batxillerat?

Abans de la reforma del 2010, la nota amb la qual cada alumne optava a la "subhasta" de places universitàries s'obtenia d'una mitjana ponderada: 60 % de la nota de Batxillerat més un 40% de la nota de les PAU. Força alumnes que cursen actualment Batxillerat us diran que encara es manté aquesta proporció, però és fàcil de rebatre-ho.

Us poso l'exemple fictici de l'Alícia. L'Alícia és una alumna model, quantitativament parlant: ha tret un 10 en totes (sí, en totes!) les assignatures de Batxillerat i té per tant una nota mitjana de 10 en aquests estudis. Es presenta a les PAU i en la Fase General s'examina obligadament de cinc assignatures: Català, Castellà, una Llengua estrangera, Història o Filosofia (a triar) i una matèria de modalitat (posem que Matemàtiques) i obté un 10 en totes elles. D'aquesta manera se li atorga una nota d'accés de 10 punts. Com que l'Alícia vol fer Medicina, i sabia que segurament amb un 10 no entraria a cap Facultat d'aquesta carrera, s'ha presentat a la fase específica de dues matèries (es pot presentar de fins a tres assignatures, però només li ponderarien les dues millors notes per sobre de 5). Posem que ha fet la prova de Física i la de Química, que li ponderen un 0,2 per fer Medicina, i també a tret un 10 en les dues. La nota d'admissió de l'Alícia és:

0,6 x 10 (nota de Batx.) + 0,4 x 10 (nota de la Fase General) + 0,2 x 10 (nota de Física) + 0,2 x 10 (nota de Química) = 14 punts (hi ha alumnes obstinats a passar la nota sobre 14 a una proporció sobre 10, però m'agradaria que m'expliquessin quin sentit té això si les notes de tall poden arribar als 14 punts)

Dels 14 punts que ha tret l'Alícia, 6 són de Batxillerat i 8 els ha aconseguit en els tres dies de les proves PAU. Per tant, la qualificació del Batxillerat té un percentatge de 6/14 (aproximadament un 43%, i no un 60%!). Evidentment, l'Alícia no hagués obtingut aquesta nota sense fer un bon Batxillerat, però un pes important de la nota d'admissió correspon a les PAU.


Quina assignatura trio com a matèria de modalitat i quines poso a la fase específica?

O, dit d'una altra manera, com jugo les meves cartes? La Fase General no és tancada: l'alumne pot escollir si s'examina de Filosofia o d'Història, pot triar la Llengua estrangera; evidentment, si en domina més d'una (Anglès, Francès, Alemany o Italià) i ha d'escollir una matèria de modalitat. En la Fase Específica, pot triar, i es pot examinar, de fins a tres assignatures. I ara comencen les paradoxes! En la Fase General, per fer mitjana amb el Batxillerat, s'ha de treure com a mínim un quatre; les assignatures de la Fase Específica només es comptabilitzen si s'aproven i es treu com a mínim un cinc en la nota d'accés. Doncs bé, es donen casos d'alumnes que suspenen i que, amb una altra distribució d'assignatures (canviant la matèria de modalitat per una de la Fase Específica que els hi ha anat millor) aprovarien.

Us poso l'exemple fictici d'en Benet. En Benet té un cinc de Batxillerat i treu un cinc de totes les matèries de la Fase General menys de la matèria de modalitat triada (la suspèn amb un dos). La nota d'accés és un 4,76 i no pot optar a entrar a la universitat. Suposem que en Benet ha tret un 5 en una matèria de la Fase Específica, si l'hagués posat en la Fase General, hauria aprovat. En Benet no ha jugat bé les seves fitxes de dòmino, però és difícil jugar-les quan t'obliguen a tirar-les abans de conèixer el seu valor! Una mateixa nota col·locada en una fase o altra, té un pes diferent! I no ho vull embolicar, ara, amb les ponderacions de la part específica.


De com un estudiant excel·lent pot quedar darrera d'un que ha tret pitjors notes!

D'aquesta paradoxa n'ha parlat, per exemple, un tal Carlos Sierra en els comentaris a una notícia de El Periódico (Els estudiants podran repetir l'examen de Matemàtiques de selectivitat).

