Una definició matemàtica de joc? (II)

En l'entrada, immediatament anterior a aquesta, Una definició matemàtica de joc (I)?, em vaig atrevir —mig en broma— a fixar les cinc condicions que ha de complir una activitat per poder-se etiquetar com a "joc matemàtic". Filaré una mica més prim i afinaré alguna de les cinc condicions.

La importància del torn de jugada. Quan és impossible guanyar (o perdre)

En la tercera condició indicava que en els jocs, habitualment, hi ha guanyadors i perdedors. La probabilitat de guanyar o perdre no cal que sigui idèntica i, a part de l'estratègia seguida per cada contrincant, pot dependre de si tenim o no el primer torn de jugada. En els escacs, per exemple, jugar amb blanques (per tant, iniciar la partida) sembla que ha d'atorgar algun avantatge (però dels escacs ja en parlarem amb calma en una altra ocasió). En d'altres jocs, com en el conegudíssim tres en ratlla, si els jugadors segueixen una estratègia òptima s'acaba sempre en empat; per tant, per perdre s'ha de cometre alguna errada. Però, hi ha activitats lúdiques en les quals, es jugui com es jugui, guanyar o perdre només depèn del torn que correspon al jugador. En aquest cas, no parlem de jocs, sinó de pseudojocs. En el llibre Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes, Jordi Deulofeu ens en parla i posa algun exemple trivial:

Partint de 20 escuradents, dos jugadors en retiren alternativament 1, 3 o 5. Guanya qui s'emporta l'últim escuradents.

És evident (i si sou més aviat empírics, no cal jugar-hi gaire per comprovar-ho) que, independentment de les jugades, sempre guanya el jugador que té el segon torn. Podeu trobar més informació en el llibre de Deulofeu o en l'article Pseudojuegos, o juegos que parecen juegos pero no lo son.

Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes. ISBN: 978-84-473-6631-6

Que en queda d'un joc després d'analitzar-lo matemàticament?

En la quarta condició fixàvem que  — i pot semblar una tautologia —  per ser titllat de "joc matemàtic", l'activitat s'ha de poder analitzar matemàticament. Després de l'autòpsia matemàtica el joc o el tipus de joc pot semblar ben bé un altra cosa (en els comentaris d'una altra entrada ja vaig recorre a l'aforisme de Goethe: Els matemàtics són com els francesos; se'ls digui el que se'ls digui, ells ho tradueixen a la seva llengua i, des d'aquell moment, es tracta d'una cosa diferent). Un bon exemple d'això que estic afirmant i que podeu llegir és La suma de juegos escrit per l'estudiant de matemàtiques Moisés Herradón Cueto publicat en la revista Matgazine a la qual li desitgem una fructífera i llarga vida.

Jocs i matemàtiques. Algunes interaccions històriques (o actuals)

L'estudi dels jocs d'atzar va inspirar el naixement de la Teoria de la Probabilitat. En la majoria de textos on es parla del desenvolupament històric d'aquesta teoria no pot faltar la cita de les consultes que sobre les probabilitats en els jocs de daus va fer el literat i jugador Antoine Gombaud (1607-1684) (autoinvestit i més conegut com a chevalier De Méré) a Blaise Pascal (1623-1662). Podeu veure comentades alguna de les consultes, per exemple, en Las apuestas del caballero De Meré en la Pàgina personal de Josep Maria Albaigès o en Problema de los dados del caballero De Méré a càrrec de l'infatigable Manuel Sada que s'atreveix a posar correctament els dos accents a Méré.

Ara que s'ha posat de moda el pòquer i que en algunes pel·lícules surten exitoses i matemàtiques maneres de guanyar en alguns jocs de casino, ja sigui en el blacjack (21 Black Jack) o en la ruleta (The Pelayos, vegeu també l'escrit Matemáticos contra el casino) , una de les maneres d'atrapar, momentàniament, l'atenció d'alguns alumnes (noctàmbuls i amics de les timbes), durant les classes de matemàtiques, és aplicar el càlcul de probabilitats a aquests jocs.

