Pròleg. A manera de disculpa
Els lectors, més o menys habituals, deveu pensar que tinc el blog abandonat! Enguany, m'havia plantejat ser més regular en la publicació d'entrades, però no me'n surto de fer compatible el dia a dia amb la redacció d'articles. I no serà per falta d'idees! L'anumèrica premsa d'aquest país ja dóna per redactar, si més no, un comentari setmanal: per exemple, tinc previst escriure quatre cosetes sobre probabilitat condicionada i proves de detecció de malalties o sobre les aplicacions de les matemàtiques i la física en la recerca d'avions perduts (un parell de diaris nacionals ho troben extraordinari i, a més, apunten que l'ús pràctic de l'efecte Doppler és innovador!). Per no parlar de temes que he anat apuntant i que resten pendents... Però hi ha molts escrits que requereixen una certa calma, són de cocció lenta i els descarto en certs moments del curs escolar.
Em sabria greu —i això ho recalco — que algunes persones que s'han adreçat al blog amb els seus comentaris, sempre benvinguts, o que s'han deixat caure per aquí a la recerca d'alguna informació, es trobessin amb una patètica falta d'activitat. L'estructura d'aquesta bitàcola digital fa, malauradament, que algunes intervencions recents i valuoses quedin amagades en entrades passades.
Per posar remei a tot plegat, i perquè hi ha més activitat matemàtica que no ens sembla, se m'ha acudit redactar aquesta miscel·lània —espero que no us sembli una macedònia per sortir del pas— al voltant de tres dates d'aquest mes de març.
8 de març. Proves de selecció de les beques CiMs-CELLEX
El segon dissabte del mes, els alumnes aspirants van efectuar les proves de selecció del programa CiMs-CELLEX. Ja he parlat diverses vegades d'aquest projecte (podeu clicar en la categoria corresponent en la columna de la dreta del blog per llegir-ne els articles). Com en anteriors edicions, alguns participants —suposo que, en part, per una certa opacitat informativa dels convocants— s'han passat per aquestes pàgines i ens han fet arribar preguntes i comentaris. Una de les participants, Lenok, ha tingut la gentilesa d'enviar-nos allò que recordava i li semblava rellevant dels continguts de les proves (ho podeu llegir en els comentaris de Cabres, gallines, coloms... i unes equacions diofàntiques!). Transcric i m'esplaio en un parell dels problemes que ens ha fet arribar Lenok. El primer és de mol fàcil solució; el segon... és una altra cosa!
Problema 1
Troba tots els valors naturals possibles per a i b si a·b = 22
Solució del problema 1 (+/- Mostra/Oculta)
Problema 2
Lenok, després de enunciar-nos l'exercici que hem anomenat Problema 1, ens escriu: "el mateix" (entenc que les solucions han de ser naturals) per a:
\begin{cases}x · y + z^2 = 161\\x·z - y·z = 7\end{cases}
Solució (més aviat comentari) del problema 2 (+/- Mostra/Oculta)
Tempus fugit! He atacat el problema tal com ho faria un informàtic! I deixo per a més endavant una solució més raonada.
Si el sistema d'equacions és diofàntic, cal fixar-se en què 161 = 7·23 i que, si escrivim la segona equació traient factor comú:
z·(x -y) = 7
podem deduir que els únics valors naturals possibles per a z són 1 i 7; i, per tant, entre x i y la diferència ha de ser, respectivament, de set o una unitats. Amb això, un full de càlcul i amb un senzill i curt atac per força bruta diria que he descartat l'existència de nombre naturals que siguin solució del sistema. Cal dir que la ciència matemàtica optaria per demostrar la inexistència de solucions naturals per mètodes més rigorosos. Pot ajudar en alguna cosa el fet que el producte x·y ha de valdre o bé 160 o bé 112.
Per si encara no em mereixia la meva expulsió del paradís matemàtic, he utilitzat la calculadora Wiris i un simpàtic programa rus que parla (us en dono més referències després) que coincideixen en assenyalar per al problema dues solucions en el conjunt dels nombres reals:
x= \dfrac{\sqrt{161}}{23}; y = 0; z = \sqrt{161}\\ x = -\dfrac{\sqrt{161}}{23}; y = 0; z = -\sqrt{161}
No sé si Lenok ha comés alguna errada en la transcripció del problema o si els organitzadors s'han permès la llicència, tan matemàtica, de proposar un problema que no té solució, almenys en el conjunt dels nombres naturals.