Com que en Carlos no ho explica de manera massa clara, poso un exemple amb les notes de dos alumnes hipotètics:

L'Eva té un nou de batxillerat, un nou de les cinc matèries de la fase general, s'ha examinat de dues assignatures en la Fase Específica, i ha tret un 4,5 i un 9 (suposem que aquest nou li pondera un 0,2, el 4,5 no li compta).

En Bob té un vuit de batxillerat, un vuit de quatre de les matèries de la fase general i un 4,5 de la que resta (que com que està a la Fase General, li compta), s'ha examinat de dues assignatures a la Fase Específica i ha tret dos vuits (suposem que li ponderen un 0,2).

Qui té un rendiment millor? L'Eva per suposat! Però l'Eva, l'alumna dels nous amb una relliscada, té una nota d'admissió de 10,8 i en Bob, l'alumne dels vuits amb la mateixa relliscada, té un 10,92.


Epíleg

La meva intenció no és angoixar els alumnes que s'han d'examinar enguany o l'any vinent, que farien bé d'agafar-se els estudis seriosament i informar-se de com funciona el sistema (poden començar per dominar el llenguatge de les PAU; per exemple, cercant el significat de les paraules que apareixen en negreta a la introducció: fase general, fase específica...). Tampoc pretenc recolzar amb aquestes crítiques els canvis de la propera i enèsima llei d'educació que impulsa el filotaurí ministre Wert (que Déu ens ampari!). Les preguntes que acostumo a formular als estudiants que es sorprenen dels aspectes aquí explicats, són ¿com els estudiants s'han deixat colar aquest gol sense massa protestes? ¿per què, a hores d'ara, la majoria segueixen desconeixent totes aquestes paradoxes? I part de la resposta és: perquè la majoria de la població és incapaç d'analitzar les matemàtiques, senzilles!, que hi ha darrera d'algunes lleis (per no parlar de notícies i declaracions d'economistes i polítics).

Forges, com sempre, retratant el país

La simbologia i la notació matemàtica: una virtut i algunes servituds

Si doneu una ullada a les entrades anteriors d'aquest blog, comprovareu que tenen un aspecte que podríem qualificar de "poc matemàtic": en general, el contingut que s'hi tracta no requereix massa simbologia o notació matemàtica i això fa que no hi apareguin massa expressions o equacions aparatoses. Tampoc no he parlat gaire dels aspectes més formals del llenguatge matemàtic i, quan ho he fet, ha estat a partir de l'anècdota (vegeu, per exemple, John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (II) on podreu llegir alguns comentaris sobre la notació matemàtica que apareix en aquest film i el doble del protagonista que van haver de contractar per escriure-la i donar versemblança a les escenes).

He estat temptat de parlar en aquest escrit de les virtuts —així, en plural— de la simbologia i la notació de la matemàtica contemporània; però quan he entrat en matèria, m'he adonat que, fer un llistat enciclopèdic d'avantatges i comentar-los, seria massa extens i podria avorrir, fins i tot, el lector més voluntariós.


Una virtut: la universalitat

Donant-li voltes, triant i remenant a la xarxa i a la meva biblioteca, deixarem les virtuts més evidents per a futures entrades i ens fixarem en la universalitat de la notació matemàtica. Vegeu sinó, la següent imatge:

  
Qualsevol persona que tingui un nivell preuniversitari de matemàtiques, independentment de les llengües que parli, podria seguir les operacions que apareixen en la pissarra completa, identificar com a equació d'una el·lipse l'expressió que apareix tallada en la part superior de la fotografia \(\dfrac {x^{2}} {a^{2}}+\dfrac {y^{2}} {b^{2}}=1\) i apuntar que, en l'exercici que està resolent el jove de mirada desafiant, hi intervé una integral definida (Leibniz és el culpable que indiquem aquestes integrals com  \(\int _{a}^{b}f\left( x\right)\ dx\)). No tots els símbols que s'utilitzen en matemàtiques són universals i n'existeixen variants, però si hi ha una "llengua" que pràcticament abasti tot el món, després de la solfa musical, deu ser aquesta. Ara que parlem d'integrals i de la universalitat dels símbols, els àrabs poden escriure el signe integral a l'inrevès i procedir de dreta a esquerra (no sé, però, si aquest ús és gaire comú i en l'article de la wikipedia àrab que correspon a integració només hi fan una breu referència).