De l'altra interacció que hem de citar inevitablement, la Teoria de Jocs, cal dir que ni parla específicament de jocs ni és aplicable a qualsevol "joc matemàtic". Encara que un dels pares d'aquesta teoria, John von Neumann, estava interessat pel pòquer i per l'anàlisi del fenomen més general de les catxes, la Teoria de Jocs s'ha aplicat més a l'economia o a l'estratègia militar que no pas als jocs pròpiament dits.

I els matemàtics han creat algun joc? Com que el meu objectiu no és ser exhaustiu, només posaré un exemple: s'atribueix a John F. Nash (a qui ja hem dedicat ja tres entrades, la darrera va ser John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (II)) la invenció del joc Hex. Sembla que el primer en proposar el joc, va ser, però, una altra persona interessada en les matemàtiques: Piet Hein. Podeu llegir una breu història de l'Hex i jugar-hi! en la pàgina Hex de Nadia Gonzalo Picazo.

Partida d'Hex a la fira JugarXJugar

Una definició matemàtica de joc? (I)

Hi ha preguntes enverinades. Etimologia i intenció

En l'entrada del 19 de maig d'enguany (Jocs, matemàtiques, JugarXJugar i l'aualé), en Francesc Rovira feia el següent comentari:

—Estaria molt bé que donessis una definició matemàtica de 'joc', ¿què és un joc, matemàticament parlant?

Sincerament, crec que quan va fer la pregunta ja sabia que em llençava un repte llaminer, però de solució impossible. La meva resposta va ser un comentari que treia partit de l'etimologia (que és una sortida planera, i sovint pedant, per fer passar el temps i fugir d'estudi):

—Un recurs fàcil per començar un intent de definició és recórrer a l'etimologia: joc ve del llatí iocus que, així en singular, significa "broma" en una primera accepció. Si bé en plural, ioci, ja agafa clarament el significat de jocs o entreteniments. Ja veus que començo guanyant temps, però em guia un esperit lúdic (del llatí ludus, joc o diversió). Extra iocum (es a dir, bromes a part), per contestar la teva pregunta (que espero que hagi estat perpetrada amb animus iocandi) necessito un espai més gran que el que em deixa el senyor Google per fer comentaris. Em comprometo a fer un article per donar pistes per a una possible definició de "joc" des del punt de vista matemàtic (no crec que me'n surti del tot). No serà en la propera entrada que penso dedicar als falsos prodigis, però sí en la següent. Gràcies per proposar el repte.

Podria anar al gra i ser cartesià i lineal, però prefereixo fer marrada i suggerir, amb pinzellades desiguals, possibles respostes i problemes evidents Començarem per parlar de "joc" i després veurem què hi poden tenir a veure les matemàtiques.

Si l'etimologia no ajuda gaire, recórrer als diccionaris, sembla que tampoc (a tall d'exemple, podeu llegir les definicions que dóna el DIEC: joc, jugar). Una primera dificultat que sorgeix és que qualsevol definició de joc ha d'incloure una intenció particular (en diem lúdica) en els individus que la practiquen. Si jo no sé on he deixat les claus i les estic cercant, ningú definiria la meva percaça angoixant com a joc; en canvi, si faig això mateix per passar l'estona i demostrar la meva perspicàcia, després que algú amb el meu consentiment les ha amagat per casa, sí que és un joc? No cal dir que la matemàtica no és la millor disciplina per valorar i tractar  les intencions.

Els nens juguen. D'altres animals, també

Pensant aquest escrit, vaig recordar que havia llegit algun article sobre el joc en la revista Mente y Cerebro. Efectivament, la portada de l'exemplar de gener/febrer de 2011 ho deixava clar:

Portada de Mente y Cerebro (núm. 46/2011)

Rellegint les seves pàgines, he comprovat que el seu contingut no m'ajudava gaire a aconseguir els meus objectius, però com que em sembla interessant, tendeixo a la dispersió i no pretenc escriure un article formal... allà va un resum (el contingut complet no és de distribució lliure) i alguns comentaris:

En La importancia de jugar se'ns parla de la transcendència que té el joc lliure i imaginatiu en el desenvolupament dels infants. El concepte "joc lliure" (activitat espontània, sense regles, imaginativa...) es contraposa al de "joc estructurat" (joc amb unes regles). Ara que molts pares s'obsessionen per estructurar les activitats dels seus fills des de molt petits (fins i tot per fer plastilina als tres anys cal acudir a les classes particulars d'un artista plàstic..., per no parlar de en què s'ha convertit  jugar a pilota), resulta que el joc lliure és fonamental per un desenvolupament equilibrat dels nens i nenes. Si us plau, deixeu jugar als nens (veureu que no els hi calen reglaments)! Les matemàtiques, però,  no hi tenen res a pelar amb els jocs lliures...