Si el sistema d'equacions és diofàntic, cal fixar-se en què 161 = 7·23 i que, si escrivim la segona equació traient factor comú:
z·(x -y) = 7
podem deduir que els únics valors naturals possibles per a z són 1 i 7; i, per tant, entre x i y la diferència ha de ser, respectivament, de set o una unitats. Amb això, un full de càlcul i amb un senzill i curt atac per força bruta diria que he descartat l'existència de nombre naturals que siguin solució del sistema. Cal dir que la ciència matemàtica optaria per demostrar la inexistència de solucions naturals per mètodes més rigorosos. Pot ajudar en alguna cosa el fet que el producte x·y ha de valdre o bé 160 o bé 112.
Per si encara no em mereixia la meva expulsió del paradís matemàtic, he utilitzat la calculadora Wiris i un simpàtic programa rus que parla (us en dono més referències després) que coincideixen en assenyalar per al problema dues solucions en el conjunt dels nombres reals:
x= \dfrac{\sqrt{161}}{23}; y = 0; z = \sqrt{161}\\ x = -\dfrac{\sqrt{161}}{23}; y = 0; z = -\sqrt{161}
No sé si Lenok ha comés alguna errada en la transcripció del problema o si els organitzadors s'han permès la llicència, tan matemàtica, de proposar un problema que no té solució, almenys en el conjunt dels nombres naturals.
Us comento breument, el programari que he citat en la solució del segon problema:
- De la calculadora Wiris, ja n'he parlat (aquí). M'ha sorprès favorablement que donés ràpidament les solucions.
- Desconeixia umsolver (el simpàtic programa matemàtic de procedència russa que parla i determina les solucions pas a pas). La versió completa és de pagament, però us podeu descarregar de franc la part del programa que soluciona equacions i sistemes d'equacions (aquí). L'he provat amb el sistema anterior i amb un sistema d'equacions lineals amb infinites solucions (compatible indeterminat). Funciona prou bé i és força curiós.
Nota del 19 d'abril respecte aquest Problema 2: En l'entrada posterior a aquesta Més CiMs: tema amb variacions, podreu llegir informació actualitzada entorn d'aquest enunciat
14 de març. Pi Day
D'altres anys havia dedicat alguna entrada a l'anglosaxó, i una mica nerd, Dia del nombre Pi (vegeu, per exemple El dia de Pi (I). Una invitació). Enguany la celebració m'hauria passat per alt si no hagués estat pels comentaris que un bloguer menorquí, el Capità Tiranya, va escriure en l'entrada que us acabo d'enllaçar. El Capità Tiranya és autor d'un bloc molt recomanable (Kbòries matineres) i va dedicar una enginyosa entrada (Oh hapπ day!) per tal de commemorar aquesta diada. Resto en deute amb el Capità perquè el seu escrit em va servir per posar una nota simpàtica, amb música inclosa, en algunes de les meves classes de secundària del dia 14.
20 de març. Proves Cangur
Potser no ho he sabut trobar, però diria que, aquest curs, els mitjans de comunicació han passat de puntetes i han dedicat molt poca atenció a aquesta festa de les matemàtiques que compta amb la participació de milers d'alumnes de Secundària. Deu ser que els de matemàtiques no ens sabem vendre!
La darrera entrada que vaig dedicar al Cangur va ser Saltem! Del dia de Pi al Cangur 2013. Pensava acabar aquest març, marçot proposant algun dels magnífics problemes d'aquesta edició del Cangur, però la Comissió organitzadora no farà públics els enunciats fins el dia 25 d'abril i trobo que no cal avançar-se. Els qui hi vau participar ja podeu, però, consultar les solucions en el web del Cangur.
I acabo amb una aglomeració de participants en les proves (la fotografia va aparèixer en El Diario de Mallorca i correspon a la convocatòria que es va efectuar a Palma):
 |
| Una gentada solucionant problemes de matemàtiques |
Descomponem 22:
22 = 1·2·11.
Tenim quatre solucions per a (a, b): (1, 22), (22, 1), (2, 11) i (11, 2).