I per jugar una mica amb això de les variants simbòliques, us proposo un petit enigma: analitzant el contingut de la pissarra no és possible deduir en quin lloc geogràfic es desenvolupa l'escena; però, amb una probabilitat alta, podem descartar algunes regions del planeta. Per exemple, podem pràcticament assegurar que el nostre protagonista no es troba en l'altiplà castellà, però sí que es podria trobar a Catalunya (si no tenim en compte, alguns detalls tipogràfics o el lloc on s'ha escrit límit inferior d'integració, el zero, en el símbol integral). Per què? 

---

Solució a l'enigma geogràfic (+/- Mostra/Oculta)

En la línia immediatament inferior a la integral hi veiem escrita l'expressió ab sin2θ. L'abreviatura de la raó trigonomètrica sinus és "sin" en la majoria d'idiomes, però en castellà, italià o portuguès, que l'anomenen "seno", escriurien, preferentment ab sen2θ ja que s'acostuma a utilitzar la notació "sen". Per cert en anglès també s'indica "sin", però la paraula sencera és sine, pronunciada ['sain].

 

---

Rushmore, la pel·lícula

L'estudiant  de les ulleres és de fet l'actor Jason Schwartzman i la imatge és un fotograma que correspon a la seqüència inicial de la pel·lícula Rushmore (Wes Anderson, 1998). Com que aquesta seqüència resulta interessant des del punt de vista matemàtic, us proposo un parell d'enllaços per tal que la pugueu gaudir sencera: seqüència inicial en anglès (si teniu problemes amb l'anglès, la teniu doblada al castellà aquí). Per cert, en el web de la Universitat de Harvard hi trobareu un interessant recull de Mathematics in Movies.

El problema que soluciona el nostre fantasiós protagonista, en somnis, no és un problema gaire complicat: si voleu un comentari matemàtic acurat us recomano que consulteu les pàgines 16 a 18 de l'article Algunos momentos matemáticos del cine d'Alfonso Jesús Población Sáez (ja havia citat aquest autor i aquest article en Les matemàtiques en el cinema).


Algunes servituds

La notació matemàtica no és una sopa de lletres i símbols per impressionar i atemorir els profans, és imprescindible per practicar les matemàtiques i presenta molts avantatges. De vegades, trobar la notació adequada és el primer pas i la porta de la solució d'un problema. Una servitud és que l'aprenentatge de la simbologia requereix un cert esforç i un cert rigor. Si en una classe escric a la pissarra \(\forall a\in \mathbb{R} \ldots \) — i fins aquí només és per pura economia del llenguatge— sempre hi ha alumnes que, tot i conèixer els símbols, prefereixen apuntar "per a qualsevol nombre a que pertany al conjunt dels nombres reals...". Cal dir que tota aquesta simbologia, fins i tot la més bàsica que s'utilitza en l'aritmètica i l'àlgebra dels cursos de l'ensenyament obligatori, mal assolida, provoca errades greus que ja comentarem en una altra entrada.

A part d'aquests peatges pedagògics, aquells que ens dediquem a l'ensenyament i a la divulgació de les matemàtiques hem de patir per tal de portar als suports digitals o escrits tota aquesta faramalla simbòlica (serà per això que encara apreciem les pissarres, on el símbol més recargolat pot ser traçat de forma immediata). Si heu arribat fins aquí, potser no us heu adonat que en aquest article hi consten algunes expressions matemàtiques escrites en LaTeX (sent estrictes, hauríem de dir que en TeX): per exemple,  la trista equació de l'el·lipse del segon paràgraf, abans de ser interpretada, ve a ser alguna cosa com \dfrac {x^{2}} {a^{2}}+\dfrac {y^{2}} {b^{2}}=1. Continuament hem de treballar amb editors d'equacions, modificar les plantilles de Blogger de tant en tant, vigilar la compatibilitat de llenguatges i formats... I en el cas de la xarxa, no tenim la seguretat que tots els navegadors interpretin correctament les expressions. En aquest sentit us voldria demanar que, si llegint tot això a la pantalla, detecteu algun problema en la visualització de les expressions matemàtiques, feu-m'ho saber, si us plau.