En el mateix exemplar podeu llegir l'entrevista ¿Por qué a los pulpos les gusta jugar? on es parla del joc en el món animal. M'abstindré de fer una crida per tal que es deixi jugar als pops...

En els dos textos se cita a Gordon Burghardt, investigador del joc en animals, que evidentment ha hagut d'establir quines característiques, ell en dóna cinc, fan que una activitat observada en una bèstia o bestiola pugui ser definida com a joc (les podeu llegir en Un juego muy serio). Si us interessa aquest tema, podeu fer una ullada, també, a Entre animales anda el juego (però, si us plau, no feu clic en cap dels anuncis on apareix l'omnipresent ex-ministre Eduardo Punset). El joc animal, evidentment, no en té res de joc matemàtic.

Però, que no parlarem de matemàtiques?

Ara que ja deveu estar informats que el joc lliure, el joc animal i l'Eduardo Punset no tenen res a veure amb les matemàtiques, centrem-nos. Em llanço a la piscina i sense pensar-m'ho massa (i una mica en broma) intento una definició. Entenc per joc matemàtic (en una definició àmplia que abastaria qualsevol joc en el qual una estratègia plantejada utilitzant les matemàtiques reporta algun avantatge) :

1. Una activitat estructurada (té unes regles). Recordo ara la paradoxa "Este juego no tiene reglas" que no sé si he llegit en algun llibre de John Allen Paulos o en algun llibre de Raymond Smullyan.

2. Hi participen una o més persones que, a partir d'ara, anomenarem jugadors. Alguna de les persones poden ser substituïdes per un simpàtic programa d'ordinador. Si totes les persones són substituïdes per programes o sub-programes, és necessari un observador humà que a la manera d'un déu analitzarà el resultat.

3. El joc és finit i té uns objectius a assolir. A l'acabar-lo, generalment, és podrà etiquetar els jugadors en guanyadors i perdedors en funció dels objectius aconseguits. Es pot donar la possibilitat que no hi hagi ni guanyadors ni perdedors. En aquest cas es dirà que s'ha empatat i es podrà comprovar que el jugador que es creia menys destre en el joc és aquell que està més content. Si només hi ha un jugador i és el guanyador, s'acostuma a dir que ha solucionat el joc (en cas contrari, no direm mai que el joc ha guanyat; com a molt, direm que ens ha vençut).

4. (Imprescindible per poder afegir-hi l'adjectiu "matemàtic"). Les accions i estratègies dels jugadors es poden decidir i optimitzar utilitzant les matemàtiques. Fer ús de les matemàtiques dóna avantatges als jugadors. Un observador extern pot analitzar amb profit el joc des d'un punt de vista matemàtic.

5. (Imprescindible per poder distingir els jocs matemàtics dels exercicis i problemes). L'activitat ha de ser susceptible de poder ser portada a una aula per un mestre o professor. En aquest cas els alumnes es poden etiquetar de jugadors. El mestre o professor intentarà "colar" continguts matemàtics en l'activitat de manera que els alumnes no ho acabin de relacionar amb "una classe de matemàtiques normal" (reconec que sóc incapaç de definir aquest darrer concepte), convençut que d'aquesta manera els alumnes aprendran, abans i sense dolor, a sumar fraccions o a operar vectors, per exemple. Si sou els alumnes, penseu en no neguitejar el "profe" amb frases com: "que no farem classe avui? Això és un 'rotllo'!", "això compta per nota? que entrarà a l'examen?". I sobretot, feu veure que penseu una mica abans de qualsevol jugada!

