En el llibre
"El hombre anumérico", el matemàtic i divulgador John Allen Paulos assenyala, com a símptoma de l'analfabetisme matemàtic (
"mathematical illiteracy"), la dificultat per estimar o comprendre la magnitud de les grans i petites quantitats. De fet, he pogut comprovar que molts alumnes de secundària tenen problemes greus per fer estimacions numèriques, o "fer-se una idea", de magnituds relativament modestes. Com que la majoria de professors els hem acostumat als problemes de resultat únic i exacte, no ens hauria d'estranyar aquesta circumstància. Avanço ja que, en aquest escrit, no parlaré estrictament d'estimacions numèriques i que se'm podrà objectar que confonc estimació, apreciació i visualització. Si som rigorosos, del concepte matemàtic, més tècnic, d'estimació, no en parlaré (vegeu la definició d'
estimació numèrica o d'
estimació estadística). De fet, el meu objectiu és comentar alguns procediments sovint oblidats a les classes de física o matemàtiques.
Mesurar el temps o la longitud a ull ("a ojo de buen cubero" que dirien en castellà)
Recordo que quan cursava algun dels darrers cursos de l'extingida
EGB, en una classe que no devia ser de matemàtiques, el mestre ens va proposar la següent activitat: ens havíem de treure i guardar el rellotge, si en portàvem (comento per als més joves que el rellotge era un aparell que servia per a mesurar el temps i que els únics mòbils que coneixíem, alguns, eren els d'
Alexander Calder), esperar la seva indicació per iniciar l'experiència i aixecar-nos de la cadira quan consideréssim que havia passat un minut des del seu senyal. La majoria ens vam alçar quan havia transcorregut, més o menys, mig minut, en una clara demostració que
érem culs de mal seient (en català és preferible parlar de
ser o semblar el cul d'en Jaumet). L'estimació del temps és, però, un assumpte per parlar-ne amb calma i hi ha estudis que indiquen que aquesta apreciació varia, entre d'altres factors, amb l'edat.
Ens hauria de sorprendre més la dificultat que tenen moltes persones (i, en particular, tots els àrbitres de futbol quan, en una falta, han de col·locar la tanca defensiva a 9,15 metres de la pilota) per estimar mesures de longitud. Alguna vegada he fet les següents preguntes a l'aula:
- L'atleta cubà Javier Sotomayor té l'actual record de salt d'alçada masculí (des del 1993!): 2,45 metres (veure vídeo). Si hagués fet aquest salt en aquesta classe, s'hauria estampat contra el sostre? (no totes les aules tenen la mateixa alçada, però en tot cas els alumnes queden sorpresos, quan fan l'esforç d'imaginar-s'ho, per la "magnitud" del salt).
- El nord-americà Mike Powell va fer una marca de 8,95 metres en salt de longitud l'any 1991 (i encara és el record mundial!) (veure vídeo). Algú pot indicar, sense aixecar-se, dos punts de l'aula que distin, aproximadament, uns 9 metres?
Cubiquem! Quants litres d'aigua caldrien per...?
Cubicar és, entre d'altres accepcions, "determinar el volum d'un cos coneixent les seves dimensions". En la següent qüestió que es pot portar a l'aula hi intervenen els conceptes de volum i capacitat i els canvis d'unitats:
- Quantes ampolles d'aigua d'un litre caldrien per omplir un volum equivalent al d'aquesta classe?
Totes les vegades que he plantejat aquesta pregunta en una aula de secundària, preferentment en les primeres classe d'un curs de primer de batxillerat, i de forma oberta (hi ha d'altres maneres de fer-ho més adequades, pedagògicament parlant) he observat, entre d'altres, els següents fenòmens:
- Alguns alumnes contesten immediatament sense parar-se a pensar i acostumen a equivocar-se greument en l'ordre de magnitud (en tenen prou amb uns pocs milers d'ampolles); la majoria, sorpresos, deixen la feina per als impulsius i per a aquells que habitualment sempre l'encerten i, aquests darrers, són els únics que fan alguns càlculs preliminars i donen el resultat aproximat.
- La dificultat, bastant generalitzada, de treballar amb les unitats de volum i de passar de les unitats de volum a les de capacitat (1 litre és equivalent a 1 dm3; 1 m3 equival a 1000 litres).
Els problemes de Fermi: Quants afinadors de piano hi ha a Chicago?
El físic d'origen italià
Enrico Fermi (1901-1954) proposava als seus alumnes universitaris problemes del tipus: Quants afinadors de piano hi ha a Chicago? La qüestió s'havia de resoldre dins de l'aula i sense cercar més informació que la que els estudiants coneixien (la població aproximada de la ciutat on vivien) o podien estimar (quants pianos hi ha a la ciutat). Actualment aquest tipus de preguntes es coneixen amb el nom de problemes o qüestions de Fermi (
problema de Fermi).
 |
| Enrico Fermi |
(Per cert, a propòsit de la fotografia anterior, si voleu veure més fotografies de físics eminents feu clic a
A Picture Gallery of Famous Physicists)
Quan ens enfrontem amb un problema d'aquests tipus no pretenem trobar el resultat exacte sinó encertar el seu ordre de magnitud. Una de les anècdotes més conegudes de Fermi té a veure amb una estimació: va calcular l'energia despresa per una explosió nuclear a partir del desplaçament d'uns trossets de paper que va deixar anar quan li va arribar l'ona expansiva (vegeu l'informe de les observacions de Fermi després de l'explosió de la bomba a la prova Trinity en la darrera pàgina de
Fermi Questions de Joyce Byun o la detallada explicació com a activitat d'aula avançada o universitària en
El soplo de la bomba atómica).
Podeu consultar també:
Per acabar vull agrair l'interès dels alumnes que, quan plantejo qüestions del tipus que he presentat aquí, en comptes de pensar que "el profe està boig", que potser també, es llancen a intentar esbrinar la resposta o cerquen per internet l'origen i significat de les preguntes. De fet, dos del enllaços que dono en aquest escrit me'ls han proporcionat ells. Vaja, que l'escola no sempre mata la curiositat!
Dels dos enunciats, soluciono el del Cangur i per de-formació professional, utilitzaré l'àlgebra:
Incògnites
La incògnita a indicarà l'alçada de l'Albert; la m, l'alçada d'en Miquel i la t, l'alçaria de la taula (totes en centímetres). Permeteu-me un consell general: assigneu a les incògnites, lletres que us facilitin la conversió del text en una equació i deixeu la x, la y i la z per escriure en polonès.
De l'enunciat, obtenim dues equacions:
Ordenem les dues equacions, deixant les incògnites en el primer membre:
Si les sumem, resulta que 2t = 180. I per tant, la taula mesura 90 cm.
Comentari
Com que només tenim dues equacions per a tres incògnites, és impossible saber l'alçada de cadascun dels nois. Sí que es pot determinar que un fa 10 cm més que l'altre.
La solució de La Vanguardia
El diari evita la faramalla algebraica i dóna la següent solució escrita equivalent (heu de mirar el requadre de la dreta de la imatge, a l'esquerra hi ha un altre problema nen-nena):
Qui és més alt el nen o la nena? Si penseu de forma "políticament correcta", us estalviareu el càlcul!