Cal fer constar, però, que les "ja no tan noves tecnologies" han simplificat molt el fet d'escriure matemàtiques (us ho diu algú que havia fet algun treball universitari amb màquina d'escriure!), però a molts alumnes —són els altres damnificats— encara els costa defendre's amb els editors d'equacions més senzills.


I un parell d'exercicis (per a aquells que saben integrar a un nivell elemental)

Aprofito que he adaptat la plantilla del blog per tal de poder escriure en notació matemàtica, per proposar-vos la resolució de dues de les meves integrals preferides:

1. \( \int e^{x^{2}}dx\)


2. \(\int \frac{sin\,x}{x}dx\)

Per als més rigorosos i primmirats, cal dir que en la segona cal suposar \(x\neq 0\). Disculpeu, tots, que no m'hagi parat a respectar les molt estètiques normes de la tipografia en l'edició de les expressions, però de la tècnica i l'estètica de l'edició ja n'anirem parlant.

El Teorema (o axioma) del punt gros

 
He dedicat unes quantes entrades a les diferents geometries (vegeu, per exemple, I les altres geometries?) i, en algun escrit, he apuntat alguna cosa sobre les dimensions superiors a tres (Més enllà de la tercera dimensió: l'hipercub (I)) amb la promesa de tornar-hi. Haig de dir que, en general, les geometries no euclidianes i les dimensions extres no acostumen a ser ben rebudes per les persones alienes al món de la matemàtica. En canvi, la geometria euclidiana s'accepta de manera immediata com si, tanmateix, fos una creació de Déu o una realitat irrefutable del nostre univers. Tothom creu saber què és un punt, una recta o un pla i troba que aquests conceptes són d'allò "més naturals". Euclides comença els seus Elements de geometria (Els Elements d'Euclides) amb una sèrie de definicions (un punt és allò que no té parts, una línia és una longitud sense amplada, els extrems d´una línia són punts, una recta és una línia que esdevé igual respecte de tots els seus punts, una superfície és allò que només té longitud i amplada, etc.) que ens poden semblar evidents  o, fins i tot, podem opinar que el pobre Euclides se les podia haver estalviat. Si ens parem a pensar, el salt d'un concepte a l'altre, més que evident, és màgic i ens hauria de generar un cert rebuig: un punt no té dimensions, però un conjunt de punts poden generar una recta que té una dimensió? si posem moltes rectes juntetes, una al costat de l'altra, obtenim una superfície de dues dimensions? D'on surten aquestes dimensions extres? És clar que l'objectiu d'aquestes observacions no és que renegueu de la utílissima geometria euclidiana i, a més, avanço que us hauríeu d'agafar aquest escrit amb una actitud reflexiva, però no massa seriosament.


El cinquè postulat

En el seu Llibre I, Euclides, després de 23 definicions, introdueix els seus cinc famosos postulats o axiomes (Postulats). De la negació del controvertit cinquè postulat, neixen les geometries no euclidianes. En el seu format original, degudament traduït al català, el cinquè postulat afirma que "Si una secant talla a dues rectes formant a un costat angles interiors la suma dels quals és menor que dos angles rectes; les dues rectes, suficientement allargades es tallen en el mateix costat".

El cinquè postulat d'Euclides expressat gràficament.
(La imatge ha estat extreta d'aquí )

En la imatge explicativa anterior, com que la suma dels angles m i n és menor de 180º (dos angles rectes), els segments AB i CD es tallen, si es prolonguen, per la dreta.

De fet, aquest postulat és més conegut en una versió diferent, però equivalent, a la que va donar Euclides: "Per un punt exterior a una recta es pot traçar una única recta paral·lela".