Em temo que dins d'aquesta acurada definició hi caben activitats com el ganxet o la ruleta russa; però, al cap i a la fi, algú de l'Antiga Grècia ja es va adonar que definir "home" com a "bípede implume" convertia en homes els pollastres a l'ast. No cal dir que qualsevol aportació crítica o humorística en forma de comentari que millori aquests cinc punts serà ben rebuda.

Després d'aquesta primera part tan lúdica, em comprometo, ara sí, a ser més seriós, a parlar més de matemàtiques i a portar-me més bé en una, espero, molt pròxima continuació d'aquesta entrada.

Falsos prodigis, credulitat i mal ofici

Capítol I
Els profetes anuncien el prodigi

El 28 de maig d'enguany mentre revisava les novetats que ens aportava la premsa digital em vaig trobar amb la següent notícia a La Vanguardia:

Un estudiante de 16 años resuelve un enigma matemático de Isaac Newton 350 años después

L'estudiant d'origen indi (algú ja va començar a parlar del nou Ramanujan!) i actualment estudiant de secundària a Alemanya, es diu Shouryaa Ray. No s'ha de ser un expert en matemàtiques per sospitar, només cal veure el contingut i que l'autoria de l'escrit és d'aquest fantasma que s'anomena Redacción, que la notícia era, com a mínim, exagerada. Inmediatament vaig consultar el meu web de matemàtiques de referència, Gaussianos, i, sorprenentment, es feia ressò de la bona nova:

Shouryya Ray, genio de 16 años que ha resuelto un problema propuesto por Newton hace más de 300 años

Si cliqueu en l'enllaç anterior, veureu que l'entrada ja està rectificada en el sentit que us comentaré.

Com que els suposats problemes newtonians impliquen resoldre equacions diferencials relativament "clàssiques" i conegudes, com que resoldre una equació diferencial requereix coneixement i ofici (ja ens poden bufar a l'orella les muses, que no sona la flauta per casualitat), com que els problemes importants de matemàtiques no resolts i intel·ligibles per als aficionats estan força divulgats i no em sonava que Newton s'hagués marcat cap "farol" o hagués deixat cap conjectura oberta a la manera de Monsieur Fermat (vegeu El Darrer Teorema de Fermat: una primmirada introducció) i..., encara més, com que de les notícies de ciència de La Vanguardia no me'n fio gens (per raons objectives i per com Josep Corbella, un dels seus redactors habituals, és capaç de disfressar-les de forma maldestra i sensacionalista)... vaig arribar a la conclusió que el treball de Shouryaa Ray, segurament meritori, era irrellevant.

A Gaussianos, algun comentarista ja apuntava en aquest sentit. A més, les fonts que es citaven eren de credibilitat dubtosa —el Daily Mail, per exemple—, no vaig poder localitzar cap diari alemany que en parlés i un diari més seriós en la divulgació de les ciències i les matemàtiques, El País, no en deia res.

Capítol II
De la credulitat del poble

Per sorpresa meva i sense que vingués a tomb, el mateix dia que vaig conèixer la notícia i l'endemà, durant dues classes de batxillerat diferents, alguns alumnes em van comentar el descobriment:

—Un noi de setze anys ha solucionat un problema que no va poder resoldre Newton. Ho diuen els diaris! —quasi crida un alumne intentant fer caure a Newton i a tot el sistema educatiu del pedestal.

 —La notícia com a mínim és exagerada. No us hauríeu de creure tot el que surt als diaris —li responc.

—També ho han dit per la ràdio! —diu un altre alumne, mirant-me acusatòriament: com goso a posar en dubte els diaris i la ràdio!

Aquí, últimament, em rendeixo: qualsevol comentari que intento fer, raonadament, contra el mal periodisme, la mala medicina o el fervor per la cuina mediterrània es considera a les classes un atac contra les tribus professionals dels periodistes, metges i escalfaolletes. Ep, puc ser igual d'irònic amb els enginyers, físics i matemàtics (però aquí només es queixen els alumnes que tenen pares o mares d'aquest ofici). Bé, hem fracassat en això de fomentar l'esperit crític de l'alumnat, però, almenys una vegada en la seva vida, han sentit o llegit una noticia sobre matemàtiques sense que sigui una tasca escolar.

