La majoria de les entrades d'aquest blog en les quals hi proposo un problema, ja incorporen la solució raonada –de vegades, oculta i a l'abast d'un clic–, de manera que els lectors impacients no han d'esperar per comprovar-ne la resposta. Excepcionalment, quan la resolució es mereix un comentari detallat i té un alt "contingut matemàtic", cal dedicar-li tota una entrada, o més! Aquest és el cas del problema inclòs en l'entrada del passat 30 de juliol: Recolzeu bé l'escala!
Recordant l'enunciat
Encara sou a temps d'intentar resoldre el problema, però penseu que aquí en desvetllaré la solució i no s'hi val llegir l'article fins al final si voleu posar la vostra ment a prova.
Torno a inserir l'enunciat (els que vau llegir l'entrada anterior, perdoneu-me la repetició):
Tenim una escala de tres metres recolzada en una paret. En contacte amb el terra i la paret, tenim un cub d'un metre d'aresta que toca l'escala, tal com mostra la següent figura:
 |
| Un problema de recolzaments |
Com ja heu pogut llegir, es tracta de calcular el punt de contacte de l'escala amb la paret i el punt de contacte amb el terra. És a dir, la longitud del segment OA i la longitud del segment OB.
Primers passos per a una solució analítica
El fet de voler obtenir uns resultats exactes, i no pas aproximats, ens condiciona el mètode a seguir. Un bon dibuix i una bona notació sempre ajuden. El primer que farem es situar tots els elements del problema en uns eixos cartesians (gràcies Monsieur Descartes per la vostra gran idea!):
Si situem el punt O en l'origen de coordenades, el punt A es pot indicar com (x, 0) i el punt B, com (0, y).
En el triangle "gran" (OAB) podem aplicar el Teorema de Pitàgores ja que és un triangle rectangle:
OA2 + OB2 = 32 que també podem escriure com x2 + y2 = 32 (1)
El triangle blau ((BQR) i el triangle vermell (APQ) són triangles semblants, per tant han de ser proporcionals (o, si voleu, podem dir que hi aplicarem ell Teorema de Tales). La base del blau mesura 1 i la seva altura és el segment BR, que mesura y – 1; la base del vermell és el segment AP que val x –1 i la seva altura és 1. Aplicant la raó de proporcionalitat tenim que:
( x –1)/1 = 1/(y – 1) que equival a l'equació ( x –1)·(y – 1) = 1 (2)
I ja tenim les dues equacions, (1) i (2), que ens permeten resoldre el problema:
Només ens resta solucionar el sistema d'equacions anterior que té un aspecte ben innocent!
I ara arriba el moment de posar deures!
En quan a la resolució, ho deixarem aquí (I will stop here, tal com va dir Andrew Wiles, ja l'he citat d'altres vegades en va!); no m'agradaria privar-vos del plaer d'avançar en aquest repte. Deures, per a qui en tingui ganes:
- Podeu solucionar el sistema? Arribareu a una equació completa de 4t grau (no cal que us escarrésseu per solucionar-la a mà, tenim mitjans informàtics que s'adapten a les "manies" dels matemàtics, allò de les solucions exactes)
- Hi ha algun plantejament que ens eviti el tràngol d'aquesta equació amb tots els coeficients diferents de zero? Només una pista: una equació biquadrada ens aportaria una certa comoditat.
- Podem mirar-nos el problema des d'una òptica geomètrica? Els antics grecs, en lloc d'escriure les equacions, les haurien dibuixat.
Plantejaments alternatius i un agraïment!
Lenok, una de les comentaristes habituals d'aquest bloc, ja ens va indicar en l'entrada anterior que, en el procés de resolució, havia arribat a una equació de 4t grau. Més tard, em va enviar el seu plantejament comentat a l'adreça iaramatematiques@gmail.com (si m'heu de fer arribar documents escrits a mà o amb editor d'equacions és la millor opció, els comentaris del blog no ens permeten subtileses en les notacions).
Lenok arriba a un sistema d'equacions semblant, però no idèntic, per raonaments de geometria clàssica (Teorema de Pitàgores i semblança de triangles) i també incorpora mètodes de càlcul vectorial en el seu escrit. El sistema que proposa és el següent:
Més que correcte, ni millor ni pitjor! En el meu plantejament em queda una segona equació "lletja", amb els uns restant, i el plantejament de Lenok té una primera equació "incòmoda" amb dues identitats notables.
Gràcies Lenok i felicitats per haver trobat les solucions! A més el teu document ens donarà joc en les properes entrades dedicades a aquest enunciat.
Per a la resta de lectors: a veure si fem bullir l'olla! Espero els vostres comentaris...