Versió artística i gràfica de l'enunciat alternatiu del 5è postulat.
(La fotografía és de Pepe E. Carretero i la podeu veure en el seu blog)

El Teorema del punt gros (TPG)

Hi ha una versió hispànica —només n'he trobat referències en castellà i algunes en català— que substitueix i contradiu aquest cinquè postulat, però és una proposició més intuïtiva i evident. Es coneix com el "Teorema del punto gordo", però seria més correcte dir-ne postulat o axioma. Com totes les grans veritats, admet més d'una formulació, a mi m'agrada aquesta:

Per un punt exterior a una recta passen diverses rectes paral·leles el nombre de les quals depèn del gruix del punt.

Teorema del punt gros. Pel punt P passen tres rectes paral·leles a la recta r... o més!

Alguns autors catalans, que prefereixen la traducció Teorema del punt gran, opten pel següent enunciat:

Dues rectes paral·leles es tallen en un punt, sempre que el punt sigui suficientment gran.

Aquesta imatge "provatòria" ha estat extreta d'aquí,
però la font original és Inciclopedia.

Fonemato, l'alter ego de Rafael Cabrejas, ha dedicat un imprescindible vídeo a aquest Teorema. Aprofito per recomanar-vos també la resta de vídeos d'aquest autor, aquests sí, útils i seriosos (però no tots gratuïts): vídeos de Fonemato.


Aplicacions del TPG en el Dibuix Tècnic

Com que sou lectors intel·ligents, ja fa estona que us haureu adonat de la presa de pèl: els punts grossos contradiuen la definició d'Euclides que afirma que els punts no tenen dimensions. El saberut Fonemato, al final del seu vídeo-broma, certifica la inexistència dels punt grossos. Però algú és capaç de dibuixar un punt sense dimensions? I si algú fos capaç de tal proesa, la resta de la humanitat, el podríem veure? Els físics que estan acostumats a simplificar les situacions i no s'immuten quan en un problema comencen amb "Suposant que la Terra és una massa puntual...", ho arreglarien ràpidament dient que les dimensions dels punts són negligibles..., però no ens enganyem, la física no és una ciència prou seriosa.

Sigui com sigui, els punts grossos tenen nombroses aplicacions: la majoria d'elles relacionades amb el dibuix tècnic. Els aprenents que comencen a practicar aquesta disciplina es troben sovint que, després d'una llarga construcció, després de traçar tangents, perpendiculars i paral·leles, el resultat no és el desitjat: una línia no passa, per poc, per un determinat punt perquè no han estat prou destres i acurats en els passos previs. Doncs bé, existeixen dues solucions per tal de no haver de repetir tot el procés: o fem el punt més gros o optem per una línia flàccida o peluda (algú s'atreveix a parlar de "rectes astutes"). Per la importància d'aquesta aplicació el gran Tito Eliatrón es refereix al TPG com a Teorema Fundamental del Dibujo Técnico. Consulteu també, si us plau, el Teorema del Punto Gordo y la Línea Flácida.

Cal dir que el TPG també s'ha aplicat en l'anàlisi d'algunes jugades de futbol, aquest esport pedestre, i que això ha donat lloc a algunes crítiques vehements (Riera, cuéntenos...).


Apunts lingüístics

Els traductors catalans es mostren dubitatius: cal traduir "gordo" com a gros, gran o gruixut? Si consultem l'autoritat pertinent, el DIEC, i anem a les definicions de gros,  gran i gruixut, ens pot semblar que "gros" no és la paraula adequada. Però "gordo", en castellà i en aquest cas, tampoc és lingüísticament escaient, si bé té un matís còmic que s'adiu al nostre teorema. Aquells que encara esteu per apreciar aquestes distincions i fugiu de comunicar-vos amb  rugits i brams fareu bé de consultar: Bricollengua o Racó Català. Jo m'he decidit per traduir "punt gros", però he estat temptat d'optar pel més càrnic i simpàtic "punt molsut".

Espero que no acabeu pensant que avui us he venut gat per llebre o, en una versió més suau, que he fet passar bou per bèstia grossa. Per cert, a aquesta darrera frase feta no li acabo de trobar el sentit: vol denotar un cert tipus d'engany, però no té un punt de tautologia? Els bous no pertanyen al conjunt de les bèsties grosses?