Capítol III
La veritat sempre triomfa...però pocs se n'assabenten

Aquests dies he anat seguint la notícia i els comentaris que ha provocat a internet: un percentatge important fan referència al fet trascendental de com aquest noi de setze anys té un bigoti tan poblat o a que, amb el sistema educatiu espanyol, és impossible produir genis com aquest ... i és que els comentaristes anònims de les notícies sempre demostren un gran nivell intel·lectual i humà.

Entre d'altres perquisicions, vaig entrar en el web del Martin-Andersen-Nexö-Gymnasium, institut on estudia Ray, i en el pdf que us enllaço (aquí), en la pàgina 12, veureu que efectivament ha guanyat un quantiós premi escolar pel seu treball (no és el primer premi, sinó el segon!). Suposo que el primer premi, sobre relativitat, no ha merescut cap comentari de la premsa perque no involucra a Newton i a un compatriota de Ramanujan.

L'abast real  del treball de Ray està molt ben explicat en el magnífic bloc, en castellà malgrat el títol,  Francis (th)E mule Science's News (feu clic, val la pena, a El problema de Newton y la solución que ha obtenido Shouryya Ray (16 años)). Fins i tot, La Vanguardia ha rectificat la notícia: Un premio a la precocidad, no al genio.   

Ara, com en les pel·licules de terror, hauria de sonar una música plàcida anunciant el final i els crèdits, però...

Capítol IV
Gràcies al mal ofici, la mentida sempre torna i el rigor mai no guanya

Si el teniu a mà, no us perdeu el suplement ES de la Vanguardia d'ahir, 2 de juny (quan es pugui enllaçar legalment d'aquí a un mes, ja ho faré). A la portada surt el pallasso Luis Raluy, aficionat a les matemàtiques, i el títol no té pèrdua: "Poca broma amb les mates. Les matemàtiques se'ns resisteixen però cada cop són més importants". A l'interior hi ha un article amb un reportatge fotogràfic del senyor Raluy vestit de l'ofici, de pallasso, vull dir. Referint-se a les aportacions d'aquest aficionat escriuen "perles" com: "El 1996, per exemple, va proposar la solució a l'irresoluble problema de la trisecció de l'angle amb regle i compàs, i al seu darrer llibre intenta demostrar la fórmula que genera els nombres primers fins a l'infinit". Raluy afirma: "Les matemàtiques són una cosa meravellosa: si no, és culpa del professor" (ja feia cinc minuts que no es parlava de la nostra incompetència!). Sobre algun dels problemes irresolubles que ha solucionat Raluy (i que són demostradament irresolubles!) podeu llegir: Construcciones con regla y compás (II): Los problemas délicos.

Com que ja estic cansat de lluitar contra els elements i no puc retre homenatge a Raluy anant al seu circ (pateixo una forma intel·ligent de coulrofòbia), no puc menys que demanar que li atorguin una Medalla Fields a ell i una menció honorífica al diari més nostrat. Ep! i espero que aquesta entrada no faci disminuir l'afició a les matemàtiques de pallassos, periodistes i alumnes de secundària.

Addenda del 20 de juliol de 2012

Fa uns quants dies que ja és possible llegir en línia, a la hemeroteca digital del diari i encara que no sigueu suscriptors, el suplement Es de La Vanguardia que criticava en el Capítol IV d'aquest escrit.

Portada del Suplement Es del 2 de juny de 2012

El podeu consultar directament en el web del diari:

Poca broma amb les mates (en català)

Las mates no son cosa de broma (en castellà)

De fet, el document ja estava a la xarxa, pràcticament des de la seva aparició, en alguns webs i blocs dedicats a les matemàtiques que es deuen felicitar que es parli de la matèria, però que no entren en valoracions (per exemple, el podeu trobar en el web del Creamat).

Tornant a l'estudiant Ray i la seva demostració, dos professors de la Universitat Tècnica de Dresden van redactar un comunicat per aclarir l'abast del treball d'aquest noi (Comments on some recent work by Shouryya Ray). Gaussianos, ja passat el desconcert inicial, ho va comentar: Los profesores de Shouryya Ray aclaran la situación sobre su supuesta solución de un problema propuesto por Newton.