Selectivitat 2013: l'errada i la gestió

De catàstrofes i tempestes

En l'entrada anterior, Selectivitat 2013: La comèdia dels errors?, ja avançava que tornaria a escriure sobre la Selectivitat d'enguany a Catalunya i, en particular, de la gestió que s'ha fet de la crisi provocada per una errada d'impressió —tot sigui dit, una "errada" que gestionada d'una altra manera només hagués afectat els correctors— en la prova de Matemàtiques. He estat temptat d'abusar de la vostra paciència i relacionar el cúmul de despropòsits que s'han produït —alguns inevitables — amb la Teoria de Catàstrofes (una teoria matemàtica de nom atractiu, citada en camps diversos i d'aplicabilitat i utilitat, dubtosa). De fet, en l'escrit anterior, ja jugava amb La Comèdia dels errors de Shakespeare i, ara, relacionar-ho tot amb tempestes o catàstrofes, podria ser excessiu.


La bola de neu comença a rodar

Desconec el detall de com es van produir els fets concrets i, per fer-nos una idea, hauríem de ser capaços d'imaginar-nos múltiples escenes paral·leles; però és plausible que anés de la següent manera:

Pels volts de dos quarts d'una del 12 de juny...

Els alumnes ja han ocupat el seu lloc en les aules i es comencen a repartir els exàmens de matemàtiques de les Proves d'Accés a la Universitat (PAU). També hi són els alumnes que s'examinen de Llatí o de Dibuix Artístic, però a aquests no els destorbàrem. En la prova hi ha sis preguntes i se n'han de contestar cinc. La primera és força ocurrent (de fet, bona part de l'examen és "ocurrent" i prou original per ser de matemàtiques)...

La primera pregunta tal com la van veure els alumnes examinats

Superada la sorpresa inicial davant la "sopa de lletres", molts alumnes se n'adonen que la resolució de l'exercici no presenta massa dificultats, substitueixen la x per 2; la y, per 1 i la z, per –1, i procedeixen a solucionar el sistema. Les solucions són fraccionàries: a  = –9/2, b = –1/2 i c = –5/2.

Cap a tres quarts d'una (o potser abans)...

Alguns alumnes i alguns correctors troben estrany el primer membre de la tercera equació (de fet, no és més "estrany" que tota la segona equació). cx – by + 2x? Aquest darrer 2x no serà un 2z? Alguns correctors, amb el zel propi de la seva funció, comproven que, en la plantilla de solucions que els han lliurat, el sistema que apareix solucionat no és el del full d'enunciats, sinó aquest:

La primera pregunta tal com s'havia pensat inicialment

És més usual trobar-se els sistemes escrits d'aquesta manera, amb només una x, una y i una z en cada equació; però la dificultat dels dos enunciats és la mateixa. Aquest segon enunciat tè solucions enteres (a = 3, b = 1 i c = 2), però això no en disminueix ni n'augmenta la dificultat per als alumnes de batxillerat.


S'inicia el guirigall

A Catalunya hi ha 151 tribunals de les PAU i, evidentment, és complicat que s'actuï alhora i de la mateixa manera. Si no s'hagués dit res, només calia canviar les plantilles de solucions; però molts correctors indiquen el canvi d'enunciat als alumnes: alguns els diuen que, si ja el tenen fet, el tornin a fer; d'altres, que donaran per bons els dos enunciats (fins i tot hi ha els més "legalistes" que diuen que ells donaran per bona qualsevol de les dues opcions, però si es demana una doble correcció no es fan càrrec de com actuarà el segon corrector). No a tots els examinands se'ls avisa en el mateix moment, en algunes aules s'interromp l'examen més d'una vegada per donar les orientacions... Per acabar-ho d'adobar, alguns tribunals allarguen el temps de la prova i d'altres, no.