Jocs, matemàtiques, JugarXJugar i l'aualé

Aquest bloc acumula  ja 92 entrades (molts en diuen posts) agrupades en 38 categories o etiquetes de taxonomia dubtosa. Fa uns dies, em vaig adonar que cap d'aquestes entrades fa referència directa als jocs. De fet deu ser tota una proesa —us asseguro que no ha estat planejada d'una manera conscient— que en un bloc d'aquesta extensió dedicat a les mal anomenades ciències exactes,  no hi hagi cap article que tregui partit de la relació entre alguns jocs i les matemàtiques. Vaja! és com intentar escriure un text mitjanament llarg sense utilitzar la lletra e (cal dir que l'enginyós escriptor francès George Perec ho va aconseguir en la seva novel·la de tres-centes pàgines  La Disparition on no apareix cap vegada aquesta lletra que és la més freqüent en francès). Vaig a començar a saldar aquest deute...

Des de l'any 2007, durant la Fira de l'Ascensió, s'organitza a Granollers la fira JugarXJugar. S'hi desenvolupen activitas diverses: presentació de jocs comercials, torneigs...

Enguany hi tindrà lloc (segurament quan llegiu aquest text ja s'haurà celebrat) el 13è Campionat d'aualè de Catalunya.

L'aualè (també anomenat awari, awalé, awèlé, oware...) és un joc d'origen africà  força interessant i de regles molt senzilles. Si en voleu més informació o hi voleu jugar en línia, un bon web és Awalé.info. I si us pregunteu que té a veure aquest joc amb les matemàtiques i la seva didàctica, la revista canaria Números va publicar l'article Juegos de siembra: juegos africanos con aplicación didáctica de José Antonio Rupérez Padrón i Manuel García Déniz.

Si us agraden els "jocs de pensar" on l'atzar no hi hauria de ser present, animeu-vos a jugar-hi!

XIII Dia Escolar de les Matemàtiques

En una entrada de juliol de 2010 dedicada al matemàtic Pere Puig i Adam (Puig i Adam: les matemàtiques i la seva didàctica), ja vaig parlar de passada del Dia Escolar de les Matemàtiques (DEM). Aquesta iniciativa de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM)  va néixer l’any 2000, dins el marc de l’Any Mundial de les Matemàtiques declarat per la UNESCO. Com que aquell any també es commemorava el centenari del naixement de Puig i Adam, va néixer el 12 de maig de 1900, es va decidir, crec que amb encert, fer coincidir el 12 de maig amb el DEM.

Enguany, aquesta jornada està dedicada a la relació de l'economia i les matemàtiques (l'ONU va acordar que aquest seria l'Any Internacional de les Cooperatives) i així podem relacionar aquesta ciència que tantes alegries ens dóna, l'economia, amb aquesta altra ciència que tant es valora, les matemàtiques, amb aquestes entitats que tan bé funcionen al nostre país, les cooperatives. Bromes a part, potser és una bona oportunitat per fer una reflexió a les aules sobre les matemàtiques, l'economia i la cooperació. Malauradament, aquest any és la tretzena edició, per a alguns el tretze és de mal auguri, i el dotze d'aquest mes va ser ahir dissabte que no era dia lectiu!

La FESPM ha dedicat una secció en el seu web al  DEM 2012 (cliqueu aqui). Una de les activitats més interessants que hi podreu consultar és el video de la conferència que va tenir lloc a la Universidad Complutense de Madrid a càrrec de Vicente Liern Carrión, catedràtic d'Economia Financera i Comptabilitat de la Universitat de València, sobre Matemáticas y Economía. Ventajas de la Cooperación. Liern Carrión comenta en aquesta conferència les activitats que ell mateix ha preparat per aquesta diada i que han estat publicades en un quadernet que ha aparegut en la revista SUMA del darrer mes de març.

Els economistes, però, no sempre fan un bon ús de les matemàtiques (podeu llegir, per exemple, la paròdia: Una primera (y humorística) lección de Econometría). De fet, ni els matemàtics en fan sempre un bon ús (Forges tan agut com sempre):