La tàctica de Jack l'Esbudellador

Em permeto un comentari general amb una mica d'humor negre. Hi ha una tàctica, que s'ha utilitzat per enfrontar i comentar la repercusió d'aquests esdeveniments, que jo anomeno tàctica de Jack l'Esbudellador. Consisteix en cercar excuses analitzant els problemes "per parts", en lloc de veure'ls globalment. L'han utilitzat membres de l'Administració i alguns comentaristes que podreu trobar a la xarxa (alguns d'aquests darrers, no cal dir-ho, són trolls). Expliquen, de vegades de manera vehement i insultant, que, en qualsevol dels dos enunciats, l'exercici era molt senzill i que no hi ha motius per queixar-se. Obliden que els alumnes estaven ja en el segon dia d'examen (de fet, des de dos quarts de nou, s'estaven examinant i ja portaven dues proves), que alguns ja havien acabat aquest exercici (n'hi havia que estaven solucionant el bonic tercer enunciat), que en els tres dies que duren les proves els alumnes poden obtenir el 57% de la seva nota d'admissió a la Universitat i això provoca angoixa, etc.

El més trist és que aquesta tàctica és d'ús comú quan es tracta de les PAU. Si goseu criticar qualsevol prova, us faran un puzzle amb cadascuna de les qüestions i us aniran justificant la bondat i l'adequació de cada peça.


Intervé l'Administració

L'endemà, 13 de juny, el Consell Interuniversitari de Catalunya (CIC) emet un primer comunicat. N'incloc un fragment perquè, quan vaig llegir els diaris, em va semblar que els periodistes no sabien de què parlaven... i llegint el comunicat, me n'adono que la culpa no era dels plumífers:

Fragment del comunicat del CIC del 13 de juny

No cal dir, que el sistema "tal com estava formulat" només tenia una solució (que un sistema es pot resoldre de moltes maneres ja fa segles que ho sabem). Suposo que en el CIC, quan es va redactar el text del 13 de juny, no hi havia cap matemàtic de guàrdia (i això que el secretari general és Claudi Alsina!).


Cullerada política i el CIC acota el cap

Amb aquest do que tenen els polítics nacionals per embolicar-ho tot —i més si es pensen que la seva actuació rebrà els aplaudiments dels públic— el govern va recomanar la repetició de l'examen "per tal de garantir la igualtat d'oportunitats" (El govern recomana que es pugui repetir l'examen de matemàtiques de la selectivitat). La Secretaria d'Universitats i Recerca en el seu comunicat del 20 de juny, on proposa aquesta repetició, parla ja d'error humà (comunicat del 20/06/2013). La repetició, però, l'única cosa que ha fet és afegir-hi desigualtats: n'han sortit beneficiats els alumnes que tenien les matemàtiques suspeses i que havien posat aquesta assignatura en la fase específica (els que la tenien en la fase comuna hi podien perdre molt tornant a fer la prova ja que no agafaven la millor nota dels dos exàmens). A més, paradoxalment, s'han pogut presentar a la repetició alumnes que havien descartat aquesta primera pregunta i havien fet les cinc restants. Si a això hi afegim que les PAU, a efectes pràctics, és una prova en la qual els alumnes competeixen entre si...

El 21 de juny el CIC desfà el seu enroc i anuncia la repetició de la prova per als alumnes que vulguin (comunicat del 21/06/2013). En aquest anunci fa una defensa de l'organització de les PAU i parla dels molts anys d'experiència. Us puc explicar que l'han vessat d'altres vegades; però en aquesta ocasió l'errada era molt objectivable i les xarxes socials tenen molt més pes que fa uns anys.


Coda. Però no s'ha acabat!

Ahir divendres, 5 de juliol, un terç dels alumnes es van tornar a presentar a l'examen de matemàtiques (El Govern destaca la "normalitat absoluta" del segon examen de Matemàtiques de les PAU). Un 80% d'aquests havia suspès el primer examen...

M'he centrat en l'anècdota, però em fa l'efecte que el primer examen era criticable globalment (per començar, era llarg) i que les PAU són criticables ja començant per la seva estructura: no he vist cap altra prova que contingui tantes paradoxes numèriques en la seva qualificació. Ja em parlarem, ja, de les matemàtiques de les PAU!